bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.4%

Time: 10.9s

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_2 := 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_3 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_2, \mathsf{PI}\left(\right), {t\_3}^{2}\right)\\ t_5 := t\_3 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \frac{\frac{t\_4 \cdot \left({t\_0}^{2} - {t\_5}^{2}\right) - \left(\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot t\_2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {t\_3}^{4}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(t\_0 - t\_5\right)}{\left(\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot t\_1\right) \cdot t\_1\right) \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_3\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (PI) 0.5) (PI)))
        (t_1 (sqrt (PI)))
        (t_2 (* 0.25 (PI)))
        (t_3 (acos (- 1.0 x)))
        (t_4 (fma t_2 (PI) (pow t_3 2.0)))
        (t_5 (* t_3 (PI))))
   (/
    (/
     (-
      (* t_4 (- (pow t_0 2.0) (pow t_5 2.0)))
      (*
       (* (- (* (* (* (* (PI) (PI)) 0.25) t_2) (PI)) (pow t_3 4.0)) 2.0)
       (- t_0 t_5)))
     (* (* (* (asin (- 1.0 x)) t_1) t_1) t_4))
    (* (fma 0.5 (PI) t_3) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   17. asin-acos N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   18. lift-asin.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}^{2}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left({\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\color{blue}{\frac{1}{4}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   18. lower-*.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 9.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

11. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) \cdot \left({\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) - \left(\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{PI}\left(\right), {t\_1}^{2}\right)\\ t_3 := t\_1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_4 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\\ t_5 := t\_3 - t\_4 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \frac{\frac{\left({t\_3}^{2} - \left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot t\_2 - t\_5 \cdot \left(\left({t\_4}^{4} - {t\_1}^{4}\right) \cdot 2\right)}{t\_5 \cdot t\_2}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.25 (PI)))
        (t_1 (acos (- 1.0 x)))
        (t_2 (fma t_0 (PI) (pow t_1 2.0)))
        (t_3 (* t_1 (PI)))
        (t_4 (* (PI) 0.5))
        (t_5 (- t_3 (* t_4 (PI)))))
   (/
    (/
     (-
      (* (- (pow t_3 2.0) (* (* t_0 (PI)) (* (PI) (PI)))) t_2)
      (* t_5 (* (- (pow t_4 4.0) (pow t_1 4.0)) 2.0)))
     (* t_5 t_2))
    (* (fma 0.5 (PI) t_1) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left({\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left({\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{4}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. pow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. lower-*.f64 9.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left({\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - \left(\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) - \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot 2\right)}{\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := t\_0 \cdot 0.5\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{t\_1} \cdot \sqrt{t\_0 \cdot 2}, t\_1, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))) (t_1 (* t_0 0.5)))
   (fma (* (sqrt t_1) (sqrt (* t_0 2.0))) t_1 (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. lower-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   15. lower-asin.f64 3.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 3.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   7. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   8. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   12. sqrt-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   14. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   15. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   16. lower-sqrt.f64 9.1

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   17. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   19. lower-*.f64 9.1

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

7. Final simplification 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (- (fma (* t_0 t_0) 0.5 (- (acos (- 1.0 x))))))))

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 5.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   13. lower-neg.f64 5.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   2. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. lower-*.f64 9.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, t\_0, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (- (fma (* t_0 0.5) t_0 (- (acos (- 1.0 x))))))))

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 5.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 5.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   18. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   19. lower-neg.f64 9.1

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 9.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.8

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.3%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024255 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))