math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.2% → 99.9%

Time: 11.6s

Alternatives: 22

Speedup: 0.7×

• 49.0% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im\_m} - e^{im\_m} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im\_m}}, 0.5, \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-e^{im\_m}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im\_m}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im\_m, im\_m, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) -0.1)
    (fma (/ (sin re) (exp im_m)) 0.5 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp im_m))))
    (*
     (*
      (fma
       (fma (* im_m im_m) -0.0001984126984126984 -0.008333333333333333)
       (pow im_m 4.0)
       (fma (* -0.16666666666666666 im_m) im_m -1.0))
      (sin re))
     im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -0.1) {
		tmp = fma((sin(re) / exp(im_m)), 0.5, ((0.5 * sin(re)) * -exp(im_m)));
	} else {
		tmp = (fma(fma((im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), pow(im_m, 4.0), fma((-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) <= -0.1)
		tmp = fma(Float64(sin(re) / exp(im_m)), 0.5, Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(-exp(im_m))));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), (im_m ^ 4.0), fma(Float64(-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.1], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] / N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.5 + N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * (-N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + -0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      2. lift--.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{-im} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right)} \]

      4. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      5. lift-*.f64 N/A

         \[\leadsto e^{-im} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{-im} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{-im} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(e^{-im} \cdot \sin re, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin re \cdot e^{-im}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      10. lift-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin re \cdot \color{blue}{e^{-im}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      11. lift-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin re \cdot e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{im}}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      13. lift-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin re \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{im}}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sin re}{e^{im}}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      15. lower-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sin re}{e^{im}}}, \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      17. lower-neg.f64 100.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, 0.5, \color{blue}{\left(-e^{im}\right)} \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\right) \]

      18. lift-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, \frac{1}{2}, \left(-e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, \frac{1}{2}, \left(-e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      20. lower-*.f64 100.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, 0.5, \left(-e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot 0.5\right)}\right) \]

   4. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, 0.5, \left(-e^{im}\right) \cdot \left(\sin re \cdot 0.5\right)\right)} \]

   if -0.10000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{\sin re}{e^{im}}, 0.5, \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-e^{im}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 82.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right) \cdot im\_m, im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333 \cdot im\_m, im\_m, -0.16666666666666666\right), -1\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im_m)) (exp im_m)))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 (- INFINITY))
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (*
           (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
           im_m)
          im_m
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* (fma (* 0.004166666666666667 (* re re)) (* re re) 0.5) re))
      (if (<= t_0 5e-15)
        (*
         (*
          (fma
           (* im_m im_m)
           (fma (* -0.008333333333333333 im_m) im_m -0.16666666666666666)
           -1.0)
          (sin re))
         im_m)
        (*
         (*
          (fma
           (fma
            (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
            (* im_m im_m)
            -0.3333333333333333)
           (* im_m im_m)
           -2.0)
          im_m)
         (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im_m) - exp(im_m));
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(fma((fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((0.004166666666666667 * (re * re)), (re * re), 0.5) * re);
	} else if (t_0 <= 5e-15) {
		tmp = (fma((im_m * im_m), fma((-0.008333333333333333 * im_m), im_m, -0.16666666666666666), -1.0) * sin(re)) * im_m;
	} else {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)), Float64(re * re), 0.5) * re));
	elseif (t_0 <= 5e-15)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), fma(Float64(-0.008333333333333333 * im_m), im_m, -0.16666666666666666), -1.0) * sin(re)) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e-15], N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.008333333333333333 * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 84.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 66.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   14. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 4.99999999999999999e-15

   1. Initial program 29.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot im} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \cdot im} \]

   11. Applied rewrites 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(im \cdot im, \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333 \cdot im, im, -0.16666666666666666\right), -1\right)\right) \cdot im} \]

   if 4.99999999999999999e-15 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 69.1

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 72.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, \mathsf{fma}\left(-0.008333333333333333 \cdot im, im, -0.16666666666666666\right), -1\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 82.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right) \cdot im\_m, im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im\_m, im\_m, -1\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im_m)) (exp im_m)))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 (- INFINITY))
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (*
           (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
           im_m)
          im_m
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* (fma (* 0.004166666666666667 (* re re)) (* re re) 0.5) re))
      (if (<= t_0 5e-15)
        (* (* (fma (* -0.16666666666666666 im_m) im_m -1.0) (sin re)) im_m)
        (*
         (*
          (fma
           (fma
            (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
            (* im_m im_m)
            -0.3333333333333333)
           (* im_m im_m)
           -2.0)
          im_m)
         (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im_m) - exp(im_m));
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(fma((fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((0.004166666666666667 * (re * re)), (re * re), 0.5) * re);
	} else if (t_0 <= 5e-15) {
		tmp = (fma((-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0) * sin(re)) * im_m;
	} else {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)), Float64(re * re), 0.5) * re));
	elseif (t_0 <= 5e-15)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0) * sin(re)) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e-15], N[(N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 84.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 66.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   14. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 4.99999999999999999e-15

   1. Initial program 29.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 99.2%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   if 4.99999999999999999e-15 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 69.1

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 72.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 82.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right) \cdot im\_m, im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im_m)) (exp im_m)))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 (- INFINITY))
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (*
           (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
           im_m)
          im_m
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* (fma (* 0.004166666666666667 (* re re)) (* re re) 0.5) re))
      (if (<= t_0 5e-15)
        (* (sin re) (- im_m))
        (*
         (*
          (fma
           (fma
            (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
            (* im_m im_m)
            -0.3333333333333333)
           (* im_m im_m)
           -2.0)
          im_m)
         (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im_m) - exp(im_m));
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (fma(fma((fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((0.004166666666666667 * (re * re)), (re * re), 0.5) * re);
	} else if (t_0 <= 5e-15) {
		tmp = sin(re) * -im_m;
	} else {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(0.004166666666666667 * Float64(re * re)), Float64(re * re), 0.5) * re));
	elseif (t_0 <= 5e-15)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(-im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 5e-15], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * (-im$95$m)), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 84.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 66.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}, re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   14. Applied rewrites 66.4%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   if -inf.0 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 4.99999999999999999e-15

   1. Initial program 29.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 98.8

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 4.99999999999999999e-15 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 69.1

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 72.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667 \cdot \left(re \cdot re\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im\_m}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im\_m, im\_m, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.1)
      (* (* 0.5 (sin re)) t_0)
      (*
       (*
        (fma
         (fma (* im_m im_m) -0.0001984126984126984 -0.008333333333333333)
         (pow im_m 4.0)
         (fma (* -0.16666666666666666 im_m) im_m -1.0))
        (sin re))
       im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * t_0;
	} else {
		tmp = (fma(fma((im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), pow(im_m, 4.0), fma((-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), (im_m ^ 4.0), fma(Float64(-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.1], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + -0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.10000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \left(e^{-im\_m} - e^{im\_m}\right) \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (* t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) 5e-15)
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
          (* im_m im_m)
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       t_0)
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
          (* im_m im_m)
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((t_0 * (exp(-im_m) - exp(im_m))) <= 5e-15) {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0;
	} else {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 * Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))) <= 5e-15)
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(t$95$0 * N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-15], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))) < 4.99999999999999999e-15

   1. Initial program 50.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 95.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   if 4.99999999999999999e-15 < (*.f64 (*.f64 #s(literal 1/2 binary64) (sin.f64 re)) (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 69.1

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 69.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 72.0

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 72.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \leq 5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im\_m} - e^{im\_m} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im\_m}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im\_m, im\_m, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (- INFINITY))
    (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 (sin re)))
    (*
     (*
      (fma
       (fma (* im_m im_m) -0.0001984126984126984 -0.008333333333333333)
       (pow im_m 4.0)
       (fma (* -0.16666666666666666 im_m) im_m -1.0))
      (sin re))
     im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = (fma(fma((im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), pow(im_m, 4.0), fma((-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(im_m * im_m), -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333), (im_m ^ 4.0), fma(Float64(-0.16666666666666666 * im_m), im_m, -1.0)) * sin(re)) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + -0.008333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 95.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im\_m} - e^{im\_m} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) (- INFINITY))
      (* (- 1.0 (exp im_m)) t_0)
      (*
       (*
        (fma
         (fma
          (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
          (* im_m im_m)
          -0.3333333333333333)
         (* im_m im_m)
         -2.0)
        im_m)
       t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * t_0;
	} else {
		tmp = (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * t_0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-Infinity)], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 96.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-186}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 1e-186)
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re))
    (*
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 1e-186) {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	} else {
		tmp = (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 1e-186)
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 1e-186], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 9.9999999999999991e-187

   1. Initial program 68.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 63.0

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 63.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 63.0%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 67.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 67.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 9.9999999999999991e-187 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 53.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 54.8

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-186}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 58.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-42}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 5e-42)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 5e-42) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 5e-42)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 5e-42], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 5.00000000000000003e-42

   1. Initial program 68.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 71.4

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 5.00000000000000003e-42 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 47.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.2

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 37.3

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 37.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 5 \cdot 10^{-42}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 1e-9)
    (*
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re)
     (*
      (fma
       (fma
        (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m))
    (*
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 1e-9) {
		tmp = (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * (fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	} else {
		tmp = (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 1e-9)
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re) * Float64(fma(fma(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 1e-9], N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 1.00000000000000006e-9

   1. Initial program 66.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 72.6

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 72.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 1.00000000000000006e-9 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 49.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 28.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 28.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 28.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 28.7%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 1e-9)
    (*
     (*
      (fma
       (fma
        (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re))
    (*
     (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)
     (*
      (fma
       (fma 0.004166666666666667 (* re re) -0.08333333333333333)
       (* re re)
       0.5)
      re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 1e-9) {
		tmp = (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	} else {
		tmp = (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma(fma(0.004166666666666667, (re * re), -0.08333333333333333), (re * re), 0.5) * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 1e-9)
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(fma(0.004166666666666667, Float64(re * re), -0.08333333333333333), Float64(re * re), 0.5) * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 1e-9], N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.004166666666666667 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 1.00000000000000006e-9

   1. Initial program 66.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 92.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 69.1

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 68.9%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 72.4

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   14. Applied rewrites 72.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if 1.00000000000000006e-9 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 49.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right) \cdot {re}^{2}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{12}}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, {re}^{2}, \frac{-1}{12}\right)}, {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, \color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}\right), {re}^{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), \color{blue}{re \cdot re}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. lower-*.f64 28.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), \color{blue}{re \cdot re}, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 28.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{240}, re \cdot re, \frac{-1}{12}\right), re \cdot re, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 28.7

          \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 28.7%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.004166666666666667, re \cdot re, -0.08333333333333333\right), re \cdot re, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right) \cdot im\_m, im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (*
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)
     (* (fma (* re re) -0.08333333333333333 0.5) re))
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      (fma
       (fma
        (*
         (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
         im_m)
        im_m
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m) * (fma((re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re);
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(fma((fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m) * Float64(fma(Float64(re * re), -0.08333333333333333, 0.5) * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(fma(Float64(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333 + 0.5), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 86.7

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 86.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}} + \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({re}^{2}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right)} \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, \frac{-1}{12}, \frac{1}{2}\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      7. lower-*.f64 26.2

         \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{re \cdot re}, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 26.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 73.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   14. Applied rewrites 73.8%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(re \cdot re, -0.08333333333333333, 0.5\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 58.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im\_m \cdot im\_m, -0.016666666666666666\right) \cdot im\_m, im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (*
     (*
      (*
       (fma (* im_m im_m) -0.16666666666666666 -1.0)
       (fma -0.16666666666666666 (* re re) 1.0))
      re)
     im_m)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      (fma
       (fma
        (*
         (fma -0.0003968253968253968 (* im_m im_m) -0.016666666666666666)
         im_m)
        im_m
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = ((fma((im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, (re * re), 1.0)) * re) * im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(fma((fma(-0.0003968253968253968, (im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, Float64(re * re), 1.0)) * re) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(fma(Float64(fma(-0.0003968253968253968, Float64(im_m * im_m), -0.016666666666666666) * im_m), im_m, -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.016666666666666666), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * im$95$m + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 77.9%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 73.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   12. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   14. Applied rewrites 73.8%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right) \cdot im, im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 58.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right), im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (*
     (*
      (*
       (fma (* im_m im_m) -0.16666666666666666 -1.0)
       (fma -0.16666666666666666 (* re re) 1.0))
      re)
     im_m)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      (fma
       (fma
        (* -0.0003968253968253968 (* im_m im_m))
        (* im_m im_m)
        -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = ((fma((im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, (re * re), 1.0)) * re) * im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(fma((-0.0003968253968253968 * (im_m * im_m)), (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, Float64(re * re), 1.0)) * re) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(fma(Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(im_m * im_m)), Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-0.0003968253968253968 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 77.9%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 73.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968 \cdot \left(im \cdot im\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 56.6% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im\_m \cdot im\_m, -0.3333333333333333\right), im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (*
     (*
      (*
       (fma (* im_m im_m) -0.16666666666666666 -1.0)
       (fma -0.16666666666666666 (* re re) 1.0))
      re)
     im_m)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      (fma
       (fma -0.016666666666666666 (* im_m im_m) -0.3333333333333333)
       (* im_m im_m)
       -2.0)
      im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = ((fma((im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, (re * re), 1.0)) * re) * im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(fma(-0.016666666666666666, (im_m * im_m), -0.3333333333333333), (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, Float64(re * re), 1.0)) * re) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(fma(-0.016666666666666666, Float64(im_m * im_m), -0.3333333333333333), Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.016666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 77.9%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right) \cdot im\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

      6. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, {im}^{2}, \frac{-1}{3}\right)}, {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{im \cdot im}, \frac{-1}{3}\right), {im}^{2}, -2\right) \cdot im\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

      13. lower-*.f64 91.7

          \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   5. Applied rewrites 91.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{60}, im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 72.6

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 72.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 52.8% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (*
     (*
      (*
       (fma (* im_m im_m) -0.16666666666666666 -1.0)
       (fma -0.16666666666666666 (* re re) 1.0))
      re)
     im_m)
    (* (* 0.5 re) (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = ((fma((im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, (re * re), 1.0)) * re) * im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * fma(-0.16666666666666666, Float64(re * re), 1.0)) * re) * im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 77.9%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - 1\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 24.7%

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, re \cdot re, 1\right)\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 52.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im\_m \cdot im\_m, -2\right) \cdot im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (* (* 0.5 re) (* (fma -0.3333333333333333 (* im_m im_m) -2.0) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = (0.5 * re) * (fma(-0.3333333333333333, (im_m * im_m), -2.0) * im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(fma(-0.3333333333333333, Float64(im_m * im_m), -2.0) * im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] + -2.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 54.4

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 21.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 21.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(im \cdot re\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot im\right)} \]

   5. Applied rewrites 94.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2520}, im \cdot im, \frac{-1}{60}\right), im \cdot im, \frac{-1}{3}\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

      2. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   8. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-0.0003968253968253968, im \cdot im, -0.016666666666666666\right), im \cdot im, -0.3333333333333333\right), im \cdot im, -2\right) \cdot im\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       2. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right) \cdot im\right)} \]

       3. sub-neg N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)} \cdot im\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-2}\right) \cdot im\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, {im}^{2}, -2\right)} \cdot im\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

       7. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \color{blue}{im \cdot im}, -2\right) \cdot im\right) \]

   11. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, im \cdot im, -2\right) \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 49.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (* (* (fma (* im_m im_m) -0.16666666666666666 -1.0) re) im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = (fma((im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * re) * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.16666666666666666, -1.0) * re) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + -1.0), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 54.4

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 21.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 21.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(im \cdot re\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \cdot im} \]

   5. Applied rewrites 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.0001984126984126984, -0.008333333333333333\right), {im}^{4}, \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right)\right) \cdot im} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot im \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 79.1%

      \[\leadsto \left(\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666 \cdot im, im, -1\right)\right) \cdot im \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right) \cdot im \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 61.6%

       \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot re\right) \cdot im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.16666666666666666, -1\right) \cdot re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 35.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right) \cdot im\_m\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) 0.01)
    (* (* (fma 0.16666666666666666 (* re re) -1.0) im_m) re)
    (* (- re) im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= 0.01) {
		tmp = (fma(0.16666666666666666, (re * re), -1.0) * im_m) * re;
	} else {
		tmp = -re * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= 0.01)
		tmp = Float64(Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(re * re), -1.0) * im_m) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(-re) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], 0.01], N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[((-re) * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < 0.0100000000000000002

   1. Initial program 66.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 53.7

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 42.9%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if 0.0100000000000000002 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 50.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 56.9

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 20.2%

      \[\leadsto \left(-re\right) \cdot \color{blue}{im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq 0.01:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right) \cdot im\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 34.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\_m\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= (sin re) -0.02)
    (* (* (* (* re im_m) re) 0.16666666666666666) re)
    (* (- re) im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.02) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = -re * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (sin(re) <= (-0.02d0)) then
        tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666d0) * re
    else
        tmp = -re * im_m
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (Math.sin(re) <= -0.02) {
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	} else {
		tmp = -re * im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if math.sin(re) <= -0.02:
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re
	else:
		tmp = -re * im_m
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re);
	else
		tmp = Float64(Float64(-re) * im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (sin(re) <= -0.02)
		tmp = (((re * im_m) * re) * 0.16666666666666666) * re;
	else
		tmp = -re * im_m;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(N[(re * im$95$m), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * re), $MachinePrecision], N[((-re) * im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 50.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 54.4

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im + \frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 21.8%

      \[\leadsto \left(im \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, re \cdot re, -1\right)\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot re \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 21.8%

       \[\leadsto \left(\left(\left(im \cdot re\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 66.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      3. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

      4. lower-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

      5. lower-sin.f64 54.4

         \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   5. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 43.1%

      \[\leadsto \left(-re\right) \cdot \color{blue}{im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(re \cdot im\right) \cdot re\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-re\right) \cdot im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 33.1% accurate, 39.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(-re\right) \cdot im\_m\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* (- re) im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-re * im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-re * im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (-re * im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (-re * im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(-re) * im_m))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (-re * im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[((-re) * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \cdot \sin re \]

   4. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. lower-sin.f64 54.4

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

5. Applied rewrites 54.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 34.8%

   \[\leadsto \left(-re\right) \cdot \color{blue}{im} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024249 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))