Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 12.7s

Alternatives: 20

Speedup: 1.0×

• Could not converge on a ground truth

  1. x = 8.333315737189459e-120
  2. y = 3.5931486485957455e+93

• 49.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin x}{\frac{y}{\sinh y}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (/ (sin x) (/ y (sinh y))))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) / (y / sinh(y));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) / (y / sinh(y))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) / (y / Math.sinh(y));
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) / (y / math.sinh(y))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) / Float64(y / sinh(y)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) / (y / sinh(y));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(y / N[Sinh[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}} \]

   2. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{\sinh y}{y}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sinh y}}} \]

   4. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x}{\frac{y}{\sinh y}}} \]

   5. lower-/.f64 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x}{\frac{y}{\sinh y}}} \]

   6. lower-/.f64 100.0

      \[\leadsto \frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{y}{\sinh y}}} \]

4. Applied rewrites 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x}{\frac{y}{\sinh y}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 85.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := \frac{\sinh y}{y}\\ t_2 := \sin x \cdot t\_1\\ t_3 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_2 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_3, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;t\_2 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), t\_3, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0))
        (t_1 (/ (sinh y) y))
        (t_2 (* (sin x) t_1))
        (t_3 (* x (* x x))))
   (if (<= t_2 (- INFINITY))
     (* (fma -0.16666666666666666 t_3 x) t_0)
     (if (<= t_2 1.0)
       (* (sin x) t_0)
       (*
        t_1
        (fma
         (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666)
         t_3
         x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double t_1 = sinh(y) / y;
	double t_2 = sin(x) * t_1;
	double t_3 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_2 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_3, x) * t_0;
	} else if (t_2 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * t_0;
	} else {
		tmp = t_1 * fma(fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_3, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	t_1 = Float64(sinh(y) / y)
	t_2 = Float64(sin(x) * t_1)
	t_3 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_2 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_3, x) * t_0);
	elseif (t_2 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * t_0);
	else
		tmp = Float64(t_1 * fma(fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_3, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$2, (-Infinity)], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$3 + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$2, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$3 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 86.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 60.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 99.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 99.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) + 1\right)} \cdot x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{1}{120} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{120}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      14. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      17. lower-*.f64 74.6

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 83.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_2, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_2, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0))
        (t_1 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_2 (* x (* x x))))
   (if (<= t_1 (- INFINITY))
     (* (fma -0.16666666666666666 t_2 x) t_0)
     (if (<= t_1 1.0)
       (*
        (sin x)
        (fma
         (* y y)
         (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
         1.0))
       (* t_0 (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_2 x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double t_1 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_2 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0;
	} else if (t_1 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma((y * y), fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0);
	} else {
		tmp = t_0 * fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	t_1 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_2 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0);
	elseif (t_1 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(Float64(y * y), fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0));
	else
		tmp = Float64(t_0 * fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$2 + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$2 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 86.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 60.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 99.3

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 99.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 84.9

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 70.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 70.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 83.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_2, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_2, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0))
        (t_1 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_2 (* x (* x x))))
   (if (<= t_1 (- INFINITY))
     (* (fma -0.16666666666666666 t_2 x) t_0)
     (if (<= t_1 1.0)
       (* (sin x) (fma 0.16666666666666666 (* y y) 1.0))
       (* t_0 (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_2 x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double t_1 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_2 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0;
	} else if (t_1 <= 1.0) {
		tmp = sin(x) * fma(0.16666666666666666, (y * y), 1.0);
	} else {
		tmp = t_0 * fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	t_1 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_2 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0);
	elseif (t_1 <= 1.0)
		tmp = Float64(sin(x) * fma(0.16666666666666666, Float64(y * y), 1.0));
	else
		tmp = Float64(t_0 * fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$2 + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1.0], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$2 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 86.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 60.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 98.9

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \]

   5. Applied rewrites 98.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 84.9

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 70.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 70.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 82.8% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y}\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_2, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;t\_1 \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_2, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0))
        (t_1 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))
        (t_2 (* x (* x x))))
   (if (<= t_1 (- INFINITY))
     (* (fma -0.16666666666666666 t_2 x) t_0)
     (if (<= t_1 1.0)
       (sin x)
       (* t_0 (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_2 x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double t_1 = sin(x) * (sinh(y) / y);
	double t_2 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (t_1 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0;
	} else if (t_1 <= 1.0) {
		tmp = sin(x);
	} else {
		tmp = t_0 * fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	t_1 = Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
	t_2 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_2, x) * t_0);
	elseif (t_1 <= 1.0)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = Float64(t_0 * fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_2, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, (-Infinity)], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$2 + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$1, 1.0], N[Sin[x], $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$2 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 86.5

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 86.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 60.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -inf.0 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 98.4

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 1 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 84.9

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 84.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 70.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 70.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 58.1% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_1, x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), t\_1, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0))
        (t_1 (* x (* x x))))
   (if (<= (* (sin x) (/ (sinh y) y)) -0.05)
     (* (fma -0.16666666666666666 t_1 x) t_0)
     (*
      t_0
      (fma (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666) t_1 x)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double t_1 = x * (x * x);
	double tmp;
	if ((sin(x) * (sinh(y) / y)) <= -0.05) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_1, x) * t_0;
	} else {
		tmp = t_0 * fma(fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_1, x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y)) <= -0.05)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_1, x) * t_0);
	else
		tmp = Float64(t_0 * fma(fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_1, x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.05], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$1 + x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$1 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y)) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 90.9

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 90.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 42.5

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 42.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if -0.050000000000000003 < (*.f64 (sin.f64 x) (/.f64 (sinh.f64 y) y))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.3

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 68.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 8: 57.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_0, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x)))
        (t_1
         (fma
          y
          (*
           y
           (fma
            (* y y)
            (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
            0.16666666666666666))
          1.0)))
   (if (<= (sin x) 0.06)
     (* (fma -0.16666666666666666 t_0 x) t_1)
     (* t_1 (* 0.008333333333333333 (* x (* x t_0)))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.06) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (0.008333333333333333 * (x * (x * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.06)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * t_0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.06], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.059999999999999998

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 68.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 0.059999999999999998 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 27.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 18.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5}, \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right), -0.027777777777777776\right)}{\mathsf{fma}\left(x \cdot x, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right)}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{5}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 27.8%

       \[\leadsto \left(0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 2 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= (sin x) 2e-17)
     (*
      (fma -0.16666666666666666 t_0 x)
      (fma
       y
       (*
        y
        (fma
         (* y y)
         (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
         0.16666666666666666))
       1.0))
     (*
      (fma (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666) t_0 x)
      (fma
       (* y y)
       (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
       1.0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 2e-17) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma((y * y), fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 2e-17)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666), t_0, x) * fma(Float64(y * y), fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2e-17], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 2.00000000000000014e-17

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.2

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 66.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 2.00000000000000014e-17 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 82.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 82.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 29.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 29.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 57.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-9)
   (*
    (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x)
    (fma
     y
     (*
      y
      (fma
       (* y y)
       (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
       0.16666666666666666))
     1.0))
   (*
    (fma
     (* (* x x) (fma 0.008333333333333333 (* x x) -0.16666666666666666))
     x
     x)
    (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-9) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x) * fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * fma(0.008333333333333333, (x * x), -0.16666666666666666)), x, x) * fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-9)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x) * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(x * x) * fma(0.008333333333333333, Float64(x * x), -0.16666666666666666)), x, x) * fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-9], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000006e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.3

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 67.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   if 1.00000000000000006e-9 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 28.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 28.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 25.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 25.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 25.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 94.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 1:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (sin x)
          (fma
           y
           (*
            y
            (fma
             (* y y)
             (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
             0.16666666666666666))
           1.0))))
   (if (<= y 1.0)
     t_0
     (if (<= y 1e+52)
       (* (/ (sinh y) y) (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x))
       t_0))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0);
	double tmp;
	if (y <= 1.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y <= 1e+52) {
		tmp = (sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0))
	tmp = 0.0
	if (y <= 1.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y <= 1e+52)
		tmp = Float64(Float64(sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 1.0], t$95$0, If[LessEqual[y, 1e+52], N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 1 or 9.9999999999999999e51 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 95.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 95.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 1 < y < 9.9999999999999999e51

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. lower-*.f64 87.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 1:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 55.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 1e-9)
   (*
    (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x)
    (fma y (* y (fma (* y y) 0.008333333333333333 0.16666666666666666)) 1.0))
   (*
    (fma
     (* (* x x) (fma 0.008333333333333333 (* x x) -0.16666666666666666))
     x
     x)
    (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 1e-9) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x) * fma(y, (y * fma((y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * fma(0.008333333333333333, (x * x), -0.16666666666666666)), x, x) * fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 1e-9)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x) * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(x * x) * fma(0.008333333333333333, Float64(x * x), -0.16666666666666666)), x, x) * fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 1e-9], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 1.00000000000000006e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.3

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 67.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 67.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

       4. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right), 1\right)} \]

       5. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       8. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       10. lower-*.f64 65.7

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 65.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 1.00000000000000006e-9 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.1

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.1%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 28.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 28.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 25.7

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 25.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Applied rewrites 25.7%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right), \color{blue}{x}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, -0.16666666666666666\right), x, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 55.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_0, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= (sin x) 0.06)
     (*
      (fma -0.16666666666666666 t_0 x)
      (fma y (* y (fma (* y y) 0.008333333333333333 0.16666666666666666)) 1.0))
     (*
      (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_0 x)
      (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.06) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * fma(y, (y * fma((y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666)), 1.0);
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_0, x) * fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.06)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), 0.008333333333333333, 0.16666666666666666)), 1.0));
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_0, x) * fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.06], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.059999999999999998

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 68.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

       4. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right), 1\right)} \]

       5. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)}, 1\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       8. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

       10. lower-*.f64 66.6

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   11. Applied rewrites 66.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 0.059999999999999998 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 27.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 24.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{6}, 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 14: 49.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_0, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_0, x\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))) (t_1 (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0)))
   (if (<= (sin x) 0.06)
     (* (fma -0.16666666666666666 t_0 x) t_1)
     (* (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_0 x) t_1))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.06) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1;
	} else {
		tmp = fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_0, x) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.06)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1);
	else
		tmp = Float64(fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_0, x) * t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.06], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.059999999999999998

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 68.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 57.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 57.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   if 0.059999999999999998 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 27.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 24.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{6}, 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 49.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_0, x\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))) (t_1 (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0)))
   (if (<= (sin x) 0.06)
     (* (fma -0.16666666666666666 t_0 x) t_1)
     (* t_1 (* 0.008333333333333333 (* x (* x t_0)))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.06) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (0.008333333333333333 * (x * (x * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.06)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, t_0, x) * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * t_0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.06], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$0 + x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.059999999999999998

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 68.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 68.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 57.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 57.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   if 0.059999999999999998 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 89.8

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 89.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 27.8

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 24.4

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{{x}^{5}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{6}, 1\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 24.4%

       \[\leadsto \left(0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.06:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 92.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 0.45:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_1, x\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, t\_1, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (sin x)
          (fma
           (* y y)
           (fma y (* y 0.008333333333333333) 0.16666666666666666)
           1.0)))
        (t_1 (* x (* x x))))
   (if (<= y 0.45)
     t_0
     (if (<= y 1.05e+52)
       (* (/ (sinh y) y) (fma -0.16666666666666666 t_1 x))
       (if (<= y 3.8e+77)
         (*
          (fma
           y
           (*
            y
            (fma
             (* y y)
             (fma (* y y) 0.0001984126984126984 0.008333333333333333)
             0.16666666666666666))
           1.0)
          (fma (* (* x x) 0.008333333333333333) t_1 x))
         t_0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = sin(x) * fma((y * y), fma(y, (y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0);
	double t_1 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (y <= 0.45) {
		tmp = t_0;
	} else if (y <= 1.05e+52) {
		tmp = (sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, t_1, x);
	} else if (y <= 3.8e+77) {
		tmp = fma(y, (y * fma((y * y), fma((y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(((x * x) * 0.008333333333333333), t_1, x);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(sin(x) * fma(Float64(y * y), fma(y, Float64(y * 0.008333333333333333), 0.16666666666666666), 1.0))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (y <= 0.45)
		tmp = t_0;
	elseif (y <= 1.05e+52)
		tmp = Float64(Float64(sinh(y) / y) * fma(-0.16666666666666666, t_1, x));
	elseif (y <= 3.8e+77)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * fma(Float64(y * y), fma(Float64(y * y), 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333), 0.16666666666666666)), 1.0) * fma(Float64(Float64(x * x) * 0.008333333333333333), t_1, x));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 0.45], t$95$0, If[LessEqual[y, 1.05e+52], N[(N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * t$95$1 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 3.8e+77], N[(N[(y * N[(y * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984 + 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] * t$95$1 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 0.450000000000000011 or 3.8000000000000001e77 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right)} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      4. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {y}^{2}, 1\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{6}}, 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{120}} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{120} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{120}\right)} + \frac{1}{6}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. lower-*.f64 92.9

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.008333333333333333}, 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 92.9%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   if 0.450000000000000011 < y < 1.05e52

   1. Initial program 99.8%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

      10. lower-*.f64 87.3

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   5. Applied rewrites 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   if 1.05e52 < y < 3.8000000000000001e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 100.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot x + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x} + \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right) \cdot x + x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot x\right) \cdot x} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \frac{1}{120} \cdot x, \frac{-1}{6}\right)}, x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot \frac{1}{120}}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot {x}^{2}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \frac{1}{120}, \frac{-1}{6}\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      18. lower-*.f64 100.0

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, \color{blue}{x} \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 0.45:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;\frac{\sinh y}{y} \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.008333333333333333, 0.16666666666666666\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 48.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) 0.1)
   (*
    (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x)
    (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0))
   (fma
    (* x x)
    (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= 0.1) {
		tmp = fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x) * fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0);
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= 0.1)
		tmp = Float64(fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x) * fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0));
	else
		tmp = fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], 0.1], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < 0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right)} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) + 1\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right) \cdot y, 1\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      7. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \left(\frac{1}{6} + {y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right)\right)}, 1\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}\right) + \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      9. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      11. lower-*.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {y}^{2}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\frac{1}{5040} \cdot {y}^{2} + \frac{1}{120}}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{5040}} + \frac{1}{120}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      14. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({y}^{2}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right)}, \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      16. lower-*.f64 93.0

          \[\leadsto \sin x \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot y}, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   5. Applied rewrites 93.0%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right)} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2} + 1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) + x \cdot 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)} + x \cdot 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      6. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{x}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      7. lower-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot {x}^{2}, x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      8. lower-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{x \cdot {x}^{2}}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \frac{1}{5040}, \frac{1}{120}\right), \frac{1}{6}\right), 1\right) \]

      10. lower-*.f64 67.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}, x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   8. Applied rewrites 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot \mathsf{fma}\left(y \cdot y, \mathsf{fma}\left(y \cdot y, 0.0001984126984126984, 0.008333333333333333\right), 0.16666666666666666\right), 1\right) \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2} \cdot \frac{1}{6}} + 1\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \frac{1}{6} + 1\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \frac{1}{6}\right)} + 1\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot y\right)} + 1\right) \]

       6. lower-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{1}{6} \cdot y, 1\right)} \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot \frac{1}{6}}, 1\right) \]

       8. lower-*.f64 57.2

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{y \cdot 0.16666666666666666}, 1\right) \]

   11. Applied rewrites 57.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 99.9%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 50.4

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 50.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 18.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 23.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot x}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 34.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= (sin x) -0.02)
   (* x (* x (* x -0.16666666666666666)))
   (fma
    (* x x)
    (* x (fma x (* x 0.008333333333333333) -0.16666666666666666))
    x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (sin(x) <= -0.02) {
		tmp = x * (x * (x * -0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = fma((x * x), (x * fma(x, (x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (sin(x) <= -0.02)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = fma(Float64(x * x), Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.008333333333333333), -0.16666666666666666)), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[N[Sin[x], $MachinePrecision], -0.02], N[(x * N[(x * N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 x) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 47.6

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 23.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 23.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Applied rewrites 23.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if -0.0200000000000000004 < (sin.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-sin.f64 48.6

         \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   5. Applied rewrites 48.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 40.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Applied rewrites 40.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot x}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 35.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin x \leq -0.02:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot x, x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 33.1% accurate, 12.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, x \cdot \left(x \cdot x\right), x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (fma -0.16666666666666666 (* x (* x x)) x))

C

double code(double x, double y) {
	return fma(-0.16666666666666666, (x * (x * x)), x);
}

Julia

function code(x, y)
	return fma(-0.16666666666666666, Float64(x * Float64(x * x)), x)
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(-0.16666666666666666 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 48.3

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 35.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 20: 10.2% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* x (* x (* x -0.16666666666666666))))

C

double code(double x, double y) {
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = x * (x * (x * (-0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666));
}

Python

def code(x, y):
	return x * (x * (x * -0.16666666666666666))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(x * -0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = x * (x * (x * -0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(x * N[(x * N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-sin.f64 48.3

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

5. Applied rewrites 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 35.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}, x\right) \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 13.3%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{-0.16666666666666666}\right) \]

12. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot {x}^{\color{blue}{3}} \]
13. Step-by-step derivation

14. Applied rewrites 13.3%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024220 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))