bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.4%

Time: 10.5s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma
     (pow (PI) -1.0)
     (* (PI) (PI))
     (fma
      t_0
      2.0
      (*
       (fma
        (fma t_0 2.0 (PI))
        (- (acos (- 1.0 x)))
        (* (fma (PI) 0.5 t_0) (PI)))
       (/ -2.0 (PI)))))
    (* (* (fma 0.5 (PI) t_0) 2.0) (/ 2.0 (PI))))))

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   12. lower-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   13. lower-cbrt.f64 3.7

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}^{3}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 3.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right), 2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\cos^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right| \cdot 0.5, \sqrt{\sqrt{0.5} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  (* (fabs (sqrt (PI))) 0.5)
  (sqrt (* (sqrt 0.5) (* (sqrt 2.0) (PI))))
  (- (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   15. lower-asin.f64 3.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}}} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. rem-sqrt-square N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right|} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. lower-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}\right|} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left|\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   8. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left|\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   9. metadata-eval 9.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{1.5}}}\right| \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

6. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\right|} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{1}}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{2}{2}\right)}}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right| \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

8. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}, \left|\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{1.5}}\right| \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right)\right)\right) \]

    6. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)\right)} \]

11. Applied rewrites 9.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right| \cdot 0.5, \sqrt{\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{0.5}}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

12. Final simplification 9.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right| \cdot 0.5, \sqrt{\sqrt{0.5} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, t\_0, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (- (fma (* t_0 0.5) t_0 (- (acos (- 1.0 x))))))))

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 5.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 5.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right) \]

   15. lower-fma.f64 9.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

6. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{2}, \sqrt{0.5}, -1\right), 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (fma (sqrt 2.0) (sqrt 0.5) -1.0) (* 0.5 (PI)) (acos (- 1.0 x))))

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   15. lower-asin.f64 3.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   8. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   12. sqrt-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   14. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   15. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   16. lower-sqrt.f64 9.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   17. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   19. lower-*.f64 9.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

6. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right) \]

   15. lower-fma.f64 9.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)} \]

    5. sub-neg N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    7. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right) + \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2}\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -1}\right) + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    9. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2} + -1\right)} + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2} + -1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) \]

    11. lower-fma.f64 N/A

        \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{2} + -1, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)} \]

11. Applied rewrites 9.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{2}, \sqrt{0.5}, -1\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

12. Final simplification 9.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{2}, \sqrt{0.5}, -1\right), 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.6e-17)
   (fma (/ 2.0 (PI)) (* 0.25 (* (PI) (PI))) (- (asin 1.0)))
   (acos (- 1.0 x))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.8%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 3.8%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} 1} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} 1} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} 1\right)\right)} \]

   7. Applied rewrites 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} 1\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 77.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (/ 2.0 (PI)) (* 0.25 (* (PI) (PI))) (- (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   15. lower-asin.f64 3.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(-\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

7. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.8

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.6%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024276 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))