2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.4% → 99.9%

Time: 9.1s

Alternatives: 3

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\\ t_1 := \frac{-0.1111111111111111 \cdot {t\_0}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot t\_0\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, t\_0, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right), \cos t\_1, \sin t\_1 \cdot \sin \left(\frac{-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \pi, t\_0\right)}\right)\right) \cdot 2 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ (- g) h)))
        (t_1
         (/
          (* -0.1111111111111111 (pow t_0 2.0))
          (fma PI -0.6666666666666666 (* 0.3333333333333333 t_0)))))
   (*
    (fma
     (cos
      (/
       (* (* PI PI) 0.4444444444444444)
       (fma -0.3333333333333333 t_0 (* 0.6666666666666666 PI))))
     (cos t_1)
     (*
      (sin t_1)
      (sin (/ (* -1.3333333333333333 (* PI PI)) (fma -2.0 PI t_0)))))
    2.0)))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((-g / h));
	double t_1 = (-0.1111111111111111 * pow(t_0, 2.0)) / fma(((double) M_PI), -0.6666666666666666, (0.3333333333333333 * t_0));
	return fma(cos((((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.4444444444444444) / fma(-0.3333333333333333, t_0, (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))))), cos(t_1), (sin(t_1) * sin(((-1.3333333333333333 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) / fma(-2.0, ((double) M_PI), t_0))))) * 2.0;
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(Float64(-g) / h))
	t_1 = Float64(Float64(-0.1111111111111111 * (t_0 ^ 2.0)) / fma(pi, -0.6666666666666666, Float64(0.3333333333333333 * t_0)))
	return Float64(fma(cos(Float64(Float64(Float64(pi * pi) * 0.4444444444444444) / fma(-0.3333333333333333, t_0, Float64(0.6666666666666666 * pi)))), cos(t_1), Float64(sin(t_1) * sin(Float64(Float64(-1.3333333333333333 * Float64(pi * pi)) / fma(-2.0, pi, t_0))))) * 2.0)
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(-0.1111111111111111 * N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Pi * -0.6666666666666666 + N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Cos[N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.4444444444444444), $MachinePrecision] / N[(-0.3333333333333333 * t$95$0 + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(-1.3333333333333333 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-2.0 * Pi + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}}{\frac{-1}{3}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. associate-/l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{-1}{3}}}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. metadata-eval 98.4

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{-1.3333333333333333}}{\mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

6. Applied rewrites 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot -2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right)}}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) + \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   12. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{9}\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), \frac{2}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}}{\mathsf{fma}\left(-2, \mathsf{PI}\left(\right), \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{9}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-2}{3}, \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\frac{0.4444444444444444 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)}, \cos \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333}{\mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2} \cdot -0.1111111111111111}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

9. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right), \cos \left(\frac{-0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right), \sin \left(\frac{-0.1111111111111111 \cdot {\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, -0.6666666666666666, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{\mathsf{fma}\left(-2, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)}\right)\right) \cdot 2 \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  (cos
   (fma
    (* -0.1111111111111111 PI)
    -6.0
    (* 0.3333333333333333 (acos (/ (- g) h)))))
  2.0))

C

double code(double g, double h) {
	return cos(fma((-0.1111111111111111 * ((double) M_PI)), -6.0, (0.3333333333333333 * acos((-g / h))))) * 2.0;
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(cos(fma(Float64(-0.1111111111111111 * pi), -6.0, Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(Float64(-g) / h))))) * 2.0)
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(N[Cos[N[(N[(-0.1111111111111111 * Pi), $MachinePrecision] * -6.0 + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}}\right) \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(3\right)}}\right) \]

   6. frac-add N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}\right)} \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)} \]

   8. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)} \]

   9. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}}\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{3 \cdot \color{blue}{-3}}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{-9}}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + 3 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}}}\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 3}\right)\right)}}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 3}}}\right) \]

   15. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\frac{-9}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), \mathsf{neg}\left(3\right), \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 3\right)}}}\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), -3, -6 \cdot \pi\right)}}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), -3, -6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{-9}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), -3, -6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}}\right) \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{1}{-9} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), -3, -6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{-1}{9}} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), -3, -6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{-1}{9} \cdot \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot -3 + -6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{-1}{9} \cdot \color{blue}{\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot -3\right)}\right) \]

   7. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{9} + \left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)} \]

   8. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{9}, \left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)\right)} \]

   9. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot -3\right) \cdot \frac{-1}{9}}\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{9}, \color{blue}{\left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{9}\right)\right) \]

   11. lower-*.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-6 \cdot \pi, -0.1111111111111111, \color{blue}{\left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)} \cdot -0.1111111111111111\right)\right) \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-6 \cdot \pi, -0.1111111111111111, \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot -0.1111111111111111\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{9} + \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(-6 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{-1}{9} + \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{-6 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)} + \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \cdot -6} + \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right) \]

   5. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{9}, -6, \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -6, \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}\right)\right) \]

   7. lower-*.f64 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{-0.1111111111111111 \cdot \pi}, -6, \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right) \cdot -0.1111111111111111\right)\right) \]

   8. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right) \cdot \frac{-1}{9}}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\frac{-1}{9} \cdot \left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   10. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \frac{-1}{9} \cdot \color{blue}{\left(-3 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)}\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\left(\frac{-1}{9} \cdot -3\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{9} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -6, \color{blue}{\frac{1}{3}} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)\right)\right) \]

   13. lift-*.f64 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \cos \left(\mathsf{fma}\left(-0.1111111111111111 \cdot \pi, -6, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right) \cdot 2 \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024234 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))