2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 97.1%

Time: 8.5s

Alternatives: 3

Speedup: N/A×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

Alternative 1: 97.1% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ t_1 := {\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(-1.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}\right)}^{-1}\\ \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, t\_0\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{t\_1 \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (/ g h)))
        (t_1
         (pow
          (pow (cos (* (fma -1.5 (PI) t_0) -0.3333333333333333)) -0.5)
          -1.0)))
   (*
    (*
     (cos (* (fma (PI) -1.5 t_0) -0.3333333333333333))
     (cos
      (fma 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)) (* 0.6666666666666666 (PI)))))
    (/ 2.0 (* t_1 t_1)))))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow1 N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}^{1}}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{2}{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)}}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{{\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}^{-1}\right)}^{-1}}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   4. exp-to-pow N/A

      \[\leadsto \frac{2}{{\color{blue}{\left(e^{\log \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot -1}\right)}}^{-1}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   5. lift-log.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{2}{{\left(e^{\color{blue}{\log \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)} \cdot -1}\right)}^{-1}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{2}{{\left(e^{\color{blue}{\log \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot -1}}\right)}^{-1}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-3}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{{\left({\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-1.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{-1} \cdot {\left({\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-1.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{-1}}} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{2}{{\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(-1.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}\right)}^{-1} \cdot {\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(-1.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}\right)}^{-1}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \frac{2}{t\_0} \cdot \left(t\_0 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* (fma (PI) -1.5 (asin (/ g h))) -0.3333333333333333))))
   (*
    (/ 2.0 t_0)
    (*
     t_0
     (cos
      (fma
       0.3333333333333333
       (acos (/ (- g) h))
       (* 0.6666666666666666 (PI))))))))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   5. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \frac{2}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -1.5, \sin^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos (fma 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)) (* 0.6666666666666666 (PI))))
  2.0))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

   3. lower-*.f64 98.4

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \cdot 2} \]

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024247 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 (PI)) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))