bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.6% → 10.1%

Time: 8.0s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{t\_3}{t\_0}, \left(t\_3 - \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_2, 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\left(t\_1 \cdot t\_3\right) \cdot \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{t\_0}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{{t\_0}^{2}}\right)}^{3}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI)))
        (t_1 (/ 2.0 (PI)))
        (t_2 (asin (- 1.0 x)))
        (t_3 (fma 0.5 (PI) t_2)))
   (/
    (fma
     (/ 2.0 (pow (pow (PI) 0.16666666666666666) 4.0))
     (/ t_3 t_0)
     (* (- t_3 (* (fma t_1 t_2 1.0) (acos (- 1.0 x)))) (/ -2.0 (PI))))
    (*
     (* t_1 t_3)
     (/ 2.0 (* (pow (cbrt t_0) 3.0) (pow (cbrt (pow t_0 2.0)) 3.0)))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)}}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot 2}}{2}\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. sqrt-pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   17. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{6}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   19. metadata-eval 9.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{\color{blue}{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot 3\right)}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. rem-3cbrt-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{6}\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. pow-pow N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{6}}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}} \cdot {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}}^{\frac{1}{6}}\right)}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. cube-prod N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\color{blue}{{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3} \cdot {\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\color{blue}{{\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3} \cdot {\left({\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right)}^{3}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{t\_3}{t\_0}, \left(t\_3 - \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_2, 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, {\left({t\_0}^{2}\right)}^{1.5}, t\_2\right) \cdot t\_1\right) \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI)))
        (t_1 (/ 2.0 (PI)))
        (t_2 (asin (- 1.0 x)))
        (t_3 (fma 0.5 (PI) t_2)))
   (/
    (fma
     (/ 2.0 (pow (pow (PI) 0.16666666666666666) 4.0))
     (/ t_3 t_0)
     (* (- t_3 (* (fma t_1 t_2 1.0) (acos (- 1.0 x)))) (/ -2.0 (PI))))
    (* (* (fma 0.5 (pow (pow t_0 2.0) 1.5) t_2) t_1) t_1))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)}}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot 2}}{2}\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. sqrt-pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   17. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{6}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   19. metadata-eval 9.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{\color{blue}{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot 3\right)}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{3}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{3}{2}\right)}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\frac{3}{2}}\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}}^{\left(\frac{3}{2}\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. metadata-eval 9.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{\color{blue}{1.5}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{1.5}}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, {\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right)}^{1.5}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, t\_0, 1\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{t\_2}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(t\_2 - t\_1 \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{t\_1}{0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x)))
        (t_1 (fma (/ 2.0 (PI)) t_0 1.0))
        (t_2 (fma 0.5 (PI) t_0)))
   (/
    (fma
     (/ 2.0 (pow (pow (PI) 0.16666666666666666) 4.0))
     (/ t_2 (cbrt (PI)))
     (* (- t_2 (* t_1 (acos (- 1.0 x)))) (/ -2.0 (PI))))
    (/ t_1 (* 0.5 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)}}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot 2}}{2}\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. sqrt-pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   17. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{6}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   19. metadata-eval 9.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{\color{blue}{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   5. rem-3cbrt-lft N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]

   6. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   7. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   8. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   10. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   11. frac-times N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}} \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

   13. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)} \]

10. Applied rewrites 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)}{0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

11. Final simplification 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)}{0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{t\_1}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(t\_1 - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, t\_0, 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{\left(t\_1 \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (fma 0.5 (PI) t_0)))
   (/
    (fma
     (/ 2.0 (pow (pow (PI) 0.16666666666666666) 4.0))
     (/ t_1 (cbrt (PI)))
     (* (- t_1 (* (fma (/ 2.0 (PI)) t_0 1.0) (acos (- 1.0 x)))) (/ -2.0 (PI))))
    (/ (* (* t_1 2.0) 2.0) (* (PI) (PI))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)}}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot 2}}{2}\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. sqrt-pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{2}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}\right)}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{2}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. pow1/3 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. sqrt-pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   17. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{6}}}\right)}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   19. metadata-eval 9.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{\color{blue}{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\color{blue}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\left(\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   8. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   11. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{6}}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

10. Applied rewrites 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

11. Final simplification 9.9%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.16666666666666666}\right)}^{4}}, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right)\\ t_2 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(t\_1 - \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_0, 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot -2, \mathsf{PI}\left(\right), \left(t\_1 \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(t\_2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\right) \cdot t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (fma (PI) 0.5 t_0)) (t_2 (/ 2.0 (PI))))
   (/
    (/
     (fma
      (* (- t_1 (* (fma t_2 t_0 1.0) (acos (- 1.0 x)))) -2.0)
      (PI)
      (* (* t_1 2.0) (PI)))
     (* (PI) (PI)))
    (* (* t_2 (fma 0.5 (PI) t_0)) t_2))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot -2, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot -2, \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ t_2 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_2, \left(t\_1 - \mathsf{fma}\left(t\_2, t\_0, 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (fma 0.5 (PI) t_0)) (t_2 (/ 2.0 (PI))))
   (/
    (fma
     t_1
     t_2
     (* (- t_1 (* (fma t_2 t_0 1.0) (acos (- 1.0 x)))) (/ -2.0 (PI))))
    (/ (* (* (fma (PI) 0.5 t_0) 2.0) 2.0) (* (PI) (PI))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   7. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\left(\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   8. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   10. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   11. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

9. Final simplification 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\frac{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot 2}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot t\_0, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -{t\_1}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.25, t\_0, \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right) \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI))) (t_1 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma (* 0.25 t_0) (* 0.5 (PI)) (- (pow t_1 3.0)))
    (fma 0.25 t_0 (* (fma 0.5 (PI) t_1) t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)}}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot {\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(3 \cdot 3\right)}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(3 \cdot 3\right)}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. metadata-eval 4.6

      \[\leadsto \frac{0.125 \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\color{blue}{9}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 4.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9}} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9} \cdot \frac{1}{8}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{9}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{9} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{9} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 9\right)}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{3}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\frac{1}{2}}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   15. unpow3 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 10.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.6666666666666666}, \sqrt[3]{t\_0 \cdot t\_0} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma
    (pow (PI) 0.6666666666666666)
    (* (cbrt (* t_0 t_0)) 0.5)
    (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   17. lower-asin.f64 4.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 4.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lower-sqrt.f64 4.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

6. Applied rewrites 4.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{3} \cdot 2\right)}}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. metadata-eval 9.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

8. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.6666666666666666}}, \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 10.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, t\_0, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (- (fma (* t_0 0.5) t_0 (- (acos (- 1.0 x))))))))

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   14. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   15. lower-neg.f64 9.8

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 9.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 9.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 9.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (if (<= x 5.6e-17)
     (acos (- x))
     (fma (* t_0 t_0) 0.5 (- (asin (- 1.0 x)))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.5

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 69.4%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      6. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      8. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      9. lower-asin.f64 69.3

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      2. lift-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      3. lift-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      4. lift-*.f64 69.6

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. Applied rewrites 69.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 9.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (if (<= x 5.6e-17)
     (acos (- x))
     (fma t_0 (* t_0 0.5) (- (asin (- 1.0 x)))))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.5

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 69.4%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      8. lower-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      9. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      11. lower-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      12. lower-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      14. lower-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      15. lower-asin.f64 69.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 69.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 9.1% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.6e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.6d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.6e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.6e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.5

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 69.4%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.8

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 14: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024278 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))