2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.4% → 99.9%

Time: 8.9s

Alternatives: 4

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(\pi, -2, t\_1\right)\\ t_3 := t\_2 \cdot -0.3333333333333333\\ t_4 := \frac{{\left(t\_1 \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{t\_3}\\ 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{t\_0}{t\_3}\right), \cos t\_4, \sin \left(t\_0 \cdot \frac{-3}{t\_2}\right) \cdot \sin t\_4\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* PI PI) 0.4444444444444444))
        (t_1 (acos (/ g (- h))))
        (t_2 (fma PI -2.0 t_1))
        (t_3 (* t_2 -0.3333333333333333))
        (t_4 (/ (pow (* t_1 0.3333333333333333) 2.0) t_3)))
   (*
    2.0
    (fma
     (cos (/ t_0 t_3))
     (cos t_4)
     (* (sin (* t_0 (/ -3.0 t_2))) (sin t_4))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = (((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.4444444444444444;
	double t_1 = acos((g / -h));
	double t_2 = fma(((double) M_PI), -2.0, t_1);
	double t_3 = t_2 * -0.3333333333333333;
	double t_4 = pow((t_1 * 0.3333333333333333), 2.0) / t_3;
	return 2.0 * fma(cos((t_0 / t_3)), cos(t_4), (sin((t_0 * (-3.0 / t_2))) * sin(t_4)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = Float64(Float64(pi * pi) * 0.4444444444444444)
	t_1 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_2 = fma(pi, -2.0, t_1)
	t_3 = Float64(t_2 * -0.3333333333333333)
	t_4 = Float64((Float64(t_1 * 0.3333333333333333) ^ 2.0) / t_3)
	return Float64(2.0 * fma(cos(Float64(t_0 / t_3)), cos(t_4), Float64(sin(Float64(t_0 * Float64(-3.0 / t_2))) * sin(t_4))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.4444444444444444), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(Pi * -2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Power[N[(t$95$1 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Cos[N[(t$95$0 / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$4], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(t$95$0 * N[(-3.0 / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$4], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   6. swap-sqr N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   11. associate-/r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{-1}{3}}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{\color{blue}{-3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   13. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   14. swap-sqr N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\pi, -2, t\_0\right)\\ t_2 := \frac{{\left(t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{t\_1 \cdot -0.3333333333333333}\\ 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 1.3333333333333333}{t\_1}\right), \cos t\_2, \sin \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right) \cdot \frac{-3}{t\_1}\right) \cdot \sin t\_2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g (- h))))
        (t_1 (fma PI -2.0 t_0))
        (t_2
         (/ (pow (* t_0 0.3333333333333333) 2.0) (* t_1 -0.3333333333333333))))
   (*
    2.0
    (fma
     (cos (/ (* (* PI PI) 1.3333333333333333) t_1))
     (cos t_2)
     (* (sin (* (* (* PI PI) 0.4444444444444444) (/ -3.0 t_1))) (sin t_2))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / -h));
	double t_1 = fma(((double) M_PI), -2.0, t_0);
	double t_2 = pow((t_0 * 0.3333333333333333), 2.0) / (t_1 * -0.3333333333333333);
	return 2.0 * fma(cos((((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 1.3333333333333333) / t_1)), cos(t_2), (sin((((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.4444444444444444) * (-3.0 / t_1))) * sin(t_2)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_1 = fma(pi, -2.0, t_0)
	t_2 = Float64((Float64(t_0 * 0.3333333333333333) ^ 2.0) / Float64(t_1 * -0.3333333333333333))
	return Float64(2.0 * fma(cos(Float64(Float64(Float64(pi * pi) * 1.3333333333333333) / t_1)), cos(t_2), Float64(sin(Float64(Float64(Float64(pi * pi) * 0.4444444444444444) * Float64(-3.0 / t_1))) * sin(t_2))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(Pi * -2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Power[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Cos[N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.4444444444444444), $MachinePrecision] * N[(-3.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{4}{9}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   6. swap-sqr N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   8. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   11. associate-/r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{-1}{3}}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{\color{blue}{-3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   13. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\color{blue}{\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   14. swap-sqr N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-cos.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   5. times-frac N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{-4}{3}}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   9. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   10. distribute-frac-neg2 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}\right)\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   11. cos-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

   12. lower-cos.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right)} \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \left(\frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]

9. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right), \sin \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444\right) \cdot \frac{-3}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333}\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -0.1111111111111111, -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos
   (fma
    (* PI -0.1111111111111111)
    -6.0
    (* (acos (/ g (- h))) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma((((double) M_PI) * -0.1111111111111111), -6.0, (acos((g / -h)) * 0.3333333333333333)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(Float64(pi * -0.1111111111111111), -6.0, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) * 0.3333333333333333))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(Pi * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] * -6.0 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}}\right) \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(3\right)}}\right) \]

   6. frac-add N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}\right)} \]

   7. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}\right)} \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), -3, \pi \cdot -6\right)}{-9}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}{-9}\right)} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}}\right)} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{-9} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), -3, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)\right)} \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{-9} \cdot \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{-9} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6 + \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)}\right) \]

   6. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right) \cdot \frac{1}{-9} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)} \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{1}{-9}, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \color{blue}{\frac{-1}{9}}, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}\right)\right) \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{1}{-9}}\right)\right) \]

   10. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6, \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)} \cdot \frac{1}{-9}\right)\right) \]

   11. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -6, -0.1111111111111111, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -3\right) \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -6, -0.1111111111111111, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -3\right) \cdot -0.1111111111111111\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right) \cdot \frac{-1}{9} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{-1}{9} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{-1}{9} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -6\right)} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -6} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)\right)} \]

   6. lower-*.f64 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \pi}, -6, \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -3\right) \cdot -0.1111111111111111\right)\right) \]

   7. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}}\right)\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot -3\right)} \cdot \frac{-1}{9}\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \left(-3 \cdot \frac{-1}{9}\right)}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right) \]

   11. lift-*.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot -0.1111111111111111, -6, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (fma PI 0.6666666666666666 (* (acos (/ g (- h))) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) * 0.3333333333333333)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) * 0.3333333333333333))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   13. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   14. frac-2neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   15. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)}\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   16. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   17. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   18. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   19. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024234 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))