2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 10.4s

Alternatives: 2

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\\ \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{t\_1} \cdot \left(t\_1 \cdot 2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1 (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* (PI) -0.6666666666666666)))))
   (*
    (/ (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* 0.6666666666666666 (PI)))) t_1)
    (* t_1 2.0))))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, -0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right) \cdot 2\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma (PI) 0.6666666666666666 (* 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)))))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. clear-num N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}}}\right)\right) \]

   12. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024254 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))