Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Percentage Accurate: 97.8% → 99.6%

Time: 31.2s

Alternatives: 5

Speedup: 1.2×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (fma
  PI
  0.16666666666666666
  (*
   (fma
    (* 0.5 (sqrt PI))
    (sqrt PI)
    (- (acos (* (* (/ x (* z y)) 0.05555555555555555) (sqrt t)))))
   -0.3333333333333333)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return fma(((double) M_PI), 0.16666666666666666, (fma((0.5 * sqrt(((double) M_PI))), sqrt(((double) M_PI)), -acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555) * sqrt(t)))) * -0.3333333333333333));
}

Julia

function code(x, y, z, t)
	return fma(pi, 0.16666666666666666, Float64(fma(Float64(0.5 * sqrt(pi)), sqrt(pi), Float64(-acos(Float64(Float64(Float64(x / Float64(z * y)) * 0.05555555555555555) * sqrt(t))))) * -0.3333333333333333))
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(Pi * 0.16666666666666666 + N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] + (-N[ArcCos[N[(N[(N[(x / N[(z * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.05555555555555555), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.3%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.125 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)}^{3}\right) \cdot 0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.25, \pi \cdot \pi, \sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \pi, \sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)}\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)}\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)}\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   15. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. lower-neg.f64 98.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. lower-*.f64 98.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\pi} \cdot 0.5}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{3}{54}}}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{3}{54 \cdot \left(z \cdot y\right)}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{54 \cdot \color{blue}{\left(z \cdot y\right)}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{54 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z\right)}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{\color{blue}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{\color{blue}{\left(54 \cdot y\right)} \cdot z} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{\color{blue}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z} \cdot x\right) \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   17. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   18. lower-*.f64 99.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\pi} \cdot 0.5, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

10. Applied rewrites 99.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\pi} \cdot 0.5, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{y \cdot z} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\left(\sqrt{t} \cdot x\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (fma
  PI
  0.16666666666666666
  (*
   (fma
    (* 0.5 (sqrt PI))
    (sqrt PI)
    (- (acos (* (* (sqrt t) x) (/ 0.05555555555555555 (* z y))))))
   -0.3333333333333333)))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return fma(((double) M_PI), 0.16666666666666666, (fma((0.5 * sqrt(((double) M_PI))), sqrt(((double) M_PI)), -acos(((sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555 / (z * y))))) * -0.3333333333333333));
}

Julia

function code(x, y, z, t)
	return fma(pi, 0.16666666666666666, Float64(fma(Float64(0.5 * sqrt(pi)), sqrt(pi), Float64(-acos(Float64(Float64(sqrt(t) * x) * Float64(0.05555555555555555 / Float64(z * y)))))) * -0.3333333333333333))
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(Pi * 0.16666666666666666 + N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] + (-N[ArcCos[N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(0.05555555555555555 / N[(z * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.3%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.125 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) - {\sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)}^{3}\right) \cdot 0.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(0.25, \pi \cdot \pi, \sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.5, \pi, \sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied rewrites 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \sin^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\sin^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)}\right) \]

   2. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)}\right) \]

   3. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)}\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   5. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)}\right) \]

   13. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   14. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   15. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   16. lift-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   17. lower-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{6}, \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y}\right)\right)\right)\right) \]

   18. lower-neg.f64 98.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\left(x \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, -0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

9. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sqrt{\pi}, \sqrt{\pi}, -\cos^{-1} \left(\left(\sqrt{t} \cdot x\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \pi, 0.3333333333333333, \left(-0.3333333333333333\right) \cdot \sin^{-1} \left(\left(\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z} \cdot x\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (fma
  (* 0.5 PI)
  0.3333333333333333
  (*
   (- 0.3333333333333333)
   (asin (* (* (/ 3.0 (* (* 54.0 y) z)) x) (sqrt t))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return fma((0.5 * ((double) M_PI)), 0.3333333333333333, (-0.3333333333333333 * asin((((3.0 / ((54.0 * y) * z)) * x) * sqrt(t)))));
}

Julia

function code(x, y, z, t)
	return fma(Float64(0.5 * pi), 0.3333333333333333, Float64(Float64(-0.3333333333333333) * asin(Float64(Float64(Float64(3.0 / Float64(Float64(54.0 * y) * z)) * x) * sqrt(t)))))
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(0.5 * Pi), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[((-0.3333333333333333) * N[ArcSin[N[(N[(N[(3.0 / N[(N[(54.0 * y), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.3%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)} \]

   2. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)} \]

   3. acos-asin N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)} \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{1}{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

   6. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}, \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   8. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   11. lower-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \frac{1}{3}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}, \left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   14. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

4. Applied rewrites 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \pi, 0.3333333333333333, \left(-\sin^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

5. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \pi, 0.3333333333333333, \left(-0.3333333333333333\right) \cdot \sin^{-1} \left(\left(\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z} \cdot x\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  0.3333333333333333
  (acos (* (* (/ x (* z y)) 0.05555555555555555) (sqrt t)))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555) * sqrt(t)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.3333333333333333d0 * acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555d0) * sqrt(t)))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * Math.acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555) * Math.sqrt(t)));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return 0.3333333333333333 * math.acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555) * math.sqrt(t)))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(Float64(Float64(x / Float64(z * y)) * 0.05555555555555555) * sqrt(t))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.3333333333333333 * acos((((x / (z * y)) * 0.05555555555555555) * sqrt(t)));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[(N[(x / N[(z * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.05555555555555555), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.3%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

   3. lower-*.f64 97.3

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

4. Applied rewrites 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{t} \cdot \left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   3. lower-*.f64 98.1

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \cdot 0.3333333333333333 \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(x \cdot \frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{x \cdot 3}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{\color{blue}{\left(54 \cdot y\right) \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{\color{blue}{z \cdot \left(54 \cdot y\right)}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{z \cdot \color{blue}{\left(54 \cdot y\right)}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{z \cdot \color{blue}{\left(y \cdot 54\right)}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{\color{blue}{\left(z \cdot y\right) \cdot 54}} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   12. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{x \cdot 3}{\color{blue}{\left(z \cdot y\right)} \cdot 54} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   13. times-frac N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot \frac{3}{54}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot \color{blue}{\frac{1}{18}}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   15. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot \frac{1}{18}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   16. lower-/.f64 98.1

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\left(\color{blue}{\frac{x}{z \cdot y}} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

6. Applied rewrites 98.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \cdot 0.3333333333333333 \]

7. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z \cdot y} \cdot 0.05555555555555555\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\sqrt{t} \cdot x\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (*
  0.3333333333333333
  (acos (* (* (sqrt t) x) (/ 0.05555555555555555 (* z y))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * acos(((sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555 / (z * y))));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.3333333333333333d0 * acos(((sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555d0 / (z * y))))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.3333333333333333 * Math.acos(((Math.sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555 / (z * y))));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return 0.3333333333333333 * math.acos(((math.sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555 / (z * y))))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(Float64(sqrt(t) * x) * Float64(0.05555555555555555 / Float64(z * y)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.3333333333333333 * acos(((sqrt(t) * x) * (0.05555555555555555 / (z * y))));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(0.05555555555555555 / N[(z * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 97.3%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

   2. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} \]

   3. lower-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{y \cdot z}\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{1}{18} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{t} \cdot x}{y \cdot z}}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{18} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)}{y \cdot z}\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{18}}{y \cdot z} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{18}}{y \cdot z} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{18}}{y \cdot z}} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{\color{blue}{z \cdot y}} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{\color{blue}{z \cdot y}} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1}{18}}{z \cdot y} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{t}\right)}\right) \cdot \frac{1}{3} \]

   13. lower-sqrt.f64 96.9

       \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\sqrt{t}}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

5. Applied rewrites 96.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{z \cdot y} \cdot \left(x \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

6. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\sqrt{t} \cdot x\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{z \cdot y}\right) \]
7. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = acos((((x / 27.0d0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0d0 / 3.0d0)))) / 3.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (Math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return math.acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (math.sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(acos(Float64(Float64(Float64(x / 27.0) / Float64(y * z)) * Float64(sqrt(t) / Float64(2.0 / 3.0)))) / 3.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = acos((((x / 27.0) / (y * z)) * (sqrt(t) / (2.0 / 3.0)))) / 3.0;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[ArcCos[N[(N[(N[(x / 27.0), $MachinePrecision] / N[(y * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] / N[(2.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024235 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (acos (* (/ (/ x 27) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2 3)))) 3))

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))