Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.9% → 8.3%

Time: 2.4min

Alternatives: 6

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.3% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := -t\_0\\ t_2 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_3 := \left(-\mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.5 - t\_0\\ \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_3, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right), \left(-2 \cdot \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {t\_1}^{3}\right)\right) \cdot t\_2\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_3, {\left(\frac{\sqrt[3]{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{6} \cdot 0.25\right) \cdot t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))
        (t_1 (- t_0))
        (t_2 (/ 2.0 (PI)))
        (t_3 (- (* (- (PI)) 0.5) t_0)))
   (/
    (fma
     1.0
     (fma t_1 t_3 (* (* (PI) (PI)) 0.25))
     (* (* -2.0 (fma (pow (PI) 3.0) 0.125 (pow t_1 3.0))) t_2))
    (*
     (fma t_1 t_3 (* (pow (/ (cbrt (* 2.0 (PI))) (cbrt 2.0)) 6.0) 0.25))
     t_2))))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)} \]

   3. cbrt-unprod N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}\right)} \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)} \]

   6. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)}\right)} \]

   7. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(3 + 3\right)}}\right)} \]

   8. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(3 + 3\right)}}\right)} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(3 + 3\right)}\right)} \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\left(3 + 3\right)}\right)} \]

   11. metadata-eval 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\color{blue}{6}}\right)} \]

8. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{6}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{6}\right)} \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{6}\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1}}\right)}^{6}\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)}}\right)}^{6}\right)} \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2}}\right)}^{6}\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)}^{6}\right)} \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \cdot 2}\right)}^{6}\right)} \]

   8. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{2}}}\right)}^{6}\right)} \]

   9. cbrt-div N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{6}\right)} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{6}\right)} \]

   11. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{6}\right)} \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{6}\right)} \]

   13. lower-cbrt.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt[3]{2}}}\right)}^{6}\right)} \]

10. Applied rewrites 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{6}\right)} \]

11. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right), \left(-2 \cdot \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), {\left(\frac{\sqrt[3]{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{6} \cdot 0.25\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := -t\_0\\ t_2 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_3 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_4 := -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(t\_1, \left(-\mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.5 - t\_0, t\_3 \cdot 0.25\right), \left(\mathsf{fma}\left(t\_3 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.125, {t\_1}^{3}\right) \cdot -2\right) \cdot t\_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, t\_4\right) \cdot t\_4\right) \cdot t\_2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))
        (t_1 (- t_0))
        (t_2 (/ 2.0 (PI)))
        (t_3 (* (PI) (PI)))
        (t_4 (- (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))))))
   (/
    (fma
     1.0
     (fma t_1 (- (* (- (PI)) 0.5) t_0) (* t_3 0.25))
     (* (* (fma (* t_3 (PI)) 0.125 (pow t_1 3.0)) -2.0) t_2))
    (fma (PI) 0.5 (* (* (fma (PI) -0.5 t_4) t_4) t_2)))))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{8}, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]

   4. lower-*.f64 9.1

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]

10. Applied rewrites 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]

11. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{fma}\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right), \left(\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.125, {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot -2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(8, {t\_1}^{3}, -0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 - t\_1 \cdot 2, 4 \cdot {t\_1}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) -0.5)) (t_1 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))
   (/
    (fma 8.0 (pow t_1 3.0) (* -0.125 (pow (PI) 3.0)))
    (fma t_0 (- t_0 (* t_1 2.0)) (* 4.0 (pow t_1 2.0))))))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

9. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(8, {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{3}, -0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5 - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}} \]

10. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(8, {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{3}, -0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2, 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({t\_0}^{2}, 4, \left(-0.25\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(2, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))
   (/
    (fma (pow t_0 2.0) 4.0 (* (- 0.25) (* (PI) (PI))))
    (fma 2.0 t_0 (* (PI) 0.5)))))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

9. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}} \]

10. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}, 4, \left(-0.25\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(2, \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) 2.0 (* (PI) -0.5)))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

8. Final simplification 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma (acos (sqrt 0.5)) 2.0 (* (PI) -0.5)))

Derivation

1. Initial program 8.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

7. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), 2, \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 5.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

11. Final simplification 5.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right) \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024283 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))