bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.9% → 10.5%

Time: 10.2s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_1 := \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\\ t_2 := 0.25 \cdot t\_1\\ t_3 := \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_4 := \mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{PI}\left(\right), {t\_3}^{2}\right)\\ t_5 := \mathsf{fma}\left(t\_3, t\_3 - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_2\right)\\ \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, t\_1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {t\_3}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), t\_4, \left(\left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {t\_3}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot t\_5\right)}{t\_5 \cdot t\_4}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_3\right) \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.25 (PI)))
        (t_1 (* (PI) (PI)))
        (t_2 (* 0.25 t_1))
        (t_3 (acos (- 1.0 x)))
        (t_4 (fma t_0 (PI) (pow t_3 2.0)))
        (t_5 (fma t_3 (- t_3 (* 0.5 (PI))) t_2)))
   (/
    (/
     (fma
      (* (fma 0.125 (* t_1 (PI)) (pow t_3 3.0)) (PI))
      t_4
      (* (* (- (* (* t_2 t_0) (PI)) (pow t_3 4.0)) -2.0) t_5))
     (* t_5 t_4))
    (* (fma 0.5 (PI) t_3) 2.0))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. unpow3 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lower-*.f64 9.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right)}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{4}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left({\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{4} \cdot {\frac{1}{2}}^{4}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot {\frac{1}{2}}^{4} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{16}} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   13. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{4}\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   16. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   18. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}}\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   20. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   21. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{4}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

11. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.125, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right), \left(\left(\left(\left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{4}\right) \cdot -2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right), {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{t\_0}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (PI) 0.5 (acos (- 1.0 x)))))
   (fma (* t_0 (PI)) (/ 0.5 t_0) (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}} \]

   6. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   3. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. lower-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   9. lower-cbrt.f64 4.4

      \[\leadsto \frac{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 4.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - {\cos^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{0.5}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathsf{fma}\left(\frac{2}{t\_0}, t\_0 \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (PI) (acos (- 1.0 x)))))
   (fma (/ 2.0 t_0) (* t_0 (* 0.25 (PI))) (- (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   5. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)}}\right) \]

   7. frac-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}} \]

   8. frac-sub N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) - \frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) - 2 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   4. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   11. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   12. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   14. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   15. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   18. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   19. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

   20. lower-neg.f64 9.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{\frac{4}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)}, -\sin^{-1} \left(1 - x\right) \cdot 1\right) \]

10. Applied rewrites 9.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

11. Final simplification 9.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot t\_0, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (fma (* t_0 t_0) -0.5 (acos (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{0 - \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. associate--r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(0 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   14. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   15. metadata-eval 6.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-0.5}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   2. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. lower-*.f64 9.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot t\_0, t\_0, \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI)))) (fma (* -0.5 t_0) t_0 (- (PI) (asin (- 1.0 x))))))

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{0 - \sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   3. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   4. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   5. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right) \]

   6. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, 0 - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. associate--r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(0 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   14. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   15. metadata-eval 6.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-0.5}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 6.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -0.5, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   7. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   8. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   9. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{-1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\cos^{-1} \left(1 - x\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   14. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   16. lower-*.f64 9.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   17. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   19. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   20. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 9.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 9.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.6e-17) (acos (- x)) (acos (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = acos(-x);
	} else {
		tmp = acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.6d-17) then
        tmp = acos(-x)
    else
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.6e-17) {
		tmp = Math.acos(-x);
	} else {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.6e-17:
		tmp = math.acos(-x)
	else:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(Float64(-x));
	else
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.6e-17)
		tmp = acos(-x);
	else
		tmp = acos((1.0 - x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.6e-17], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.5

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.5%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   if 5.5999999999999998e-17 < x

   1. Initial program 58.5%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.8

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.8%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024243 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))