Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 12.0s

Alternatives: 23

Speedup: 1.0×

• Could not converge on a ground truth

  1. x = 3.291476355487517e+109
  2. y = 5.600108105654493e+204

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 84.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \frac{\sinh y}{y}\\ t_2 := \sin x \cdot t\_1\\ \mathbf{if}\;t\_2 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_2 \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))) (t_1 (/ (sinh y) y)) (t_2 (* (sin x) t_1)))
   (if (<= t_2 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_0
       x)
      (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
     (if (<= t_2 1e+46)
       (*
        (sin x)
        (fma
         y
         (*
          y
          (fma
           y
           (* y (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
           0.16666666666666666))
         1.0))
       (*
        t_1
        (fma
         (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666)
         t_0
         x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = sinh(y) / y;
	double t_2 = sin(x) * t_1;
	double tmp;
	if (t_2 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (t_2 <= 1e+46) {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = t_1 * fma(fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_0, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(sinh(y) / y)
	t_2 = Float64(sin(x) * t_1)
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (t_2 <= 1e+46)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(t_1 * fma(fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_0, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$2, (-Infinity)], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$2, 1e+46], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 73.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 73.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 9.9999999999999999e45

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 98.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 9.9999999999999999e45 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)} \cdot x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{1}{120} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{120}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      14. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      17. lower-*.f64 77.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 82.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_1, x\right) \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot t\_1, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_1 (* x (* x x)))
        (t_2
         (fma
          y
          (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666))
          1.0)))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_1
       x)
      t_2)
     (if (<= t_0 1e+46)
       (* (sin x) t_2)
       (*
        (fma
         y
         (*
          y
          (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
         1.0)
        (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 t_1) x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = x * (x * x);
	double t_2 = fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * t_2;
	} else if (t_0 <= 1e+46) {
		tmp = sin(x) * t_2;
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma((x * x), (0.008333333333333333 * t_1), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_2 = fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * t_2);
	elseif (t_0 <= 1e+46)
		tmp = Float64(sin(x) * t_2);
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * t_1), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$1 + x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+46], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 73.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 73.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 9.9999999999999999e45

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 98.7

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 98.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 9.9999999999999999e45 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 82.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_1, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot t\_1, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y))) (t_1 (* x (* x x))))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_1
       x)
      (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
     (if (<= t_0 1e+46)
       (* (sin x) (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0))
       (*
        (fma
         y
         (*
          y
          (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
         1.0)
        (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 t_1) x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (t_0 <= 1e+46) {
		tmp = sin(x) * fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma((x * x), (0.008333333333333333 * t_1), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (t_0 <= 1e+46)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * t_1), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$1 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+46], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 73.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 73.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 9.9999999999999999e45

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 98.6

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 98.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   if 9.9999999999999999e45 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 82.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_1, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot t\_1, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin x) (/ (sinh y) y))) (t_1 (* x (* x x))))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_1
       x)
      (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
     (if (<= t_0 1e+46)
       (sin x)
       (*
        (fma
         y
         (*
          y
          (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
         1.0)
        (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 t_1) x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_1 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (t_0 <= 1e+46) {
		tmp = sin(x);
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma((x * x), (0.008333333333333333 * t_1), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_1, x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (t_0 <= 1e+46)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * t_1), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$1 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+46], N[Sin[x], $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 73.4

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 73.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 9.9999999999999999e45

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 98.3

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 9.9999999999999999e45 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 82.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 70.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 10^{+46}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 57.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 2 \cdot 10^{-125}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.0001984126984126984\right)\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (sin x) (/ (sinh y) y)) 2e-125)
   (*
    (fma
     (fma
      x
      (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
      -0.16666666666666666)
     (* x (* x x))
     x)
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
   (*
    (fma
     (* x x)
     (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
     x)
    (fma
     y
     (* y (fma y (* y (* y (* y 0.0001984126984126984))) 0.16666666666666666))
     1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((sin(x) * (sinh(y) / y)) <= 2e-125) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), (x * (x * x)), x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x) * fma(y, (y * fma(y, (y * (y * (y * 0.0001984126984126984))), 0.16666666666666666)), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y)) <= 2e-125)
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), Float64(x * Float64(x * x)), x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(y * Float64(y * 0.0001984126984126984))), 0.16666666666666666)), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-125], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 2.00000000000000002e-125

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 88.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 88.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 2.00000000000000002e-125 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 88.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 88.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 57.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 57.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot 0.0001984126984126984\right)}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 54.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 0.0004:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot t\_0, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= (* (sin x) (/ (sinh y) y)) 0.0004)
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_0
       x)
      (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0))
     (*
      (fma
       y
       (*
        y
        (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
       1.0)
      (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 t_0) x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if ((sin(x) * (sinh(y) / y)) <= 0.0004) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma((x * x), (0.008333333333333333 * t_0), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y)) <= 0.0004)
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * t_0), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0004], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 4.00000000000000019e-4

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 80.7

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 80.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 57.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   if 4.00000000000000019e-4 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 86.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 86.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 51.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 51.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 0.0004:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 34.8% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -0.02:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (* (sin x) (/ (sinh y) y)) -0.02)
   (* x (* x (* x -0.16666666666666666)))
   (fma
    (* x x)
    (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((sin(x) * (sinh(y) / y)) <= -0.02) {
		tmp = x * (x * (x * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y)) <= -0.02)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.02], N[(x * N[(x * N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 34.5

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 34.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 8.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 7.7%

       \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 7.7%

       \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \]

   if -0.0200000000000000004 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 57.9

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 57.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 48.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 46.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 31.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -0.02:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= (sin x) -0.02)
     (*
      (fma
       (fma
        x
        (* x (fma (* x x) -0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
        -0.16666666666666666)
       t_0
       x)
      (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
     (*
      (fma
       y
       (*
        y
        (fma
         y
         (* y (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
         0.16666666666666666))
       1.0)
      (fma (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666) t_0 x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.02) {
		tmp = fma(fma(x, (x * fma((x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), t_0, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.02)
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * fma(Float64(x * x), -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), t_0, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 86.7

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 18.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 89.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      19. lower-*.f64 72.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 72.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 58.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.0001984126984126984\right)\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) -0.02)
   (*
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0)
    (fma (* x (* x (* (* x x) -0.0001984126984126984))) (* x (* x x)) x))
   (*
    (fma
     (* x x)
     (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
     x)
    (fma
     y
     (* y (fma y (* y (* y (* y 0.0001984126984126984))) 0.16666666666666666))
     1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.02) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0) * fma((x * (x * ((x * x) * -0.0001984126984126984))), (x * (x * x)), x);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x) * fma(y, (y * fma(y, (y * (y * (y * 0.0001984126984126984))), 0.16666666666666666)), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.02)
		tmp = Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * -0.0001984126984126984))), Float64(x * Float64(x * x)), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(y * Float64(y * 0.0001984126984126984))), 0.16666666666666666)), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.02], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 77.7

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 77.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 18.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{5040} \cdot {x}^{4}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 18.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right), \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 89.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 89.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 72.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 72.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot 0.0001984126984126984\right)}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.0001984126984126984\right)\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 6e-17)
   (*
    (fma
     y
     (*
      y
      (fma
       y
       (* y (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
       0.16666666666666666))
     1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (*
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0)
    (fma
     (fma (* x x) 0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
     (* x (* x x))
     x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 6e-17) {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(fma((x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), (x * (x * x)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 6e-17)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(fma(Float64(x * x), 0.008333333333333333, -0.16666666666666666), Float64(x * Float64(x * x)), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 6e-17], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 6.00000000000000012e-17

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 91.4%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 68.4

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 6.00000000000000012e-17 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 83.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 83.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot x}, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), {x}^{3}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{{x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      19. lower-*.f64 24.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 24.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma
     y
     (*
      y
      (fma
       y
       (* y (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
       0.16666666666666666))
     1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (*
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0)
    (fma
     (* x x)
     (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
     x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0) * fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 91.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 68.5

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 72.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 72.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma
     y
     (* y (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
     1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (*
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0)
    (fma
     (* x x)
     (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
     x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0) * fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 91.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 91.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       4. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       6. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \frac{1}{5040}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       8. lower-*.f64 68.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 68.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 72.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 72.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 94.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 112.0)
   (*
    (sin x)
    (fma
     y
     (*
      y
      (fma
       y
       (* y (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333))
       0.16666666666666666))
     1.0))
   (if (<= y 1e+52)
     (* (/ (sinh y) y) (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x))
     (*
      (sin x)
      (fma
       y
       (*
        y
        (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
       1.0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 112.0) {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (y <= 1e+52) {
		tmp = (sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x);
	} else {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 112.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333)), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (y <= 1e+52)
		tmp = Float64(Float64(sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x));
	else
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 112.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1e+52], N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 112

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 91.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 112 < y < 9.9999999999999999e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. lower-*.f64 75.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   if 9.9999999999999999e51 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 93.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 112.0)
   (*
    (sin x)
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
   (if (<= y 1e+52)
     (* (/ (sinh y) y) (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x))
     (*
      (sin x)
      (fma
       y
       (*
        y
        (fma y (* y (* (* y y) 0.0001984126984126984)) 0.16666666666666666))
       1.0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 112.0) {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (y <= 1e+52) {
		tmp = (sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x);
	} else {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * ((y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 112.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (y <= 1e+52)
		tmp = Float64(Float64(sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x));
	else
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * Float64(Float64(y * y) * 0.0001984126984126984)), 0.16666666666666666)), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 112.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1e+52], N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 112

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 89.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 112 < y < 9.9999999999999999e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. lower-*.f64 75.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   if 9.9999999999999999e51 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{5040} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{0.0001984126984126984}\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.0001984126984126984\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 56.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (*
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0)
    (fma
     (* x x)
     (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
     x))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0) * fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0) * fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 84.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 62.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 72.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 72.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 56.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (*
    (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 (* x (* x x))) x)
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (0.008333333333333333 * (x * (x * x))), x) * fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * x))), x) * fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 84.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 62.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 72.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 72.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 56.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.008333333333333333\right)\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x)
    (fma y (* y (* y (* y 0.008333333333333333))) 1.0))
   (*
    (fma (* x x) (* 0.008333333333333333 (* x (* x x))) x)
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x) * fma(y, (y * (y * (y * 0.008333333333333333))), 1.0);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (0.008333333333333333 * (x * (x * x))), x) * fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x) * fma(y, Float64(y * Float64(y * Float64(y * 0.008333333333333333))), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(x * x), Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * x))), x) * fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 84.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 62.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{y}^{3}}, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 62.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}, 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 72.3

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 72.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \cdot x + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot x\right) + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {x}^{2}\right) - \frac{1}{6}, {x}^{3}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x \cdot x, -0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       2. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right)} + 1 \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       4. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

       5. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{2}, \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot x, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{3}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 18.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 55.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.008333333333333333\right)\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x)
    (fma y (* y (* y (* y 0.008333333333333333))) 1.0))
   (fma
    (* x x)
    (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x) * fma(y, (y * (y * (y * 0.008333333333333333))), 1.0);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x) * fma(y, Float64(y * Float64(y * Float64(y * 0.008333333333333333))), 1.0));
	else
		tmp = fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 84.6

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.6%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 62.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{y}^{3}}, 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 62.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}, 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 49.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 20.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 15.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 92.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 112.0)
   (*
    (sin x)
    (fma y (* y (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)) 1.0))
   (if (<= y 3.8e+77)
     (* (/ (sinh y) y) (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x))
     (* (sin x) (* y (* y (* 0.008333333333333333 (* y y))))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 112.0) {
		tmp = sin(x) * fma(y, (y * fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else if (y <= 3.8e+77) {
		tmp = (sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x);
	} else {
		tmp = sin(x) * (y * (y * (0.008333333333333333 * (y * y))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 112.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	elseif (y <= 3.8e+77)
		tmp = Float64(Float64(sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x));
	else
		tmp = Float64(sin(x) * Float64(y * Float64(y * Float64(0.008333333333333333 * Float64(y * y)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 112.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 3.8e+77], N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(0.008333333333333333 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 112

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 89.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 112 < y < 3.8000000000000001e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. lower-*.f64 81.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 81.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   if 3.8000000000000001e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      13. lower-*.f64 100.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{y}^{4}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 112:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 49.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.04)
   (*
    (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0)
    (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))
   (fma
    (* x x)
    (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.04) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0) * fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.04)
		tmp = Float64(fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0) * fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x));
	else
		tmp = fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 73.8

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 73.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      4. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      6. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{-1}{6}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, y \cdot y, 1\right) \]

      8. lower-*.f64 54.9

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   8. Applied rewrites 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 49.1

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 20.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 15.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right)}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.04:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 33.8% accurate, 12.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(x, \left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (fma x (* (* x x) -0.16666666666666666) x))

C

double code(double x, double y) {
	return fma(x, ((x * x) * -0.16666666666666666), x);
}

Julia

function code(x, y)
	return fma(x, Float64(Float64(x * x) * -0.16666666666666666), x)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 49.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 49.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 33.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 23: 10.4% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* x (* x (* x -0.16666666666666666))))

C

double code(double x, double y) {
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = x * (x * (x * (-0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666));
}

Python

def code(x, y):
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(x * -0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = x * (x * (x * -0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(x * N[(x * N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 49.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 49.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 33.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666}, x\right) \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 8.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Applied rewrites 8.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot x\right) \]

14. Final simplification 8.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024233 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))