UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 18.1s

Alternatives: 22

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) (PI))))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) (PI))))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \left(yi \cdot \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) + xi \cdot \left(t\_1 \cdot \cos t\_2\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (PI) (* 2.0 uy))))
   (-
    (+ (* yi (* (sin t_2) t_1)) (* xi (* t_1 (cos t_2))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   6. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

4. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

5. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right) + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ t_1 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ t_2 := \sqrt{1 - t\_1 \cdot t\_1}\\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) + \left(yi \cdot \left(\sin t\_0 \cdot t\_2\right) + xi \cdot \left(t\_2 \cdot \cos t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (PI) (* 2.0 uy)))
        (t_1 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux))
        (t_2 (sqrt (- 1.0 (* t_1 t_1)))))
   (+
    (* (* (- 1.0 ux) ux) (* zi maxCos))
    (+ (* yi (* (sin t_0) t_2)) (* xi (* t_2 (cos t_0)))))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) + \left(yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right) + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 73.1% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\\ t_1 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\\ t_2 := \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + t\_0 \cdot \left(\cos t\_1 \cdot xi\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999998199587 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\sin t\_1 \cdot yi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0))))))
        (t_1 (* (* (PI) uy) 2.0))
        (t_2
         (+
          (* (- (/ (* zi maxCos) ux) (* zi maxCos)) (* ux ux))
          (* t_0 (* (cos t_1) xi)))))
   (if (<= xi -9.999999998199587e-24)
     t_2
     (if (<= xi 1.0000000168623835e-16)
       (- (* t_0 (* (sin t_1) yi)) (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))
       t_2))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -1e-23 or 1.00000002e-16 < xi

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{{ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right) \cdot {ux}^{2}} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right) \cdot {ux}^{2}} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} + -1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      5. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} - maxCos \cdot zi\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      6. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} - maxCos \cdot zi\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      7. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\frac{maxCos \cdot zi}{ux}} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{\color{blue}{zi \cdot maxCos}}{ux} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{\color{blue}{zi \cdot maxCos}}{ux} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - \color{blue}{zi \cdot maxCos}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - \color{blue}{zi \cdot maxCos}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \]

      13. lower-*.f32 99.4

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \]

   5. Applied rewrites 99.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)} \]

   6. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      4. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      10. lower-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      11. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

   8. Applied rewrites 76.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

   if -1e-23 < xi < 1.00000002e-16

   1. Initial program 98.6%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999998199587 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (-
    (+
     (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi)
     (* xi (* (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))) (cos (* (PI) (* 2.0 uy))))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   6. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

4. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   3. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. lower-PI.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

7. Applied rewrites 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (+
    (+
     (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi)
     (* xi (* (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))) (cos (* (PI) (* 2.0 uy))))))
    (* (* (- 1.0 ux) ux) (* zi maxCos)))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   3. lower-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   8. lower-PI.f32 98.9

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

10. Applied rewrites 98.9%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi}\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

11. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (-
    (+
     (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi)
     (* yi (* (sin (* (PI) (* 2.0 uy))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   6. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

4. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
6. Step-by-step derivation

   1. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   6. lower-PI.f32 98.8

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

7. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

8. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (+
    (+
     (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi)
     (* yi (* (sin (* (PI) (* 2.0 uy))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))
    (* (* (- 1.0 ux) ux) (* zi maxCos)))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   3. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

   6. lower-PI.f32 98.8

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

10. Applied rewrites 98.8%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \]

11. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot maxCos\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\\ \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* maxCos (- 1.0 ux)) ux)))
   (-
    (+
     (* (cos (* (* (PI) uy) 2.0)) xi)
     (* yi (* (sin (* (PI) (* 2.0 uy))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))
    (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) ux) zi))))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \left(\color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi} + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi} + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. lower-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. lower-PI.f32 98.8

      \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi} + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)}\right)\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 73.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\\ t_1 := \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ t_2 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\\ t_3 := t\_0 \cdot \left(\cos t\_2 \cdot xi\right) - t\_1\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999998199587 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\sin t\_2 \cdot yi\right) - t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0))))))
        (t_1 (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))
        (t_2 (* (* (PI) uy) 2.0))
        (t_3 (- (* t_0 (* (cos t_2) xi)) t_1)))
   (if (<= xi -9.999999998199587e-24)
     t_3
     (if (<= xi 1.0000000168623835e-16)
       (- (* t_0 (* (sin t_2) yi)) t_1)
       t_3))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -1e-23 or 1.00000002e-16 < xi

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 99.4

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 99.4

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 99.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 76.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if -1e-23 < xi < 1.00000002e-16

   1. Initial program 98.6%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999998199587 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 71.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\\ t_2 := t\_1 \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\sin t\_0 \cdot yi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (PI) uy) 2.0))
        (t_1
         (sqrt
          (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0))))))
        (t_2 (* t_1 (* (cos t_0) xi))))
   (if (<= xi -9.999999960041972e-13)
     t_2
     (if (<= xi 1.0000000168623835e-16)
       (- (* t_1 (* (sin t_0) yi)) (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))
       t_2))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -9.99999996e-13 or 1.00000002e-16 < xi

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      4. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      10. lower-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      11. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

   5. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \]

   if -9.99999996e-13 < xi < 1.00000002e-16

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right) - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 71.1% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi\right)\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (PI) uy) 2.0))
        (t_1
         (*
          (sqrt
           (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0)))))
          (* (cos t_0) xi))))
   (if (<= xi -9.999999960041972e-13)
     t_1
     (if (<= xi 1.0000000168623835e-16)
       (- (* (sin t_0) yi) (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))
       t_1))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -9.99999996e-13 or 1.00000002e-16 < xi

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot xi\right)} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      4. lower-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)} \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      9. lower-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \]

      10. lower-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      11. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \]

   5. Applied rewrites 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right) \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \]

   if -9.99999996e-13 < xi < 1.00000002e-16

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 67.8%

       \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.0000000168623835 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot xi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 66.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(ux - 1\right) \cdot maxCos\\ t_1 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(t\_0 \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 - \left(t\_0 \cdot ux\right) \cdot zi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- ux 1.0) maxCos))
        (t_1
         (*
          (sqrt
           (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0)))))
          xi)))
   (if (<= xi -9.999999960041972e-13)
     (+ t_1 (* (- (/ (* zi maxCos) ux) (* zi maxCos)) (* ux ux)))
     (if (<= xi 1.60000000580399e-14)
       (- (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi) (* (* t_0 zi) ux))
       (- t_1 (* (* t_0 ux) zi))))))

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if xi < -9.99999996e-13

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{{ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right) \cdot {ux}^{2}} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{maxCos \cdot zi}{ux}\right) \cdot {ux}^{2}} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} + -1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      5. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} - maxCos \cdot zi\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      6. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{maxCos \cdot zi}{ux} - maxCos \cdot zi\right)} \cdot {ux}^{2} \]

      7. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\frac{maxCos \cdot zi}{ux}} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{\color{blue}{zi \cdot maxCos}}{ux} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{\color{blue}{zi \cdot maxCos}}{ux} - maxCos \cdot zi\right) \cdot {ux}^{2} \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - \color{blue}{zi \cdot maxCos}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - \color{blue}{zi \cdot maxCos}\right) \cdot {ux}^{2} \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \]

      13. lower-*.f32 99.3

          \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

      13. lower-*.f32 71.8

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

   8. Applied rewrites 71.8%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) \]

   if -9.99999996e-13 < xi < 1.60000001e-14

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 66.8%

       \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 1.60000001e-14 < xi

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 66.6

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi + \left(\frac{zi \cdot maxCos}{ux} - zi \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 66.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ t_1 := \left(ux - 1\right) \cdot maxCos\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos + t\_0\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(t\_1 \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 - \left(t\_1 \cdot ux\right) \cdot zi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (*
          (sqrt
           (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0)))))
          xi))
        (t_1 (* (- ux 1.0) maxCos)))
   (if (<= xi -9.999999960041972e-13)
     (+ (* (* (* zi (- 1.0 ux)) ux) maxCos) t_0)
     (if (<= xi 1.60000000580399e-14)
       (- (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi) (* (* t_1 zi) ux))
       (- t_0 (* (* t_1 ux) zi))))))

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if xi < -9.99999996e-13

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      6. lower--.f32 99.3

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      13. lower-*.f32 71.8

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   8. Applied rewrites 71.8%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   if -9.99999996e-13 < xi < 1.60000001e-14

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 66.8%

       \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   if 1.60000001e-14 < xi

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

      13. lower-*.f32 66.6

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. Applied rewrites 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 66.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (+
          (* (* (* zi (- 1.0 ux)) ux) maxCos)
          (*
           (sqrt
            (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* (* ux ux) (pow (- 1.0 ux) 2.0)))))
           xi))))
   (if (<= xi -9.999999960041972e-13)
     t_0
     (if (<= xi 1.60000000580399e-14)
       (- (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi) (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux))
       t_0))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if xi < -9.99999996e-13 or 1.60000001e-14 < xi

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      6. lower--.f32 99.5

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   5. Applied rewrites 99.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]
   7. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      2. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      3. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      8. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      9. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

      13. lower-*.f32 69.3

          \[\leadsto xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   8. Applied rewrites 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} + \left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   if -9.99999996e-13 < xi < 1.60000001e-14

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

      6. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

      7. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

      9. lower-*.f32 98.8

         \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   4. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

   5. Taylor expanded in xi around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      3. lower-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      4. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      9. lower-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      10. lower--.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      12. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

      14. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. Applied rewrites 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 66.8%

       \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;xi \leq -9.999999960041972 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ \mathbf{elif}\;xi \leq 1.60000000580399 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos + \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot xi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 44.6% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (- (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi) (* (* (* (- ux 1.0) maxCos) zi) ux)))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{zi \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux} \]

   6. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot ux \]

   7. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)}\right) \cdot ux \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

   9. lower-*.f32 99.1

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \cdot ux \]

4. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux} \]

5. Taylor expanded in xi around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   3. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   9. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   10. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   12. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

7. Applied rewrites 43.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 43.3%

    \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} + \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \]

11. Final simplification 43.3%

    \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi - \left(\left(\left(ux - 1\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot ux \]
12. Add Preprocessing

Alternative 16: 38.6% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sin (* (* (PI) uy) 2.0)) yi))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   3. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied rewrites 38.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 38.0%

   \[\leadsto \sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{yi} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 27.1% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(-0.5 + ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* (* (* yi (PI)) uy) 2.0)
  (fma (* (+ -0.5 ux) (* maxCos maxCos)) (* ux ux) 1.0)))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   3. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied rewrites 38.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(1 + {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 18.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -0.5\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + \frac{-1}{2}\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 31.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -0.5\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

12. Final simplification 31.6%

    \[\leadsto \left(\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(-0.5 + ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 21.5% accurate, 8.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (fma (* -0.5 (* maxCos maxCos)) (* ux ux) 1.0) (* (* (* yi (PI)) uy) 2.0)))

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in yi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   3. lower-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - \left(\color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\color{blue}{\left(1 - ux\right)}}^{2} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot {maxCos}^{2}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied rewrites 38.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left({\left(1 - ux\right)}^{2} \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot \left(\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \cdot yi\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(1 + {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 18.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -0.5\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 18.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right)} \cdot yi\right) \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

14. Applied rewrites 31.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{2}\right) \]

15. Final simplification 31.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right), ux \cdot ux, 1\right) \cdot \left(\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right) \cdot 2\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 19: 13.5% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* (* maxCos ux) zi) (- 1.0 ux)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((maxCos * ux) * zi) * (1.0f - ux);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ((maxcos * ux) * zi) * (1.0e0 - ux)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(maxCos * ux) * zi) * Float32(Float32(1.0) - ux))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((maxCos * ux) * zi) * (single(1.0) - ux);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 12.5

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

8. Final simplification 12.5%

   \[\leadsto \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 20: 13.5% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(zi - zi \cdot ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* (- zi (* zi ux)) ux) maxCos))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((zi - (zi * ux)) * ux) * maxCos;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ((zi - (zi * ux)) * ux) * maxcos
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(zi - Float32(zi * ux)) * ux) * maxCos)
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((zi - (zi * ux)) * ux) * maxCos;
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 12.5

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(\left(zi + -1 \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \left(\left(zi - zi \cdot ux\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]
9. Add Preprocessing

Alternative 21: 13.5% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot ux \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* zi (* maxCos (- 1.0 ux))) ux))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (maxCos * (1.0f - ux))) * ux;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = (zi * (maxcos * (1.0e0 - ux))) * ux
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))) * ux)
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (maxCos * (single(1.0) - ux))) * ux;
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 12.5

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]
6. Step-by-step derivation

7. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{ux} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 22: 12.0% accurate, 32.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* (* zi ux) maxCos))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * ux) * maxCos;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = (zi * ux) * maxcos
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * ux) * maxCos)
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * ux) * maxCos;
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right)} \cdot maxCos \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

   6. lower--.f32 12.5

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos \]

5. Applied rewrites 12.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot ux\right) \cdot maxCos} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 11.5%

   \[\leadsto \left(zi \cdot ux\right) \cdot maxCos \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024255 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) (PI))) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) (PI))) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))