Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.7% → 8.3%

Time: 15.1s

Alternatives: 8

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_1 := \sin^{-1} t\_0\\ t_2 := {t\_1}^{2}\\ t_3 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(t\_1, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-16, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} t\_0\right)}^{4}, 0.0625 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, 4, t\_3 \cdot -0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_2, 4, t\_3 \cdot 0.25\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))
        (t_1 (asin t_0))
        (t_2 (pow t_1 2.0))
        (t_3 (* (PI) (PI))))
   (/
    (*
     (fma t_1 2.0 (* (PI) -0.5))
     (fma
      -16.0
      (pow (- (* (PI) 0.5) (acos t_0)) 4.0)
      (* 0.0625 (pow (PI) 4.0))))
    (* (fma t_2 4.0 (* t_3 -0.25)) (fma t_2 4.0 (* t_3 0.25))))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, -0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - 16 \cdot {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{4}\right)}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right)}} \]

11. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-16, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{4}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot 0.0625\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.25\right)}} \]

12. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-16, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{4}, 0.0625 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := t\_1 \cdot -0.25\\ t_3 := {t\_0}^{2}\\ \frac{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25\right) \cdot t\_2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left(t\_3, 4, t\_1 \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_3, 4, t\_2\right)}{\mathsf{fma}\left(2, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_1 (* (PI) (PI)))
        (t_2 (* t_1 -0.25))
        (t_3 (pow t_0 2.0)))
   (/
    (-
     (* (* (* (PI) -0.25) t_2) (PI))
     (pow (* (fma (PI) 0.5 (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))) 2.0) 4.0))
    (/
     (* (fma t_3 4.0 (* t_1 0.25)) (fma t_3 4.0 t_2))
     (fma 2.0 t_0 (* (PI) -0.5))))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, -0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\frac{1}{2}}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{16}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   11. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   15. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   16. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{-1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

10. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, -0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.25\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} t\_1\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-16, {\left(t\_0 - \cos^{-1} t\_1\right)}^{4}, 0.0625 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, 2, t\_0\right)}}{\mathsf{fma}\left({t\_2}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) 0.5)) (t_1 (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) (t_2 (asin t_1)))
   (/
    (/
     (fma -16.0 (pow (- t_0 (acos t_1)) 4.0) (* 0.0625 (pow (PI) 4.0)))
     (fma t_2 2.0 t_0))
    (fma (pow t_2 2.0) 4.0 (* (* (PI) (PI)) 0.25)))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\frac{1}{2}}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{16}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{4}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   17. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   18. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   19. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{16} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - 16 \cdot {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}^{4}}{\left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + 4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)}} \]

11. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-16, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{4}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot 0.0625\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}} \]

12. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-16, {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{4}, 0.0625 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\\ \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(t\_1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{fma}\left({t\_0}^{2}, 4, t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5)))) (t_1 (* (* (PI) (PI)) 0.25)))
   (/
    (-
     (* (* (PI) 0.25) (* t_1 (PI)))
     (pow (fma (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) -2.0 (PI)) 4.0))
    (* (fma t_0 2.0 (* (PI) 0.5)) (fma (pow t_0 2.0) 4.0 t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{{\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)} \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\frac{1}{2}}^{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{16}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   11. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{4}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   17. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   18. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   19. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\color{blue}{\left(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)}\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    5. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \cdot 2} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    7. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2\right)\right)} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    8. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{-2} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2 + \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2 + \color{blue}{1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    12. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2 + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    13. lower-fma.f64 N/A

        \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}, 4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

11. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {t\_0}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
   (/
    (fma
     (* (- (* (* (PI) (PI)) 0.25) (pow t_0 2.0)) -2.0)
     2.0
     (fma (* (PI) 0.5) (PI) (* (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))) (PI))))
    (* (fma 0.5 (PI) t_0) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   7. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   9. lower-*.f64 7.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   10. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4} - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

   12. lift-fma.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

8. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), 1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2} \]

9. Final simplification 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot -2, 2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 8.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   (pow (fma (PI) 0.5 (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))) 2.0)
   -4.0
   (* (* (PI) (PI)) 0.25))
  (fma (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))) 2.0 (* (PI) 0.5))))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lift-fma.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. lower-fma.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right)\right)}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2}, -4, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

7. Final simplification 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{2}, -4, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 8.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) 2.0 (* (PI) -0.5)))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \mathsf{neg}\left(2\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 4.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{0.5}}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}, -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}, -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)}, -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)}, -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   12. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   13. lower-acos.f64 5.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right)}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

9. Applied rewrites 5.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right)\right)}, -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

    5. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

    6. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto -2 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)} + \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 \cdot -1\right) \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)} + \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2} + \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    11. distribute-lft1-in N/A

        \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2 + \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2 + \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    13. neg-mul-1 N/A

        \[\leadsto \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

12. Applied rewrites 7.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 8: 4.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (asin (sqrt 0.5)) -2.0 (* (PI) 0.5)))

Derivation

1. Initial program 6.1%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \mathsf{neg}\left(2\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)} \]

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right), -2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 4.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{0.5}}\right), -2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

8. Final simplification 4.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), -2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024285 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))