bug323 (missed optimization)

Percentage Accurate: 6.8% → 10.4%

Time: 10.6s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq x \land x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return acos((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return math.acos((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(1.0 - x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 10.4% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_0\right), t\_0, t\_1\right)\\ t_3 := \frac{{t\_0}^{3}}{t\_2}\\ t_4 := \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{t\_2}\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{t\_2}\right)}^{3}, \left(-{t\_0}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right), t\_0, t\_1\right)\right)}^{-3}\right)}{\left(t\_3 \cdot t\_4 + t\_3 \cdot t\_3\right) + {t\_4}^{2}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x)))
        (t_1 (* 0.25 (* (PI) (PI))))
        (t_2 (fma (fma 0.5 (PI) t_0) t_0 t_1))
        (t_3 (/ (pow t_0 3.0) t_2))
        (t_4 (/ (* (pow (PI) 3.0) 0.125) t_2)))
   (/
    (fma
     (pow (PI) 9.0)
     (pow (/ 0.125 t_2) 3.0)
     (* (- (pow t_0 9.0)) (pow (fma (fma (PI) 0.5 t_0) t_0 t_1) -3.0)))
    (+ (+ (* t_3 t_4) (* t_3 t_3)) (pow t_4 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   17. lower-asin.f64 4.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}, {\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{{\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   2. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, {\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)}}^{3}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   3. cube-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}\right)}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \mathsf{neg}\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{3}{2}\right)}}\right)\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{-{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-3} \cdot {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{9}}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)\right)} \]

9. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}^{3}, \left(-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-3}\right)}{\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) + {\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}^{2}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 10.4% accurate, 0.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\\ t_1 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_1\right), t\_1, t\_0\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), t\_1\right), t\_1, t\_0\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{t\_3}\right)}^{3}, \left(-{t\_1}^{9}\right) \cdot {t\_2}^{-3}\right)}{\mathsf{fma}\left({t\_1}^{6}, {t\_2}^{-2}, \frac{{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot t\_1\right)}^{3}}{{t\_2}^{2}}\right) + {\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{t\_3}\right)}^{2}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.25 (* (PI) (PI))))
        (t_1 (asin (- 1.0 x)))
        (t_2 (fma (fma (PI) 0.5 t_1) t_1 t_0))
        (t_3 (fma (fma 0.5 (PI) t_1) t_1 t_0)))
   (/
    (fma
     (pow (PI) 9.0)
     (pow (/ 0.125 t_3) 3.0)
     (* (- (pow t_1 9.0)) (pow t_2 -3.0)))
    (+
     (fma
      (pow t_1 6.0)
      (pow t_2 -2.0)
      (/ (pow (* (* 0.5 (PI)) t_1) 3.0) (pow t_2 2.0)))
     (pow (/ (* (pow (PI) 3.0) 0.125) t_3) 2.0)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   17. lower-asin.f64 4.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}, {\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{{\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   2. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, {\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)}}^{3}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   3. cube-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{\mathsf{neg}\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}\right)}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \mathsf{neg}\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{3}{2}\right)}}\right)\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{3}, \mathsf{neg}\left(\color{blue}{{\left({\left(\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2}\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{1}{8}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.4%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}, \color{blue}{-{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-3} \cdot {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{9}}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{2} + \left(\left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right) - \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)} \cdot \left(-\frac{{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)\right)} \]

10. Applied rewrites 9.4%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{3}, -{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-3} \cdot {\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{9}\right)}{{\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25\right)}\right)}^{2} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{6}, {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-2}, \frac{{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{2}}\right)}} \]

11. Final simplification 9.4%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{9}, {\left(\frac{0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}^{3}, \left(-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{9}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-3}\right)}{\mathsf{fma}\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{6}, {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{-2}, \frac{{\left(\left(0.5 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}^{3}}{{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{2}}\right) + {\left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot 0.125}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right), 0.25 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}^{2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 10.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(1 - x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, t\_0\right)\\ \mathsf{fma}\left(\frac{0.25}{t\_1}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {t\_1}^{-1} \cdot \left(-{t\_0}^{2}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (- 1.0 x))) (t_1 (fma (PI) 0.5 t_0)))
   (fma (/ 0.25 t_1) (* (PI) (PI)) (* (pow t_1 -1.0) (- (pow t_0 2.0))))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   8. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   9. lower-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   10. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   13. lower-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \color{blue}{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   14. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   17. lower-asin.f64 4.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}, \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

6. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0.25, \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}}, -\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(0.5, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}} + \left(-\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}} + \left(-\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}}\right)} + \left(-\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(-\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}{{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{2}}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -\left({\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right), \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-2}\right)} \]

8. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.25}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \left(-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1}\right)} \]

9. Final simplification 9.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{0.25}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), {\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}^{-1} \cdot \left(-{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}^{2}\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 10.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.75}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (pow (PI) 0.75) (* (pow (PI) 0.25) 0.5) (- (asin (- 1.0 x)))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   16. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   19. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   20. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   21. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(-\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   2. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)} \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(-\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   5. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right) \]

   10. lift-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   11. asin-acos N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   12. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

8. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.75}, {\mathsf{PI}\left(\right)}^{0.25} \cdot 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 10.3% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(t\_0 \cdot 0.5, t\_0, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (PI))))
   (fma (PI) 0.5 (- (fma (* t_0 0.5) t_0 (- (acos (- 1.0 x))))))))

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   2. acos-asin N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)} \]

   6. lower-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   8. lower-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \color{blue}{-\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   9. lower-asin.f64 6.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

4. Applied rewrites 6.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

   3. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. lift-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. acos-asin N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. lift-asin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{\sin^{-1} \left(1 - x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied rewrites 9.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)}\right) \]

7. Final simplification 9.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 0.5, -\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 0.5, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, -\cos^{-1} \left(1 - x\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 9.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - x \leq 0.9999999999999999:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(1 - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos^{-1} \left(-x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- 1.0 x) 0.9999999999999999) (acos (- 1.0 x)) (acos (- x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999) {
		tmp = acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((1.0d0 - x) <= 0.9999999999999999d0) then
        tmp = acos((1.0d0 - x))
    else
        tmp = acos(-x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999) {
		tmp = Math.acos((1.0 - x));
	} else {
		tmp = Math.acos(-x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (1.0 - x) <= 0.9999999999999999:
		tmp = math.acos((1.0 - x))
	else:
		tmp = math.acos(-x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(1.0 - x) <= 0.9999999999999999)
		tmp = acos(Float64(1.0 - x));
	else
		tmp = acos(Float64(-x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((1.0 - x) <= 0.9999999999999999)
		tmp = acos((1.0 - x));
	else
		tmp = acos(-x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(1.0 - x), $MachinePrecision], 0.9999999999999999], N[ArcCos[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 #s(literal 1 binary64) x) < 0.999999999999999889

   1. Initial program 49.1%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if 0.999999999999999889 < (-.f64 #s(literal 1 binary64) x)

   1. Initial program 3.9%

      \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

      2. lower-neg.f64 6.4

         \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

   5. Applied rewrites 6.4%

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(-x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos (- x)))

C

double code(double x) {
	return acos(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(-x);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(-x)

Julia

function code(x)
	return acos(Float64(-x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[(-x)], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f64 6.7

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]

5. Applied rewrites 6.7%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(-x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 3.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (acos 1.0))

C

double code(double x) {
	return acos(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = acos(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.acos(1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.acos(1.0)

Julia

function code(x)
	return acos(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = acos(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcCos[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.0%

   \[\cos^{-1} \left(1 - x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Applied rewrites 3.9%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (asin (sqrt (/ x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * asin(sqrt((x / 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.asin(Math.sqrt((x / 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.asin(math.sqrt((x / 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(x / 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * asin(sqrt((x / 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024241 
(FPCore (x)
  :name "bug323 (missed optimization)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 x) (<= x 0.5))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* 2 (asin (sqrt (/ x 2)))))

  (acos (- 1.0 x)))