2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 11.1s

Alternatives: 4

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (*
     (pow (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666))) 3.0)
     (/
      1.0
      (fma
       0.5
       (cos (fma t_0 0.6666666666666666 (* PI 1.3333333333333333)))
       0.5))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * (pow(cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))), 3.0) * (1.0 / fma(0.5, cos(fma(t_0, 0.6666666666666666, (((double) M_PI) * 1.3333333333333333))), 0.5)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(-Float64(g / h)))
	return Float64(2.0 * Float64((cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))) ^ 3.0) * Float64(1.0 / fma(0.5, cos(fma(t_0, 0.6666666666666666, Float64(pi * 1.3333333333333333))), 0.5))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Power[N[Cos[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(0.5 * N[Cos[N[(t$95$0 * 0.6666666666666666 + N[(Pi * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   6. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{1}}\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}}}\right) \]

6. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot 1}{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}} \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{0 - {\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{0 + \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) + 0 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}}}{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]

10. Applied rewrites 99.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)}\right)} \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (/
     (pow (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666))) 3.0)
     (fma
      0.5
      (cos (fma t_0 0.6666666666666666 (* PI 1.3333333333333333)))
      0.5)))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * (pow(cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))), 3.0) / fma(0.5, cos(fma(t_0, 0.6666666666666666, (((double) M_PI) * 1.3333333333333333))), 0.5));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(-Float64(g / h)))
	return Float64(2.0 * Float64((cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))) ^ 3.0) / fma(0.5, cos(fma(t_0, 0.6666666666666666, Float64(pi * 1.3333333333333333))), 0.5)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Power[N[Cos[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] / N[(0.5 * N[Cos[N[(t$95$0 * 0.6666666666666666 + N[(Pi * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)}} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

   6. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{1}}\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}}}\right) \]

6. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot 1}{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}}} \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{0 - {\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{0 + \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) + 0 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)}}}{\left(-\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]

10. Applied rewrites 99.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)}} \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(0.5, \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666, \pi \cdot 1.3333333333333333\right)\right), 0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -0.1111111111111111, -6, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos
   (fma
    (* PI -0.1111111111111111)
    -6.0
    (* (acos (- (/ g h))) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma((((double) M_PI) * -0.1111111111111111), -6.0, (acos(-(g / h)) * 0.3333333333333333)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(Float64(pi * -0.1111111111111111), -6.0, Float64(acos(Float64(-Float64(g / h))) * 0.3333333333333333))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] * -6.0 + N[(N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}}\right) \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(3\right)}}\right) \]

   6. frac-add N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}\right)} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \color{blue}{-3}}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{-9}}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}}}\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3}\right)\right)}}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 3}}}\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), \mathsf{neg}\left(3\right), \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 3\right)}}}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), -3, \pi \cdot -6\right)}}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}}}\right) \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{-9} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)\right)} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{-9} \cdot \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{-9} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)}\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right) \cdot \frac{1}{-9} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{1}{-9}, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \color{blue}{\frac{-1}{9}}, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)\right) \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}}\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)} \cdot \frac{1}{-9}\right)\right) \]

   11. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -6, -0.1111111111111111, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -3\right) \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -6, -0.1111111111111111, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -3\right) \cdot -0.1111111111111111\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right) \cdot \frac{-1}{9} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{-1}{9} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{-1}{9} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6 + \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}}\right) \]

   6. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6 + \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)} \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6 + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \left(-3 \cdot \frac{-1}{9}\right)}\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6 + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   10. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)} \]

   11. lower-*.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \pi}, -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   13. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   14. distribute-frac-neg2 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   15. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   16. lower-/.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, \cos^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{g}{h}}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -0.1111111111111111, -6, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (fma PI 0.6666666666666666 (* (acos (- (/ g h))) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos(-(g / h)) * 0.3333333333333333)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(-Float64(g / h))) * 0.3333333333333333))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   13. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   14. frac-2neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   15. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)}\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   16. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   17. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   18. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   19. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024235 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))