2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.8% → 99.6%

Time: 19.2s

Alternatives: 11

Speedup: 12.2×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\\ t_1 := 0.5 - t\_0\\ t_2 := {\tan x}^{2}\\ t_3 := \frac{\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_2, t\_1\right)}{0.5 + t\_0} - \mathsf{fma}\left(t\_2, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\\ t_4 := \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, t\_2, \sin x\right)}{\cos x}\\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_4, \tan x \cdot t\_3\right), t\_3\right), t\_4\right), \varepsilon, t\_2\right), \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (cos (+ x x))))
        (t_1 (- 0.5 t_0))
        (t_2 (pow (tan x) 2.0))
        (t_3
         (-
          (/ (fma t_1 t_2 t_1) (+ 0.5 t_0))
          (fma t_2 -0.3333333333333333 -0.3333333333333333)))
        (t_4 (/ (fma (sin x) t_2 (sin x)) (cos x))))
   (fma
    eps
    (fma
     (fma eps (fma eps (fma 0.3333333333333333 t_4 (* (tan x) t_3)) t_3) t_4)
     eps
     t_2)
    eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 0.5 * cos((x + x));
	double t_1 = 0.5 - t_0;
	double t_2 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_3 = (fma(t_1, t_2, t_1) / (0.5 + t_0)) - fma(t_2, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333);
	double t_4 = fma(sin(x), t_2, sin(x)) / cos(x);
	return fma(eps, fma(fma(eps, fma(eps, fma(0.3333333333333333, t_4, (tan(x) * t_3)), t_3), t_4), eps, t_2), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(0.5 * cos(Float64(x + x)))
	t_1 = Float64(0.5 - t_0)
	t_2 = tan(x) ^ 2.0
	t_3 = Float64(Float64(fma(t_1, t_2, t_1) / Float64(0.5 + t_0)) - fma(t_2, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333))
	t_4 = Float64(fma(sin(x), t_2, sin(x)) / cos(x))
	return fma(eps, fma(fma(eps, fma(eps, fma(0.3333333333333333, t_4, Float64(tan(x) * t_3)), t_3), t_4), eps, t_2), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Cos[N[(x + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$2 + t$95$1), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$2 * -0.3333333333333333 + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$2 + N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * N[(eps * N[(0.3333333333333333 * t$95$4 + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision] * eps + t$95$2), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \tan x \cdot \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 + 1\\ t_2 := \frac{\sin x \cdot t\_1}{\cos x}\\ t_3 := \cos \left(x + x\right)\\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t\_2, \tan x \cdot 0.3333333333333333\right), \frac{t\_1 \cdot \left(0.5 + t\_3 \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, t\_3, 0.5\right)}\right) - \mathsf{fma}\left(t\_0, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right), \varepsilon, t\_2\right), \varepsilon, t\_0\right), \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (+ t_0 1.0))
        (t_2 (/ (* (sin x) t_1) (cos x)))
        (t_3 (cos (+ x x))))
   (fma
    eps
    (fma
     (fma
      (-
       (fma
        eps
        (fma 0.3333333333333333 t_2 (* (tan x) 0.3333333333333333))
        (/ (* t_1 (+ 0.5 (* t_3 -0.5))) (fma 0.5 t_3 0.5)))
       (fma t_0 -0.3333333333333333 -0.3333333333333333))
      eps
      t_2)
     eps
     t_0)
    eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 + 1.0;
	double t_2 = (sin(x) * t_1) / cos(x);
	double t_3 = cos((x + x));
	return fma(eps, fma(fma((fma(eps, fma(0.3333333333333333, t_2, (tan(x) * 0.3333333333333333)), ((t_1 * (0.5 + (t_3 * -0.5))) / fma(0.5, t_3, 0.5))) - fma(t_0, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333)), eps, t_2), eps, t_0), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 + 1.0)
	t_2 = Float64(Float64(sin(x) * t_1) / cos(x))
	t_3 = cos(Float64(x + x))
	return fma(eps, fma(fma(Float64(fma(eps, fma(0.3333333333333333, t_2, Float64(tan(x) * 0.3333333333333333)), Float64(Float64(t_1 * Float64(0.5 + Float64(t_3 * -0.5))) / fma(0.5, t_3, 0.5))) - fma(t_0, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333)), eps, t_2), eps, t_0), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(x + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(N[(eps * N[(0.3333333333333333 * t$95$2 + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(0.5 + N[(t$95$3 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 * t$95$3 + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333 + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + t$95$2), $MachinePrecision] * eps + t$95$0), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \frac{1}{3} \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{3}\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 99.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, 0.3333333333333333 \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

12. Applied rewrites 99.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\left({\tan x}^{2} + 1\right) \cdot \sin x}{\cos x}, \tan x \cdot 0.3333333333333333\right), \frac{\left({\tan x}^{2} + 1\right) \cdot \left(0.5 + \cos \left(x + x\right) \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(x + x\right), 0.5\right)}\right) - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \frac{\left({\tan x}^{2} + 1\right) \cdot \sin x}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

13. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right)}{\cos x}, \tan x \cdot 0.3333333333333333\right), \frac{\left({\tan x}^{2} + 1\right) \cdot \left(0.5 + \cos \left(x + x\right) \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(x + x\right), 0.5\right)}\right) - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right), \varepsilon, \frac{\sin x \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, t\_0, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, t\_0\right), \varepsilon\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (fma
    eps
    (fma
     (fma eps 0.3333333333333333 (/ (fma (sin x) t_0 (sin x)) (cos x)))
     eps
     t_0)
    eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return fma(eps, fma(fma(eps, 0.3333333333333333, (fma(sin(x), t_0, sin(x)) / cos(x))), eps, t_0), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return fma(eps, fma(fma(eps, 0.3333333333333333, Float64(fma(sin(x), t_0, sin(x)) / cos(x))), eps, t_0), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333 + N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0 + N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + t$95$0), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 99.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.1% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 0.6666666666666666, 1\right), \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  eps
  (fma
   (fma x (fma (* eps eps) 0.6666666666666666 1.0) (* eps 0.3333333333333333))
   eps
   (pow (tan x) 2.0))
  eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(eps, fma(fma(x, fma((eps * eps), 0.6666666666666666, 1.0), (eps * 0.3333333333333333)), eps, pow(tan(x), 2.0)), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(eps, fma(fma(x, fma(Float64(eps * eps), 0.6666666666666666, 1.0), Float64(eps * 0.3333333333333333)), eps, (tan(x) ^ 2.0)), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(x * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.6666666666666666 + 1.0), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * eps + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \frac{1}{3} \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{3}\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 99.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, 0.3333333333333333 \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon + x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 99.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 0.6666666666666666, 1\right), \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333, \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma eps (fma (* eps 0.3333333333333333) eps (pow (tan x) 2.0)) eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(eps, fma((eps * 0.3333333333333333), eps, pow(tan(x), 2.0)), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(eps, fma(Float64(eps * 0.3333333333333333), eps, (tan(x) ^ 2.0)), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * eps + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3}, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \frac{1}{3} \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{3}\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 99.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, 0.3333333333333333 \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon, \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 99.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333, \varepsilon, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.4% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right)\right), \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  x
  (fma
   (* x eps)
   (fma 1.3333333333333333 (* eps eps) 1.0)
   (* (* eps eps) (fma 0.6666666666666666 (* eps eps) 1.0)))
  (fma 0.3333333333333333 (* eps (* eps eps)) eps)))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(x, fma((x * eps), fma(1.3333333333333333, (eps * eps), 1.0), ((eps * eps) * fma(0.6666666666666666, (eps * eps), 1.0))), fma(0.3333333333333333, (eps * (eps * eps)), eps));
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(x, fma(Float64(x * eps), fma(1.3333333333333333, Float64(eps * eps), 1.0), Float64(Float64(eps * eps) * fma(0.6666666666666666, Float64(eps * eps), 1.0))), fma(0.3333333333333333, Float64(eps * Float64(eps * eps)), eps))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(x * N[(N[(x * eps), $MachinePrecision] * N[(1.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 * N[(eps * eps), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}, \varepsilon\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}, \varepsilon\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \varepsilon + \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.4% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 1.3333333333333333, 1\right), \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666, \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (fma
    x
    (fma
     x
     (fma (* eps eps) 1.3333333333333333 1.0)
     (fma eps (* (* eps eps) 0.6666666666666666) eps))
    (* 0.3333333333333333 (* eps eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + fma(x, fma(x, fma((eps * eps), 1.3333333333333333, 1.0), fma(eps, ((eps * eps) * 0.6666666666666666), eps)), (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + fma(x, fma(x, fma(Float64(eps * eps), 1.3333333333333333, 1.0), fma(eps, Float64(Float64(eps * eps) * 0.6666666666666666), eps)), Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)))))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 1.3333333333333333 + 1.0), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}, \varepsilon\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 98.5%

    \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right) + 1\right) \cdot \varepsilon \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 1.3333333333333333, 1\right), \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666, \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + 1\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon \cdot \varepsilon, 1.3333333333333333, 1\right), \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666, \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.4% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot 1.3333333333333333, 1\right), \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  eps
  (fma
   x
   (fma
    x
    (fma eps (* eps 1.3333333333333333) 1.0)
    (fma 0.6666666666666666 (* eps (* eps eps)) eps))
   (* 0.3333333333333333 (* eps eps)))
  eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(eps, fma(x, fma(x, fma(eps, (eps * 1.3333333333333333), 1.0), fma(0.6666666666666666, (eps * (eps * eps)), eps)), (0.3333333333333333 * (eps * eps))), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(eps, fma(x, fma(x, fma(eps, Float64(eps * 1.3333333333333333), 1.0), fma(0.6666666666666666, Float64(eps * Float64(eps * eps)), eps)), Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps))), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(x * N[(x * N[(eps * N[(eps * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}, \varepsilon\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 98.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot 1.3333333333333333, 1\right), \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)}, 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.4% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 1, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666, \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma
  eps
  (fma
   x
   (fma x 1.0 (fma eps (* (* eps eps) 0.6666666666666666) eps))
   (* 0.3333333333333333 (* eps eps)))
  eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(eps, fma(x, fma(x, 1.0, fma(eps, ((eps * eps) * 0.6666666666666666), eps)), (0.3333333333333333 * (eps * eps))), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(eps, fma(x, fma(x, 1.0, fma(eps, Float64(Float64(eps * eps) * 0.6666666666666666), eps)), Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps))), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(x * N[(x * 1.0 + N[(eps * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

7. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}, \left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x\right), \frac{\mathsf{fma}\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right), {\tan x}^{2}, 0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x + x\right)} - \mathsf{fma}\left({\tan x}^{2}, -0.3333333333333333, -0.3333333333333333\right)\right), \frac{\mathsf{fma}\left(\sin x, {\tan x}^{2}, \sin x\right)}{\cos x}\right), \color{blue}{\varepsilon}, {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{4}{3} + \frac{17}{9} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x \cdot \varepsilon, \mathsf{fma}\left(1.8888888888888888, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1.3333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(1.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right)\right), \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)}, 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \]

11. Taylor expanded in eps around 0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 1, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right), \frac{1}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 1, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \]

14. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(x, 1, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666, \varepsilon\right)\right), 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \varepsilon\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.9% accurate, 12.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (fma eps (* 0.3333333333333333 (* eps eps)) eps))

C

double code(double x, double eps) {
	return fma(eps, (0.3333333333333333 * (eps * eps)), eps);
}

Julia

function code(x, eps)
	return fma(eps, Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)), eps)
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + eps), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}, \varepsilon\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 97.9% accurate, 12.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (fma 0.3333333333333333 (* eps eps) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * fma(0.3333333333333333, (eps * eps), 1.0);
}

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * fma(0.3333333333333333, Float64(eps * eps), 1.0))
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Applied rewrites 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}, \left(\frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2} + \frac{{\sin x}^{4}}{{\cos x}^{2}}}{{\cos x}^{2}} - \left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}, -0.5\right)\right)\right)\right), \frac{\sin x + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{2}}}{\cos x}\right), \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}, \varepsilon\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\varepsilon, 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 98.5%

    \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \varepsilon \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 98.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \varepsilon \cdot \varepsilon, 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 2: 62.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1.0 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0d0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return ((Math.tan(x) + Math.tan(eps)) / (1.0 - (Math.tan(x) * Math.tan(eps)))) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return ((math.tan(x) + math.tan(eps)) / (1.0 - (math.tan(x) * math.tan(eps)))) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(tan(x) + tan(eps)) / Float64(1.0 - Float64(tan(x) * tan(eps)))) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = ((tan(x) + tan(eps)) / (1.0 - (tan(x) * tan(eps)))) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(\varepsilon \cdot \tan x\right) \cdot \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* (* eps (tan x)) (tan x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((eps * Math.tan(x)) * Math.tan(x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((eps * math.tan(x)) * math.tan(x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(eps * tan(x)) * tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((eps * tan(x)) * tan(x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(eps * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024238 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  :alt
  (! :herbie-platform default (- (/ (+ (tan x) (tan eps)) (- 1 (* (tan x) (tan eps)))) (tan x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ eps (* eps (tan x) (tan x))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))