UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 98.9%

Time: 16.6s

Alternatives: 9

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) (PI))))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) (PI))))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \left(yi \cdot \left(\sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{ux}}{ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -2}{ux} - maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \sin t\_1\right) + xi \cdot \left(\sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \cdot \cos t\_1\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)) (t_1 (* (PI) (* 2.0 uy))))
   (-
    (+
     (*
      yi
      (*
       (sqrt
        (*
         (pow ux 4.0)
         (-
          (/
           (-
            (/ (- (/ (/ 1.0 ux) ux) (* maxCos maxCos)) ux)
            (* (* maxCos maxCos) -2.0))
           ux)
          (* maxCos maxCos))))
       (sin t_1)))
     (* xi (* (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))) (cos t_1))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi))))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{\frac{1}{ux}}{ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(yi \cdot \left(\sqrt{{ux}^{4} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{ux}}{ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -2}{ux} - maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\sqrt{\left(\frac{\frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -2}{ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot yi + \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (-
  (+
   (*
    (*
     (sqrt
      (*
       (-
        (/
         (-
          (/ (- (/ 1.0 (* ux ux)) (* maxCos maxCos)) ux)
          (* (* maxCos maxCos) -2.0))
         ux)
        (* maxCos maxCos))
       (pow ux 4.0)))
     (sin (* (PI) (* 2.0 uy))))
    yi)
   (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi))
  (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi)))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-PI.f32 98.8

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\sqrt{\left(\frac{\frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -2}{ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot yi + \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \left(\left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t\_1 \cdot \cos t\_2\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (PI) (* 2.0 uy))))
   (-
    (+ (* (* (sin t_2) t_1) yi) (* xi (* t_1 (cos t_2))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi))))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ t_1 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\left(\sqrt{\frac{1}{ux \cdot ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right)} \cdot \sin t\_0\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - t\_1 \cdot t\_1} \cdot \cos t\_0\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (PI) (* 2.0 uy))) (t_1 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (-
    (+
     (* (* (sqrt (* (/ 1.0 (* ux ux)) (* ux ux))) (sin t_0)) yi)
     (* xi (* (sqrt (- 1.0 (* t_1 t_1))) (cos t_0))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi))))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\left(\frac{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -2 - \frac{{ux}^{-2} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{{ux}^{2}} \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 98.6%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{ux \cdot ux} \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt{\frac{1}{ux \cdot ux} \cdot \left(ux \cdot ux\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\sqrt{1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot yi + \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (-
  (+
   (* (* (sqrt 1.0) (sin (* (PI) (* 2.0 uy)))) yi)
   (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi))
  (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi)))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{ux}^{4} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right)}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{{ux}^{2}} - {maxCos}^{2}}{ux} - 2 \cdot {maxCos}^{2}}{ux} - {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-PI.f32 98.8

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{-2 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) - \frac{\frac{1}{ux \cdot ux} - maxCos \cdot maxCos}{ux}}{-ux} - maxCos \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{4}}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 98.6%

    \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \cdot yi + \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.8% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ t_1 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\\ \left(\left(t\_1 \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right) \cdot yi + \cos t\_1 \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)) (t_1 (* (* (PI) uy) 2.0)))
   (-
    (+ (* (* t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))) yi) (* (cos t_1) xi))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi))))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. lower-PI.f32 90.7

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 90.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. lower-PI.f32 90.7

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Applied rewrites 90.7%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto \left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 78.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05299999937415123:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* 2.0 uy) 0.05299999937415123)
   (+ (fma (* zi ux) maxCos (* (* (* yi (PI)) uy) 2.0)) xi)
   (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi)))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0529999994

   1. Initial program 99.0%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

   5. Applied rewrites 10.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right), \frac{yi}{xi}, \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)\right), \frac{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos}{xi}\right) \cdot xi} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 11.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy, xi\right)}, \frac{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos}{xi} \cdot xi\right) \]

   9. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 84.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi \]

   if 0.0529999994 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 97.6%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. add-cube-cbrt N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. pow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lower-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-cbrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      14. lift-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      15. lower-cbrt.f32 97.1

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. Applied rewrites 97.1%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      4. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      10. lower-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      11. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

   7. Applied rewrites 56.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 56.7%

       \[\leadsto \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{xi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05299999937415123:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 75.2% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (fma (* zi ux) maxCos (* (* (* yi (PI)) uy) 2.0)) xi))

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

5. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right), \frac{yi}{xi}, \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)\right), \frac{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos}{xi}\right) \cdot xi} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right) + \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 13.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy, xi\right)}, \frac{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos}{xi} \cdot xi\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 72.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi \]

12. Final simplification 67.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(zi \cdot ux, maxCos, \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) + xi \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 46.6% accurate, 58.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \cdot xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* 1.0 xi))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return 1.0f * xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 1.0e0 * xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(1.0) * xi)
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(1.0) * xi;
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right)\right) \cdot xi} \]

5. Applied rewrites 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right), \frac{yi}{xi}, \cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)\right), \frac{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos}{xi}\right) \cdot xi} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}{xi}\right) \cdot xi \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 45.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, \frac{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \cdot ux}{xi}, \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) \cdot xi \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto 1 \cdot xi \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 45.0%

    \[\leadsto 1 \cdot xi \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024270 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) (PI))) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) (PI))) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))