Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.6s

Alternatives: 17

Speedup: 1.0×

• Could not converge on a ground truth

  1. x = 1.623834508304825e-148
  2. y = 1.5141686386660116e+186

• 49.1% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (/ (sinh y) y) (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	return (sinh(y) / y) * sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = (sinh(y) / y) * sin(x)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return (Math.sinh(y) / y) * Math.sin(x);
}

Python

def code(x, y):
	return (math.sinh(y) / y) * math.sin(x)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(Float64(sinh(y) / y) * sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = (sinh(y) / y) * sin(x);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\sinh y}{y} \cdot \sin x \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left({y}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (*
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0)
    (sin x))
   (if (<= y 1.8e+47)
     (/ 1.0 (/ (/ y x) (sinh y)))
     (* (* (pow y 6.0) 0.0001984126984126984) (sin x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.8e+47) {
		tmp = 1.0 / ((y / x) / sinh(y));
	} else {
		tmp = (pow(y, 6.0) * 0.0001984126984126984) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.8e+47)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(y / x) / sinh(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64((y ^ 6.0) * 0.0001984126984126984) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.8e+47], N[(1.0 / N[(N[(y / x), $MachinePrecision] / N[Sinh[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[y, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 90.7

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 90.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.80000000000000004e47

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   if 1.80000000000000004e47 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 98.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 98.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{6}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left({y}^{6} \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left({y}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 57.7% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-5)
   (*
    (fma
     (*
      (fma
       (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      (* x x))
     x
     x)
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0))
   (fma
    (* (* x x) x)
    (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-5) {
		tmp = fma((fma(fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * x), fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-5)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = fma(Float64(Float64(x * x) * x), fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-5], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000008e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 89.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 72.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if 1.00000000000000008e-5 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 40.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 23.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 57.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-5)
   (*
    (fma
     (fma
      (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
      y
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0)
    (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
   (fma
    (* (* x x) x)
    (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-5) {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * x), fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-5)
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = fma(Float64(Float64(x * x) * x), fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-5], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000008e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 89.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 72.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 72.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 72.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

   if 1.00000000000000008e-5 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 40.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 23.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 94.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y \leq 9.8 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (fma
           (fma
            (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
            (* y y)
            0.16666666666666666)
           (* y y)
           1.0)
          (sin x))))
   (if (<= y 0.52) t_0 (if (<= y 9.8e+51) (/ 1.0 (/ (/ y x) (sinh y))) t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * sin(x);
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = t_0;
	} else if (y <= 9.8e+51) {
		tmp = 1.0 / ((y / x) / sinh(y));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * sin(x))
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = t_0;
	elseif (y <= 9.8e+51)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(y / x) / sinh(y)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 0.52], t$95$0, If[LessEqual[y, 9.8e+51], N[(1.0 / N[(N[(y / x), $MachinePrecision] / N[Sinh[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 0.52000000000000002 or 9.79999999999999967e51 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 92.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 92.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   if 0.52000000000000002 < y < 9.79999999999999967e51

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 84.8

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 84.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 9.8 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 55.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-5)
   (*
    (fma (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) (* y y) 1.0)
    (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
   (fma
    (* (* x x) x)
    (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-5) {
		tmp = fma(fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * x), fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-5)
		tmp = Float64(fma(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = fma(Float64(Float64(x * x) * x), fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-5], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000008e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 89.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 72.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 72.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

       3. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

       7. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

       9. lower-*.f64 71.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   13. Applied rewrites 71.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   if 1.00000000000000008e-5 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 40.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 23.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (*
    (fma (* (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) y) y 1.0)
    (sin x))
   (if (<= y 1.8e+47)
     (/ 1.0 (/ (/ y x) (sinh y)))
     (if (<= y 4e+77)
       (*
        (fma
         (fma
          (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
          y
          0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
       (* (fma (* 0.008333333333333333 (* y y)) (* y y) 1.0) (sin x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma((fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.8e+47) {
		tmp = 1.0 / ((y / x) / sinh(y));
	} else if (y <= 4e+77) {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma((0.008333333333333333 * (y * y)), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.8e+47)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(y / x) / sinh(y)));
	elseif (y <= 4e+77)
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * Float64(y * y)), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.8e+47], N[(1.0 / N[(N[(y / x), $MachinePrecision] / N[Sinh[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 4e+77], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 89.2

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.80000000000000004e47

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   if 1.80000000000000004e47 < y < 3.99999999999999993e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 80.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 80.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

   if 3.99999999999999993e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 92.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (*
    (fma (* (fma 0.008333333333333333 (* y y) 0.16666666666666666) y) y 1.0)
    (sin x))
   (if (<= y 1.8e+47)
     (/ (sinh y) (/ y x))
     (if (<= y 4e+77)
       (*
        (fma
         (fma
          (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
          y
          0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
       (* (fma (* 0.008333333333333333 (* y y)) (* y y) 1.0) (sin x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma((fma(0.008333333333333333, (y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.8e+47) {
		tmp = sinh(y) / (y / x);
	} else if (y <= 4e+77) {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma((0.008333333333333333 * (y * y)), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(0.008333333333333333, Float64(y * y), 0.16666666666666666) * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.8e+47)
		tmp = Float64(sinh(y) / Float64(y / x));
	elseif (y <= 4e+77)
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * Float64(y * y)), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.8e+47], N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / N[(y / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 4e+77], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 89.2

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 89.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.80000000000000004e47

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

      4. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   9. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   if 1.80000000000000004e47 < y < 3.99999999999999993e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 80.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 80.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

   if 3.99999999999999993e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right) \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 86.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
   (if (<= y 1.8e+47)
     (/ (sinh y) (/ y x))
     (if (<= y 4e+77)
       (*
        (fma
         (fma
          (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
          y
          0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
       (* (fma (* 0.008333333333333333 (* y y)) (* y y) 1.0) (sin x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.8e+47) {
		tmp = sinh(y) / (y / x);
	} else if (y <= 4e+77) {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma((0.008333333333333333 * (y * y)), (y * y), 1.0) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.8e+47)
		tmp = Float64(sinh(y) / Float64(y / x));
	elseif (y <= 4e+77)
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(0.008333333333333333 * Float64(y * y)), Float64(y * y), 1.0) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.8e+47], N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / N[(y / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 4e+77], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 78.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.80000000000000004e47

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

      4. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   9. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   if 1.80000000000000004e47 < y < 3.99999999999999993e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 80.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 80.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

   if 3.99999999999999993e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120}, y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      9. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 49.0% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-5)
   (*
    (fma (* y y) 0.16666666666666666 1.0)
    (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
   (fma
    (* (* x x) x)
    (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-5) {
		tmp = fma((y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * x), fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-5)
		tmp = Float64(fma(Float64(y * y), 0.16666666666666666, 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = fma(Float64(Float64(x * x) * x), fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-5], N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000008e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 89.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 72.1

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 72.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

       5. lower-*.f64 60.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   13. Applied rewrites 60.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   if 1.00000000000000008e-5 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 40.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 23.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 23.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 84.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
   (if (<= y 1.8e+47)
     (/ (sinh y) (/ y x))
     (if (<= y 1.35e+154)
       (*
        (fma
         (fma
          (* (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333) y)
          y
          0.16666666666666666)
         (* y y)
         1.0)
        (fma (* x x) (* -0.16666666666666666 x) x))
       (* (* 0.16666666666666666 (* y y)) (sin x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.8e+47) {
		tmp = sinh(y) / (y / x);
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = fma(fma((fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), (y * y), 1.0) * fma((x * x), (-0.16666666666666666 * x), x);
	} else {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.8e+47)
		tmp = Float64(sinh(y) / Float64(y / x));
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(fma(fma(Float64(fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333) * y), y, 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(-0.16666666666666666 * x), x));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.8e+47], N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / N[(y / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], N[(N[(N[(N[(N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * y), $MachinePrecision] * y + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 78.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.80000000000000004e47

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      5. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sin x \cdot \sinh y}}} \]

      6. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      7. lower-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

      8. lower-/.f64 100.0

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{\sin x}}}{\sinh y}} \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{\sin x}}{\sinh y}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]

   7. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{y}{x}}}{\sinh y}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      2. lift-/.f64 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{y}{x}}{\sinh y}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

      4. lower-/.f64 82.6

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   9. Applied rewrites 82.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}} \]

   if 1.80000000000000004e47 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 95.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 95.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, \frac{-1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{3}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      10. lower-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{\left(2 + 1\right)}}, \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      11. metadata-eval 90.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{\color{blue}{3}}, -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 90.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 90.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Applied rewrites 90.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y} \cdot y, 1\right) \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 81.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.8 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{\frac{y}{x}}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right) \cdot y, y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.16666666666666666 \cdot x, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 35.7% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot x\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.002:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0, -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) x)))
   (if (<= (sin x) -0.002)
     (fma t_0 -0.16666666666666666 x)
     (fma t_0 (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666) x))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (x * x) * x;
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.002) {
		tmp = fma(t_0, -0.16666666666666666, x);
	} else {
		tmp = fma(t_0, fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * x)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.002)
		tmp = fma(t_0, -0.16666666666666666, x);
	else
		tmp = fma(t_0, fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.002], N[(t$95$0 * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -2e-3

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 53.7

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 24.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{-0.16666666666666666}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 24.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \]

   if -2e-3 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 46.0

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 41.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 41.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 83.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (* (fma (* 0.16666666666666666 y) y 1.0) (sin x))
   (if (<= y 1.35e+154)
     (*
      (fma
       (*
        (fma
         (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         (* x x)
         -0.16666666666666666)
        (* x x))
       x
       x)
      (fma
       (fma
        (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
        (* y y)
        0.16666666666666666)
       (* y y)
       1.0))
     (* (* 0.16666666666666666 (* y y)) (sin x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = fma((0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x);
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = fma((fma(fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = Float64(fma(Float64(0.16666666666666666 * y), y, 1.0) * sin(x));
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * y), $MachinePrecision] * y + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 78.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Applied rewrites 78.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{y}, 1\right) \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 74.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 74.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 74.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot y, y, 1\right) \cdot \sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 70.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (sin x)
   (if (<= y 1.35e+154)
     (*
      (fma
       (*
        (fma
         (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         (* x x)
         -0.16666666666666666)
        (* x x))
       x
       x)
      (fma
       (fma
        (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
        (* y y)
        0.16666666666666666)
       (* y y)
       1.0))
     (* (* 0.16666666666666666 (* y y)) (sin x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = sin(x);
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = fma((fma(fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = sin(x);
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) * sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[Sin[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 60.7

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 60.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 0.52000000000000002 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 74.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 74.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 74.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6}, 1\right)} \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}, 1\right) \]

      5. lower-*.f64 100.0

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.16666666666666666, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 66.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \sin x\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 67.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.52:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 0.52)
   (sin x)
   (*
    (fma
     (*
      (fma
       (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
       (* x x)
       -0.16666666666666666)
      (* x x))
     x
     x)
    (fma
     (fma
      (fma 0.0001984126984126984 (* y y) 0.008333333333333333)
      (* y y)
      0.16666666666666666)
     (* y y)
     1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 0.52) {
		tmp = sin(x);
	} else {
		tmp = fma((fma(fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), (x * x), -0.16666666666666666) * (x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, (y * y), 0.008333333333333333), (y * y), 0.16666666666666666), (y * y), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.52)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(fma(fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), Float64(x * x), -0.16666666666666666) * Float64(x * x)), x, x) * fma(fma(fma(0.0001984126984126984, Float64(y * y), 0.008333333333333333), Float64(y * y), 0.16666666666666666), Float64(y * y), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 0.52], N[Sin[x], $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.0001984126984126984 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 0.52000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 60.7

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 60.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 0.52000000000000002 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot {y}^{2}} + 1\right) \]

      3. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right), {y}^{2}, 1\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}}, {y}^{2}, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) \cdot {y}^{2}} + \frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, {y}^{2}, 1\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, {y}^{2}, \frac{1}{120}\right)}, {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}\right), {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      12. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), \color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6}\right), {y}^{2}, 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      14. lower-*.f64 87.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 87.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot {x}^{2}, {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{5040}, y \cdot y, \frac{1}{120}\right), y \cdot y, \frac{1}{6}\right), y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, x \cdot x, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 78.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, y \cdot y, 0.008333333333333333\right), y \cdot y, 0.16666666666666666\right), y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 35.5% accurate, 12.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (fma (* (* x x) x) -0.16666666666666666 x))

C

double code(double x, double y) {
	return fma(((x * x) * x), -0.16666666666666666, x);
}

Julia

function code(x, y)
	return fma(Float64(Float64(x * x) * x), -0.16666666666666666, x)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 47.9

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 47.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 39.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{-0.16666666666666666}, x\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 39.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x, -0.16666666666666666, x\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 17: 35.5% accurate, 12.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (fma (* -0.16666666666666666 (* x x)) x x))

C

double code(double x, double y) {
	return fma((-0.16666666666666666 * (x * x)), x, x);
}

Julia

function code(x, y)
	return fma(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(x * x)), x, x)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 47.9

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 47.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 39.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{3}, \color{blue}{-0.16666666666666666}, x\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 38.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x\right) \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024255 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))