Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.8s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

• 49.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (/ (sinh y) y) (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return (sinh(y) / y) * sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = (sinh(y) / y) * sin(x)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return (Math.sinh(y) / y) * Math.sin(x);
}

Python

def code(x, y):
	return (math.sinh(y) / y) * math.sin(x)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = (sinh(y) / y) * sin(x);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 77.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot x\\ t_1 := \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) x)) (t_1 (* (/ (sinh y) y) (sin x))))
   (if (<= t_1 (- INFINITY))
     (* (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0) (fma t_0 -0.16666666666666666 x))
     (if (<= t_1 1.0)
       (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
       (*
        (fma
         (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma
         t_0
         (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
         x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (x * x) * x;
	double t_1 = (sinh(y) / y) * sin(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x);
	} else if (t_1 <= 1.0) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else {
		tmp = fma(fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma(t_0, fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * x)
	t_1 = Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x));
	elseif (t_1 <= 1.0)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	else
		tmp = Float64(fma(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(t_0, fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1.0], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 38.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 38.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. metadata-eval 35.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 35.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 35.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 85.1

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 85.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, {x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      15. lower-*.f64 69.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 76.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 77.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot x\\ t_1 := \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) x)) (t_1 (* (/ (sinh y) y) (sin x))))
   (if (<= t_1 (- INFINITY))
     (* (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0) (fma t_0 -0.16666666666666666 x))
     (if (<= t_1 1.0)
       (sin x)
       (*
        (fma
         (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma
         t_0
         (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
         x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (x * x) * x;
	double t_1 = (sinh(y) / y) * sin(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x);
	} else if (t_1 <= 1.0) {
		tmp = sin(x);
	} else {
		tmp = fma(fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma(t_0, fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * x)
	t_1 = Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x));
	elseif (t_1 <= 1.0)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = Float64(fma(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(t_0, fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1.0], N[Sin[x], $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 38.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 38.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. metadata-eval 35.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 35.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 35.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 99.9

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 85.1

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 85.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, {x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      15. lower-*.f64 69.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 76.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 87.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          (*
           (fma
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            (* y y)
            0.16666666666666666)
           y)
          y
          1.0)))
   (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) 1.0)
     (* t_0 (sin x))
     (*
      (fma
       (pow x 3.0)
       (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
       x)
      t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma((fma(fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0);
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= 1.0) {
		tmp = t_0 * sin(x);
	} else {
		tmp = fma(pow(x, 3.0), fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= 1.0)
		tmp = Float64(t_0 * sin(x));
	else
		tmp = Float64(fma((x ^ 3.0), fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0], N[(t$95$0 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 92.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 92.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 92.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 91.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 91.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 91.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      5. cube-mult N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left({x}^{3} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, {x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right) \cdot y, y, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 73.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \]

   10. Applied rewrites 73.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq 1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 52.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot x\\ \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) x)))
   (if (<= (* (/ (sinh y) y) (sin x)) -0.05)
     (* (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0) (fma t_0 -0.16666666666666666 x))
     (*
      (fma (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) (* y y) 1.0)
      (fma t_0 (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666) x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (x * x) * x;
	double tmp;
	if (((sinh(y) / y) * sin(x)) <= -0.05) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x);
	} else {
		tmp = fma(fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma(t_0, fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x)) <= -0.05)
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(t_0, -0.16666666666666666, x));
	else
		tmp = Float64(fma(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(t_0, fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.05], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 58.4

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 58.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      10. metadata-eval 24.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 24.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   if -0.050000000000000003 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 94.2

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 94.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, \frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, {x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      15. lower-*.f64 67.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 67.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (*
  (fma
   (*
    (fma
     (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
     (* y y)
     0.16666666666666666)
    y)
   y
   1.0)
  (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return fma((fma(fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x);
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(fma(Float64(fma(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x))
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   14. lower-*.f64 92.2

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

5. Applied rewrites 92.2%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 92.2%

   \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

8. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (*
  (fma
   (fma (* 0.0001984126984126984 (* y y)) (* y y) 0.16666666666666666)
   (* y y)
   1.0)
  (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return fma(fma((0.0001984126984126984 * (y * y)), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * sin(x);
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(fma(fma(Float64(0.0001984126984126984 * Float64(y * y)), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * sin(x))
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   14. lower-*.f64 92.2

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

5. Applied rewrites 92.2%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

6. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 92.2%

   \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

9. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right) \cdot y\right) \cdot y, y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (*
  (fma
   (* (* (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333) y) y)
   (* y y)
   1.0)
  (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return fma(((fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333) * y) * y), (y * y), 1.0) * sin(x);
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(fma(Float64(Float64(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333) * y) * y), Float64(y * y), 1.0) * sin(x))
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   14. lower-*.f64 92.2

       \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

5. Applied rewrites 92.2%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

6. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left({y}^{4} \cdot \left(\frac{1}{5040} + \frac{1}{120} \cdot \frac{1}{{y}^{2}}\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 92.1%

   \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right) \cdot y\right) \cdot y, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

9. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right) \cdot y\right) \cdot y, y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 48.7% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (*
  (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
  (fma (* (* x x) x) -0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x, double y) {
	return fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(((x * x) * x), -0.16666666666666666, x);
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(Float64(x * x) * x), -0.16666666666666666, x))
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

   3. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   5. lower-*.f64 75.4

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

5. Applied rewrites 75.4%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot x}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   8. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{6}, 1\right) \]

   10. metadata-eval 47.0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

8. Applied rewrites 47.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 47.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \]

11. Final simplification 47.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 33.8% accurate, 12.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (fma (* x x) -0.16666666666666666 1.0) x))

C

double code(double x, double y) {
	return fma((x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x;
}

Julia

function code(x, y)
	return Float64(fma(Float64(x * x), -0.16666666666666666, 1.0) * x)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 52.1

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 52.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 33.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{-0.16666666666666666}, x\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 33.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Applied rewrites 33.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666, 1\right) \cdot x \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024270 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))