Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.7% → 8.3%

Time: 16.5s

Alternatives: 7

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

Alternative 1: 8.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_2 := \sin^{-1} t\_1\\ \mathsf{fma}\left(\frac{-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, t\_2, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_2, \left(-\cos^{-1} t\_1\right) \cdot t\_2\right) \cdot \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(t\_2, 2, t\_0\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (PI))) (t_1 (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) (t_2 (asin t_1)))
   (fma
    (/ (* -0.25 (PI)) (fma -2.0 t_2 (* -0.5 (PI))))
    (PI)
    (* (fma t_0 t_2 (* (- (acos t_1)) t_2)) (/ -4.0 (fma t_2 2.0 t_0))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \color{blue}{{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}^{2}}\right) \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)}^{2}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)}^{2}\right) \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)}^{2}\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right) \]

   7. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \]

   14. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}\right) \]

9. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\\ t_1 := \sin^{-1} t\_0\\ \mathsf{fma}\left(\frac{-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, t\_1, -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} t\_0\right)\right)}^{2} \cdot \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(t\_1, 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (fma -0.5 x 0.5))) (t_1 (asin t_0)))
   (fma
    (/ (* -0.25 (PI)) (fma -2.0 t_1 (* -0.5 (PI))))
    (PI)
    (*
     (pow (fma (PI) 0.5 (- (acos t_0))) 2.0)
     (/ -4.0 (fma t_1 2.0 (* 0.5 (PI))))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)}}^{2}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)}}^{2}\right) \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}}\right)\right)}^{2}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right)}^{2}\right) \]

   5. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right)}^{2}\right) \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)}^{2}\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{2}\right) \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   9. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   10. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   12. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   13. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   14. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   15. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   16. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)}}^{2}\right) \]

   17. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

   18. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{4}}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, x, \frac{1}{2}\right)}\right), 2, \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right)}\right)}\right)\right)\right)}^{2}\right) \]

8. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.25}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}}^{2}\right) \]

9. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{2} \cdot \frac{-4}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right), 2, 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot 2\\ t_2 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({t\_0}^{3}, 8, \left(t\_2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.125\right)}{\mathsf{fma}\left(t\_2, 0.25, \left(t\_1 - -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5))))
        (t_1 (* t_0 2.0))
        (t_2 (* (PI) (PI))))
   (/
    (fma (pow t_0 3.0) 8.0 (* (* t_2 (PI)) -0.125))
    (fma t_2 0.25 (* (- t_1 (* -0.5 (PI))) t_1)))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{3}, 8, -0.125 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25, \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 7.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{3}, 8, -0.125 \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25, \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.5\right)\right)} \]

12. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{3}, 8, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -0.125\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25, \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2 - -0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, t\_0 \cdot -2\right)\right)}^{-1} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 4 \cdot {t\_0}^{2}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
   (*
    (pow (fma (PI) -0.5 (* t_0 -2.0)) -1.0)
    (- (* 0.25 (* (PI) (PI))) (* 4.0 (pow t_0 2.0))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4\right) \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)\right)}^{-1}} \]

10. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot -2\right)\right)}^{-1} \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\\ \frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 4 \cdot {t\_0}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, t\_0 \cdot -2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (fma -0.5 x 0.5)))))
   (/
    (- (* 0.25 (* (PI) (PI))) (* 4.0 (pow t_0 2.0)))
    (fma (PI) -0.5 (* t_0 -2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25 - {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2} \cdot 4}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)\right)}} \]

10. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-0.5, x, 0.5\right)}\right) \cdot -2\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 8.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt (fma x -0.5 0.5))) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 5.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fma -0.5 (PI) (* (acos (sqrt 0.5)) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)} \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)} \]

   6. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \]

   10. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   11. lower-acos.f64 7.6

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right) \]

   13. lift--.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1 - x}}{2}}\right)\right) \]

   14. div-sub N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}}\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2}}\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right) + \frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   20. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   22. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{-2}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   23. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(2\right)}} + \frac{1}{2}}\right)\right) \]

   24. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}, \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)} \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   8. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-2 + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

7. Applied rewrites 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, -0.5, 0.5\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 5.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024255 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ (PI) 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))