2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 11.5s

Alternatives: 3

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_1 := \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, t\_0\right)\right)\\ \frac{t\_1}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot \frac{2}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g (- h))))
        (t_1 (cos (* -0.3333333333333333 (fma PI -2.0 t_0)))))
   (*
    (/
     t_1
     (/ 1.0 (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666)))))
    (/ 2.0 t_1))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / -h));
	double t_1 = cos((-0.3333333333333333 * fma(((double) M_PI), -2.0, t_0)));
	return (t_1 / (1.0 / cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))))) * (2.0 / t_1);
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_1 = cos(Float64(-0.3333333333333333 * fma(pi, -2.0, t_0)))
	return Float64(Float64(t_1 / Float64(1.0 / cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))))) * Float64(2.0 / t_1))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(-0.3333333333333333 * N[(Pi * -2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$1 / N[(1.0 / N[Cos[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   4. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   5. lower-/.f64 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}} \cdot 2} \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}}} \cdot 2 \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot 2}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}}} \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot 2}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}}} \]

10. Applied rewrites 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot \frac{2}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)\right)\right)}} \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)\right)}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot \frac{2}{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_1 := \cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, t\_0\right)\right)\\ 2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{t\_1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g (- h))))
        (t_1 (cos (* -0.3333333333333333 (fma PI -2.0 t_0)))))
   (*
    2.0
    (/
     t_1
     (/ t_1 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (* t_0 0.3333333333333333))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / -h));
	double t_1 = cos((-0.3333333333333333 * fma(((double) M_PI), -2.0, t_0)));
	return 2.0 * (t_1 / (t_1 / cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (t_0 * 0.3333333333333333)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_1 = cos(Float64(-0.3333333333333333 * fma(pi, -2.0, t_0)))
	return Float64(2.0 * Float64(t_1 / Float64(t_1 / cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(t_0 * 0.3333333333333333))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(-0.3333333333333333 * N[(Pi * -2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(t$95$1 / N[(t$95$1 / N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(t$95$0 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   4. lower-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   5. lower-/.f64 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} \]

6. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right), \frac{1}{3}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{2}{3}\right)\right)}}} \]

8. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)\right)}{\frac{\cos \left(-0.3333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (fma PI 0.6666666666666666 (* (acos (/ g (- h))) 0.3333333333333333)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) * 0.3333333333333333)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) * 0.3333333333333333))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{3}\right)} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   7. lower-fma.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \frac{1}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 98.5

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}}\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   12. lower-*.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right)\right) \]

   13. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   14. frac-2neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   15. lift-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(g\right)\right)}\right)}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   16. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   17. lower-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{\mathsf{neg}\left(h\right)}\right)} \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   18. lower-neg.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{2}{3}, \cos^{-1} \left(\frac{g}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(h\right)}}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right) \]

   19. metadata-eval 98.5

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \]

4. Applied rewrites 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024221 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))