Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 57.5% → 98.4%

Time: 12.0s

Alternatives: 11

Speedup: 8.9×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (sin (* PI (+ u2 u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))))
end

Derivation

1. Initial program 58.0%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.2%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(-u1 \cdot u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(u1\right) - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lift-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(1 + u1\right)} - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. lift-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(1 + u1\right) - \color{blue}{\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. diff-log N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1 + u1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)}\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)}{1 + u1}}\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. lift-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{\frac{1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1 \cdot u1\right)\right)}}{1 + u1}}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{1 - u1 \cdot u1}}{1 + u1}}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot 1} - u1 \cdot u1}{1 + u1}}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 - \color{blue}{u1 \cdot u1}}{1 + u1}}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. flip-- N/A

       \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{\color{blue}{1 - u1}}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   11. neg-log N/A

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   12. lower-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   14. lower-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   15. lower-neg.f32 98.3

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Applied rewrites 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* PI 2.0)) 0.05999999865889549)
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (* u2 (fma u2 (* u2 (* PI (* (* PI PI) -1.3333333333333333))) (* PI 2.0))))
   (*
    (sin (* PI (+ u2 u2)))
    (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5) u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (((float) M_PI) * 2.0f)) <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -1.3333333333333333f))), (((float) M_PI) * 2.0f)));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2))) * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))) <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-1.3333333333333333)))), Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))) * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0599999987

   1. Initial program 57.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-neg.f32 98.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right) \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)} \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      13. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   7. Applied rewrites 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.0599999987 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 91.3

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 91.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      5. sin-2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      8. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      10. lower-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      11. lower-*.f32 91.0

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 91.0%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      3. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      5. 2-sin N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      11. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      12. lift-sin.f32 91.3

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

      13. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      14. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      16. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   9. Applied rewrites 91.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       5. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       6. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       8. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       10. lower-fma.f32 N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       13. lower-fma.f32 91.6

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 91.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9300000071525574:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \pi \cdot \pi, 2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (- 1.0 u1) 0.9300000071525574)
   (*
    (sqrt (- (log (- 1.0 u1))))
    (* u2 (* PI (fma (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI) 2.0))))
   (*
    (sin (* PI (+ u2 u2)))
    (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5) u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((1.0f - u1) <= 0.9300000071525574f) {
		tmp = sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * (u2 * (((float) M_PI) * fmaf((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)), (((float) M_PI) * ((float) M_PI)), 2.0f)));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2))) * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(1.0) - u1) <= Float32(0.9300000071525574))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * fma(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)), Float32(Float32(pi) * Float32(pi)), Float32(2.0)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))) * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1) < 0.930000007

   1. Initial program 98.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right) \]

      5. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)} \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      11. unpow3 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2\right)\right)}\right) \]

   5. Applied rewrites 92.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \pi \cdot \pi, 2\right)\right)\right)} \]

   if 0.930000007 < (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)

   1. Initial program 51.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 97.9

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      5. sin-2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      8. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      10. lower-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      11. lower-*.f32 97.8

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 97.8%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      3. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      5. 2-sin N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      11. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      12. lift-sin.f32 97.9

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

      13. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      14. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      16. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   9. Applied rewrites 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       5. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       6. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       8. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       10. lower-fma.f32 N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       13. lower-fma.f32 98.0

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 98.0%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9300000071525574:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), \pi \cdot \pi, 2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.001820000004954636:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* PI 2.0)) 0.001820000004954636)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
   (*
    (sin (* PI (+ u2 u2)))
    (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 0.3333333333333333 0.5) u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (((float) M_PI) * 2.0f)) <= 0.001820000004954636f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2))) * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, 0.3333333333333333f, 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))) <= Float32(0.001820000004954636))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))) * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, Float32(0.3333333333333333), Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00182

   1. Initial program 58.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-neg.f32 98.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      3. lower-PI.f32 98.0

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\pi}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 98.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00182 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 93.5

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 93.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      5. sin-2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      8. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      10. lower-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      11. lower-*.f32 93.4

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 93.4%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      3. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      5. 2-sin N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      11. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      12. lift-sin.f32 93.5

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

      13. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      14. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      16. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   9. Applied rewrites 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + 1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       5. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       6. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       8. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot u1 + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{3}} + \frac{1}{2}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       11. lower-fma.f32 91.7

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right)}, u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 91.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.001820000004954636:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9200000166893005:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (- 1.0 u1) 0.9200000166893005)
   (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
   (*
    (sin (* PI (+ u2 u2)))
    (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5) u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((1.0f - u1) <= 0.9200000166893005f) {
		tmp = sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2))) * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(1.0) - u1) <= Float32(0.9200000166893005))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))) * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1) < 0.920000017

   1. Initial program 98.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      3. lower-PI.f32 88.9

         \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\pi}\right)\right) \]

   5. Applied rewrites 88.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.920000017 < (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)

   1. Initial program 52.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 97.7

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      5. sin-2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      8. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      10. lower-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      11. lower-*.f32 97.6

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 97.6%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      3. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      5. 2-sin N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      11. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      12. lift-sin.f32 97.7

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

      13. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      14. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      16. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   9. Applied rewrites 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       5. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       6. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       8. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       10. lower-fma.f32 N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       13. lower-fma.f32 97.8

           \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 97.8%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9200000166893005:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.001820000004954636:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* PI 2.0)) 0.001820000004954636)
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
   (* (sin (* PI (+ u2 u2))) (sqrt (fma u1 (* u1 0.5) u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (((float) M_PI) * 2.0f)) <= 0.001820000004954636f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (u2 + u2))) * sqrtf(fmaf(u1, (u1 * 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))) <= Float32(0.001820000004954636))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 + u2))) * sqrt(fma(u1, Float32(u1 * Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00182

   1. Initial program 58.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-neg.f32 98.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      3. lower-PI.f32 98.0

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\pi}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 98.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00182 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 56.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 93.5

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 93.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      3. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      5. sin-2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      6. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      8. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      10. lower-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      11. lower-*.f32 93.4

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 93.4%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      3. lift-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      4. lift-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      5. 2-sin N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      6. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      8. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      9. lift-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

      10. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      11. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      12. lift-sin.f32 93.5

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

      13. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      14. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      16. lift-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      17. count-2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   9. Applied rewrites 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right)} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       2. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       4. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{2} \cdot u1, u1\right)}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

       6. lower-*.f32 88.1

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot 0.5}, u1\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]

   12. Applied rewrites 88.1%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.001820000004954636:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(u2 + u2\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.006000000052154064)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (* 2.0 (* PI u2)))
     (* (sqrt u1) (sin t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.006000000052154064f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * sinf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.006000000052154064))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00600000005

   1. Initial program 59.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-log.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\log \left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift--.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 - u1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-neg.f32 98.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied rewrites 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      3. lower-PI.f32 96.7

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\pi}\right)\right) \]

   7. Applied rewrites 96.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00600000005 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 54.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied rewrites 50.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1 + \mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)}{1 + \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)}\right) + \mathsf{log1p}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot u1, 1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 77.3

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 77.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \sin \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.18000000715255737:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.18000000715255737)
     (*
      (*
       u2
       (fma u2 (* u2 (* PI (* (* PI PI) -1.3333333333333333))) (* PI 2.0)))
      (sqrt
       (-
        (*
         u1
         (fma u1 (fma u1 (fma u1 -0.25 -0.3333333333333333) -0.5) -1.0)))))
     (* (sqrt u1) (sin t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.18000000715255737f) {
		tmp = (u2 * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -1.3333333333333333f))), (((float) M_PI) * 2.0f))) * sqrtf(-(u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, fmaf(u1, -0.25f, -0.3333333333333333f), -0.5f), -1.0f)));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * sinf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.18000000715255737))
		tmp = Float32(Float32(u2 * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-1.3333333333333333)))), Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(-Float32(u1 * fma(u1, fma(u1, fma(u1, Float32(-0.25), Float32(-0.3333333333333333)), Float32(-0.5)), Float32(-1.0))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.180000007

   1. Initial program 58.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. lower-fma.f32 93.1

          \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Applied rewrites 93.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right) \]

      4. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)} \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      13. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   8. Applied rewrites 92.8%

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.180000007 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 56.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied rewrites 51.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(\frac{1 + \mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)}{1 + \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)}\right) + \mathsf{log1p}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot u1, 1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lower-sqrt.f32 75.0

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied rewrites 75.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.18000000715255737:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \sin \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.9% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (fma u2 (* u2 (* PI (* (* PI PI) -1.3333333333333333))) (* PI 2.0)))
  (sqrt
   (- (* u1 (fma u1 (fma u1 (fma u1 -0.25 -0.3333333333333333) -0.5) -1.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -1.3333333333333333f))), (((float) M_PI) * 2.0f))) * sqrtf(-(u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, fmaf(u1, -0.25f, -0.3333333333333333f), -0.5f), -1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-1.3333333333333333)))), Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(-Float32(u1 * fma(u1, fma(u1, fma(u1, Float32(-0.25), Float32(-0.3333333333333333)), Float32(-0.5)), Float32(-1.0))))))
end

Derivation

1. Initial program 58.0%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   11. lower-fma.f32 92.8

       \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 92.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}}\right)\right) \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   13. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

8. Applied rewrites 86.0%

   \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Final simplification 86.0%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right), \pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 77.7% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* 2.0 (* PI u2))
  (sqrt
   (- (* u1 (fma u1 (fma u1 (fma u1 -0.25 -0.3333333333333333) -0.5) -1.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (2.0f * (((float) M_PI) * u2)) * sqrtf(-(u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, fmaf(u1, -0.25f, -0.3333333333333333f), -0.5f), -1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)) * sqrt(Float32(-Float32(u1 * fma(u1, fma(u1, fma(u1, Float32(-0.25), Float32(-0.3333333333333333)), Float32(-0.5)), Float32(-1.0))))))
end

Derivation

1. Initial program 58.0%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{4}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   11. lower-fma.f32 92.8

       \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right)}, -0.5\right), -1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Applied rewrites 92.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4}, \frac{-1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. lower-PI.f32 80.0

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\pi}\right)\right) \]

8. Applied rewrites 80.0%

   \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.25, -0.3333333333333333\right), -0.5\right), -1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 66.1% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* (* 2.0 (* PI u2)) (sqrt u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (2.0f * (((float) M_PI) * u2)) * sqrtf(u1);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)) * sqrt(u1))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(2.0) * (single(pi) * u2)) * sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 58.0%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 84.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)} \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   5. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)}} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   9. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   10. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   11. lower-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   12. lower-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)}} \]

   13. lower--.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\log \left(1 + \left(u1 + {u1}^{2}\right)\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)}} \]

   14. lower-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(u1 + {u1}^{2}\right)} - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{u1}^{2} + u1}\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1} + u1\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   17. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)}\right) - \log \left(1 + {u1}^{3}\right)} \]

   18. lower-log1p.f32 N/A

       \[\leadsto \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)\right) - \color{blue}{\mathsf{log1p}\left({u1}^{3}\right)}} \]

7. Applied rewrites 73.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(u1, u1, u1\right)\right) - \mathsf{log1p}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

10. Applied rewrites 66.8%

    \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

11. Final simplification 66.8%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{u1} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024233 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))