2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 100.0%

Time: 10.0s

Alternatives: 3

Speedup: 0.4×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right), 0.5, \sin \left(t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(t\_1 \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot t\_1\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h))) (t_1 (sqrt (PI))))
   (*
    (fma
     (+
      (cos (* (fma -2.0 (PI) t_0) -0.3333333333333333))
      (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 (* (PI) 0.6666666666666666))))
     0.5
     (*
      (sin (* t_0 0.3333333333333333))
      (- (sin (* (* t_1 0.6666666666666666) t_1)))))
    2.0)))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), \frac{1}{2}, \left(-\sin \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

   10. lower-sqrt.f64 100.0

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right), 0.5, \left(-\sin \color{blue}{\left(\left(0.6666666666666666 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right), 0.5, \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(-\sin \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\\ t_2 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, t\_0, t\_1\right)\right)\\ \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, t\_1\right)\right)}{t\_2} \cdot \left(t\_2 \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1 (* (PI) 0.6666666666666666))
        (t_2 (cos (fma -0.3333333333333333 t_0 t_1))))
   (* (/ (cos (fma t_0 0.3333333333333333 t_1)) t_2) (* t_2 2.0))))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

   3. lower-*.f64 98.4

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{1}} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

   5. *-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

   8. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}} \]

6. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)) (* (PI) 0.6666666666666666)))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

   3. lower-*.f64 98.4

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2} \]

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024277 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))