Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.7% → 8.2%

Time: 2.4min

Alternatives: 8

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, t\_1\right)\\ \frac{t\_2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {t\_0}^{2}\right) \cdot t\_2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\sqrt[3]{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, t\_1\right) \cdot t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_1 (* 0.5 (PI)))
        (t_2 (fma t_0 2.0 t_1)))
   (/
    (-
     (* t_2 (* (* (cbrt (pow (PI) 3.0)) (PI)) 0.25))
     (* (* 4.0 (pow t_0 2.0)) t_2))
    (*
     (fma
      (fma
       (pow (/ (cbrt (* 2.0 (PI))) (cbrt 2.0)) 2.0)
       (* (cbrt (PI)) 0.5)
       (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
      2.0
      t_1)
     t_2))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-pow.f64 7.6

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   17. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   18. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   19. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} \cdot 2}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}{2}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. cbrt-div N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. lower-cbrt.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt[3]{2}}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\frac{\sqrt[3]{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} t\_1\\ t_3 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_2, 2, t\_3\right)\\ t_5 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{t\_4 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {t\_2}^{2}\right) \cdot t\_4}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t\_5 \cdot 0.5, t\_5, -\cos^{-1} t\_1\right), 2, t\_3\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({t\_0}^{2}, t\_0 \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, t\_3\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (PI)))
        (t_1 (sqrt (fma x -0.5 0.5)))
        (t_2 (asin t_1))
        (t_3 (* 0.5 (PI)))
        (t_4 (fma t_2 2.0 t_3))
        (t_5 (sqrt (PI))))
   (/
    (-
     (* t_4 (* (* (cbrt (pow (PI) 3.0)) (PI)) 0.25))
     (* (* 4.0 (pow t_2 2.0)) t_4))
    (*
     (fma (fma (* t_5 0.5) t_5 (- (acos t_1))) 2.0 t_3)
     (fma
      (fma (pow t_0 2.0) (* t_0 0.5) (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
      2.0
      t_3)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-pow.f64 7.6

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   17. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   18. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   19. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   16. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   17. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   18. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   19. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   20. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_1, 2, t\_0\right)\\ t_3 := \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \frac{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot t\_2 - \left(4 \cdot {t\_1}^{2}\right) \cdot t\_2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({t\_3}^{2}, t\_3 \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, t\_0\right) \cdot t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (PI)))
        (t_1 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))))
        (t_2 (fma t_1 2.0 t_0))
        (t_3 (cbrt (PI))))
   (/
    (-
     (* (* (* (cbrt (* (* (PI) (PI)) (PI))) (PI)) 0.25) t_2)
     (* (* 4.0 (pow t_1 2.0)) t_2))
    (*
     (fma
      (fma (pow t_3 2.0) (* t_3 0.5) (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
      2.0
      t_0)
     t_2))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-pow.f64 7.6

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   7. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   13. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   17. add-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   18. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   19. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}, 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. lower-*.f64 7.6

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.2% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(t\_0, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ \frac{t\_1 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {t\_0}^{2}\right) \cdot t\_1}{t\_1 \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5)))) (t_1 (fma t_0 2.0 (* 0.5 (PI)))))
   (/
    (-
     (* t_1 (* (* (cbrt (pow (PI) 3.0)) (PI)) 0.25))
     (* (* 4.0 (pow t_0 2.0)) t_1))
    (* t_1 t_1))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-pow.f64 7.6

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(0.25 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

7. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) - \left(4 \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25}{t\_0}, \frac{-4}{t\_0} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{2}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (asin (sqrt (fma x -0.5 0.5))) 2.0 (* 0.5 (PI)))))
   (fma
    (PI)
    (/ (* (PI) 0.25) t_0)
    (*
     (/ (- 4.0) t_0)
     (pow (fma (PI) 0.5 (- (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))) 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   10. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   11. lift-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   14. lower-fma.f64 7.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}}\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, -{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2} \cdot \frac{4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{2}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 8.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\\ \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {t\_0}^{2} \cdot 4}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5)))))
   (/
    (- (* (* (PI) (PI)) 0.25) (* (pow t_0 2.0) 4.0))
    (fma -0.5 (PI) (* -2.0 t_0)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]
8. Step-by-step derivation

9. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 8.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 5.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt 0.5)) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.5

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 5.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024268 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))