bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.5%

Time: 9.3s

Alternatives: 11

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \sqrt{t\_0}\\ \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)}{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -t\_0\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_1, t\_1, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (sqrt t_0)))
   (/
    1.0
    (/
     (fma 0.5 (PI) t_0)
     (*
      (fma (* (pow (* (PI) (PI)) 0.25) 0.5) (sqrt (PI)) (- t_0))
      (fma t_1 t_1 (* (PI) 0.5)))))))

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   6. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   8. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   13. difference-of-squares N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   14. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   15. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

4. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}}} \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   14. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   15. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   18. lower-neg.f64 6.0

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

6. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-pow.f64 11.0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 11.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   9. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   10. pow3 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   12. lift-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   15. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

10. Applied rewrites 11.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

11. Final simplification 11.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \sqrt{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ \frac{1}{\frac{t\_1}{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -t\_0\right) \cdot t\_1}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (fma 0.5 (PI) t_0)))
   (/
    1.0
    (/
     t_1
     (* (fma (* (pow (* (PI) (PI)) 0.25) 0.5) (sqrt (PI)) (- t_0)) t_1)))))

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   6. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   8. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   13. difference-of-squares N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   14. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   15. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

4. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}}} \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   14. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   15. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   18. lower-neg.f64 6.0

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

6. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   5. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{4}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{\frac{1}{4}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-pow.f64 11.0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 11.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

9. Final simplification 11.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{0.25} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.125 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -{t\_1}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.25, t\_0, \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right) \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI))) (t_1 (asin (- 1.0 x))))
   (/
    (fma t_0 (* 0.125 (PI)) (- (pow t_1 3.0)))
    (fma 0.25 t_0 (* (fma 0.5 (PI) t_1) t_1)))))

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{8} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{8}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{8}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{8}}, \mathsf{neg}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   11. lower-neg.f64 10.9

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.125, \color{blue}{-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.125, -{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.125 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(0.25, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := t\_1 \cdot 0.5\\ \frac{1}{\frac{t\_0}{\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_1, -\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_1, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot t\_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma 0.5 (PI) (asin (- 1.0 x))))
        (t_1 (sqrt (PI)))
        (t_2 (* t_1 0.5)))
   (/
    1.0
    (/ t_0 (* (fma t_2 t_1 (- (fma t_2 t_1 (- (acos (- 1.0 x)))))) t_0)))))

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   6. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   8. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   12. lower-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   13. difference-of-squares N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   14. acos-asin N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   15. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

4. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}}} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}}} \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}}} \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   14. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   15. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   18. lower-neg.f64 6.0

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

6. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)}} \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right)}} \]

   8. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right)}} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   11. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   12. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}} \]

   15. lower-fma.f64 10.9

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}} \]

   16. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   18. lower-*.f64 10.9

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

8. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}} \]

9. Final simplification 10.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 9.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999996:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999996)
     (fma (* t_0 t_0) 0.5 (- (asin (- 1.0 x))))
     (acos (- x)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999956

   1. Initial program 62.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      6. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      8. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      9. lower-asin.f64 62.2

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      2. lift-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      3. lift-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

      4. lower-*.f64 62.5

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. Applied rewrites 62.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   if 0.99999999999999956 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 9.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999996:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999996)
     (fma t_0 (* t_0 0.5) (- (asin (- 1.0 x))))
     (acos (- x)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999956

   1. Initial program 62.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      8. lower-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      9. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      11. lower-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      12. lower-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      14. lower-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      15. lower-asin.f64 62.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 62.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   if 0.99999999999999956 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, -t\_0, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (fma (* t_0 0.5) (- t_0) (acos (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 7.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 7.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 10.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 9.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999996:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999996)
   (fma (PI) 0.5 (fma (PI) -0.5 (acos (- 1.0 x))))
   (acos (- x))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999956

   1. Initial program 62.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

      6. lower-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      8. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      9. lower-asin.f64 62.2

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. lift-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{0 - \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      3. lift-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

      4. asin-acos N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

      5. lift-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      8. rem-cube-cbrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      9. lift-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      10. pow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      12. lift-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      14. lift-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

      15. lift-acos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

      16. associate--r- N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(0 - {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   6. Applied rewrites 62.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   if 0.99999999999999956 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 9.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999996:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999996) (acos (- 1.0 x)) (acos (- x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999996) {
		tmp = acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((1.0d0 - x) <= 0.9999999999999996d0) then
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    else
        tmp = acos(-x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999996) {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = Math.acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (1.0 - x) <= 0.9999999999999996:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	else:
		tmp = math.acos(-x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(1.0 - x) <= 0.9999999999999996)
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	else
		tmp = acos(Float64(-x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999996)
		tmp = acos((1.0 - x));
	else
		tmp = acos(-x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(1.0 - x), $MachinePrecision], 0.9999999999999996], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.99999999999999956

   1. Initial program 62.2%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 0.99999999999999956 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.9

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 11: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024270 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))