bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.8% → 10.3%

Time: 9.0s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.3% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {t\_0}^{2}\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right)\\ \frac{{\left(\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{t\_2}\right)}^{2}}{t\_1 \cdot {t\_2}^{-1}} - \frac{\frac{{t\_0}^{4}}{t\_2}}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x)))
        (t_1 (fma (* 0.25 (PI)) (PI) (pow t_0 2.0)))
        (t_2 (fma 0.5 (PI) t_0)))
   (-
    (/ (pow (/ (* 0.25 (* (PI) (PI))) t_2) 2.0) (* t_1 (pow t_2 -1.0)))
    (/ (/ (pow t_0 4.0) t_2) t_1))))

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)}}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)}}^{2}} \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right)}^{2}} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{2}}} \]

9. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]

10. Final simplification 10.5%

    \[\leadsto \frac{{\left(\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1}} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.3% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := {t\_1}^{2}\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_1\right)\\ \frac{{\left(\frac{0.25 \cdot t\_0}{t\_3}\right)}^{2} \cdot t\_3}{\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.25, t\_2\right)} - \frac{\frac{{t\_1}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (PI) (PI)))
        (t_1 (asin (- 1.0 x)))
        (t_2 (pow t_1 2.0))
        (t_3 (fma (PI) 0.5 t_1)))
   (-
    (/ (* (pow (/ (* 0.25 t_0) t_3) 2.0) t_3) (fma t_0 0.25 t_2))
    (/ (/ (pow t_1 4.0) (fma 0.5 (PI) t_1)) (fma (* 0.25 (PI)) (PI) t_2)))))

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \cdot \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}} \]

6. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4} \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)}}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 - x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}} \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)}}^{2}} \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot x}\right)}^{2}} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{4}}{\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\sin^{-1} \left(1 + -1 \cdot x\right)}^{2}}} \]

9. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2}}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.25, \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} \]

11. Applied rewrites 10.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} \]

12. Final simplification 10.5%

    \[\leadsto \frac{{\left(\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25, {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} - \frac{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(2, t\_1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{t\_2}, t\_2, \left(t\_3 - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_1, 1\right)\right) \cdot -2\right)}{\left(t\_0 \cdot t\_3\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 2.0 (PI)))
        (t_1 (asin (- 1.0 x)))
        (t_2 (sqrt (PI)))
        (t_3 (fma 0.5 (PI) t_1)))
   (/
    (fma
     (/ (fma 2.0 t_1 (PI)) t_2)
     t_2
     (* (- t_3 (* (acos (- 1.0 x)) (fma t_0 t_1 1.0))) -2.0))
    (* (* t_0 t_3) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 6.8

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 2 \cdot \left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 10.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot -2\right)}}{2 \cdot \left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 10.5%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(2, \sin^{-1} \left(1 - x\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sin^{-1} \left(1 - x\right), 1\right)\right) \cdot -2\right)}{\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot 2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 9.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999771291:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999771291)
   (acos (- 1.0 x))
   (fma (/ 2.0 (PI)) (* 0.25 (* (PI) (PI))) (- (asin 1.0)))))

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.999999999977129073

   1. Initial program 72.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 0.999999999977129073 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Applied rewrites 3.9%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-acos.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} 1} \]

      2. acos-asin N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} 1} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} 1\right)\right)} \]

   7. Applied rewrites 7.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 10.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999771291:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (/ 2.0 (PI)) (* 0.25 (* (PI) (PI))) (- (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   5. lower--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)} - \frac{\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} - \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} - \color{blue}{\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   4. sub-div N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 10.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

7. Final simplification 10.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}, 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 9.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999771291:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999771291) (acos (- 1.0 x)) (acos (- x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999771291) {
		tmp = acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((1.0d0 - x) <= 0.9999999999771291d0) then
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    else
        tmp = acos(-x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999771291) {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = Math.acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (1.0 - x) <= 0.9999999999771291:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	else:
		tmp = math.acos(-x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(1.0 - x) <= 0.9999999999771291)
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	else
		tmp = acos(Float64(-x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999771291)
		tmp = acos((1.0 - x));
	else
		tmp = acos(-x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(1.0 - x), $MachinePrecision], 0.9999999999771291], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.999999999977129073

   1. Initial program 72.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 0.999999999977129073 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.6

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.6%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.9

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024244 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))