2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 9.9s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right)\\ t_3 := -0.3333333333333333 \cdot \frac{{t\_1}^{2}}{t\_2}\\ \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{-1.3333333333333333 \cdot t\_0}{t\_2}\right), \sin t\_3, \cos \left(\frac{0.4444444444444444 \cdot t\_0}{\mathsf{fma}\left(t\_1, -0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \cos t\_3\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI)))
        (t_1 (acos (/ (- g) h)))
        (t_2 (fma -2.0 (PI) t_1))
        (t_3 (* -0.3333333333333333 (/ (pow t_1 2.0) t_2))))
   (*
    (fma
     (sin (/ (* -1.3333333333333333 t_0) t_2))
     (sin t_3)
     (*
      (cos
       (/
        (* 0.4444444444444444 t_0)
        (fma t_1 -0.3333333333333333 (* 0.6666666666666666 (PI)))))
      (cos t_3)))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) + \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) + \cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{1}{9} \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)\right) \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)\right) \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. lift-/.f64 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)}\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\frac{4}{9} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{0.4444444444444444 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{4}{9} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{0.4444444444444444 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)}\right) \]

9. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{-1.3333333333333333 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{0.4444444444444444 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \cdot 2 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, t\_0, t\_1\right)\right)\\ \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, t\_1\right)\right)}{t\_2} \cdot \left(t\_2 \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1 (* 0.6666666666666666 (PI)))
        (t_2 (cos (fma -0.3333333333333333 t_0 t_1))))
   (* (/ (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 t_1)) t_2) (* t_2 2.0))))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)\right)} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, 6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{9}\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* (cos (/ (fma (acos (/ (- g) h)) 3.0 (* 6.0 (PI))) 9.0)) 2.0))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right) \]

   4. frac-add N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3 + 3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3 \cdot 3}\right)} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3 + 3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3 \cdot 3}\right)} \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3}}{3 \cdot 3}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 3} + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3}{3 \cdot 3}\right) \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3\right)}}{3 \cdot 3}\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{3 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, 3 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{\left(3 \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   14. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{\left(2 \cdot 3\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, \color{blue}{6} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{3 \cdot 3}\right) \]

   16. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, 6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{9}}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, 6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{9}\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 3, 6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{9}\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* (cos (* (fma (PI) 2.0 (acos (/ (- g) h))) 0.3333333333333333)) 2.0))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2} + \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   11. lower-fma.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024282 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))