Curve intersection, scale width based on ribbon orientation

Percentage Accurate: 97.1% → 99.4%

Time: 18.8s

Alternatives: 14

Speedup: 45.9×

Specification

\[\left(\left(\left(0 \leq normAngle \land normAngle \leq \frac{\pi}{2}\right) \land \left(-1 \leq n0\_i \land n0\_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq n1\_i \land n1\_i \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\sin normAngle}\\ \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot t\_0\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot t\_0\right) \cdot n1\_i \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (sin normAngle))))
   (+
    (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) t_0) n0_i)
    (* (* (sin (* u normAngle)) t_0) n1_i))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = 1.0f / sinf(normAngle);
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * t_0) * n1_i);
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    real(4) :: t_0
    t_0 = 1.0e0 / sin(normangle)
    code = ((sin(((1.0e0 - u) * normangle)) * t_0) * n0_i) + ((sin((u * normangle)) * t_0) * n1_i)
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))
	return Float32(Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + Float32(Float32(sin(Float32(u * normAngle)) * t_0) * n1_i))
end

MATLAB

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = single(1.0) / sin(normAngle);
	tmp = ((sin(((single(1.0) - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + ((sin((u * normAngle)) * t_0) * n1_i);
end

Initial Program: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\sin normAngle}\\ \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot t\_0\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot t\_0\right) \cdot n1\_i \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (sin normAngle))))
   (+
    (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) t_0) n0_i)
    (* (* (sin (* u normAngle)) t_0) n1_i))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = 1.0f / sinf(normAngle);
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * t_0) * n1_i);
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    real(4) :: t_0
    t_0 = 1.0e0 / sin(normangle)
    code = ((sin(((1.0e0 - u) * normangle)) * t_0) * n0_i) + ((sin((u * normangle)) * t_0) * n1_i)
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))
	return Float32(Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + Float32(Float32(sin(Float32(u * normAngle)) * t_0) * n1_i))
end

MATLAB

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = single(1.0) / sin(normAngle);
	tmp = ((sin(((single(1.0) - u) * normAngle)) * t_0) * n0_i) + ((sin((u * normAngle)) * t_0) * n1_i);
end

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\\ t_1 := n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{fma}\left(1 - u, t\_0, t\_1\right)\\ t_3 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\\ t_4 := {\left(1 - u\right)}^{5}\\ \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, t\_2, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, t\_4, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), t\_1 \cdot -0.027777777777777776\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left(t\_4 + \left(u + -1\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot t\_0\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, t\_2, -0.0001984126984126984 \cdot t\_3\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, t\_2, 0.008333333333333333 \cdot t\_3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i)))
        (t_1 (* n1_i (* u (fma u u -1.0))))
        (t_2 (fma (- 1.0 u) t_0 t_1))
        (t_3 (fma n0_i (- 1.0 u) (* u n1_i)))
        (t_4 (pow (- 1.0 u) 5.0)))
   (fma
    n0_i
    (- 1.0 u)
    (fma
     u
     n1_i
     (*
      (* normAngle normAngle)
      (fma
       -0.16666666666666666
       t_2
       (*
        (* normAngle normAngle)
        (fma
         0.008333333333333333
         (fma n0_i t_4 (* n1_i (pow u 5.0)))
         (fma
          (* normAngle normAngle)
          (fma
           -0.0001984126984126984
           (fma n0_i (pow (- 1.0 u) 7.0) (* n1_i (pow u 7.0)))
           (-
            (fma
             -0.16666666666666666
             (+
              (fma
               n1_i
               (* 0.008333333333333333 (- (pow u 5.0) u))
               (* t_1 -0.027777777777777776))
              (fma
               n0_i
               (* 0.008333333333333333 (+ t_4 (+ u -1.0)))
               (* -0.027777777777777776 (* (- 1.0 u) t_0))))
             (fma -0.001388888888888889 t_2 (* -0.0001984126984126984 t_3)))))
          (-
           (fma
            0.027777777777777776
            t_2
            (* 0.008333333333333333 t_3))))))))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i);
	float t_1 = n1_i * (u * fmaf(u, u, -1.0f));
	float t_2 = fmaf((1.0f - u), t_0, t_1);
	float t_3 = fmaf(n0_i, (1.0f - u), (u * n1_i));
	float t_4 = powf((1.0f - u), 5.0f);
	return fmaf(n0_i, (1.0f - u), fmaf(u, n1_i, ((normAngle * normAngle) * fmaf(-0.16666666666666666f, t_2, ((normAngle * normAngle) * fmaf(0.008333333333333333f, fmaf(n0_i, t_4, (n1_i * powf(u, 5.0f))), fmaf((normAngle * normAngle), fmaf(-0.0001984126984126984f, fmaf(n0_i, powf((1.0f - u), 7.0f), (n1_i * powf(u, 7.0f))), -fmaf(-0.16666666666666666f, (fmaf(n1_i, (0.008333333333333333f * (powf(u, 5.0f) - u)), (t_1 * -0.027777777777777776f)) + fmaf(n0_i, (0.008333333333333333f * (t_4 + (u + -1.0f))), (-0.027777777777777776f * ((1.0f - u) * t_0)))), fmaf(-0.001388888888888889f, t_2, (-0.0001984126984126984f * t_3)))), -fmaf(0.027777777777777776f, t_2, (0.008333333333333333f * t_3)))))))));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i))
	t_1 = Float32(n1_i * Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))))
	t_2 = fma(Float32(Float32(1.0) - u), t_0, t_1)
	t_3 = fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), Float32(u * n1_i))
	t_4 = Float32(Float32(1.0) - u) ^ Float32(5.0)
	return fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), fma(u, n1_i, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(-0.16666666666666666), t_2, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(0.008333333333333333), fma(n0_i, t_4, Float32(n1_i * (u ^ Float32(5.0)))), fma(Float32(normAngle * normAngle), fma(Float32(-0.0001984126984126984), fma(n0_i, (Float32(Float32(1.0) - u) ^ Float32(7.0)), Float32(n1_i * (u ^ Float32(7.0)))), Float32(-fma(Float32(-0.16666666666666666), Float32(fma(n1_i, Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32((u ^ Float32(5.0)) - u)), Float32(t_1 * Float32(-0.027777777777777776))) + fma(n0_i, Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(t_4 + Float32(u + Float32(-1.0)))), Float32(Float32(-0.027777777777777776) * Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * t_0)))), fma(Float32(-0.001388888888888889), t_2, Float32(Float32(-0.0001984126984126984) * t_3))))), Float32(-fma(Float32(0.027777777777777776), t_2, Float32(Float32(0.008333333333333333) * t_3))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right) \cdot -0.027777777777777776\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} + \left(u + -1\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), 0.008333333333333333 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{normAngle \cdot \cos normAngle}{-\sin normAngle}, normAngle \cdot \frac{n1\_i}{\sin normAngle}\right), n0\_i\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (fma
  u
  (fma
   n0_i
   (/ (* normAngle (cos normAngle)) (- (sin normAngle)))
   (* normAngle (/ n1_i (sin normAngle))))
  n0_i))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(u, fmaf(n0_i, ((normAngle * cosf(normAngle)) / -sinf(normAngle)), (normAngle * (n1_i / sinf(normAngle)))), n0_i);
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(u, fma(n0_i, Float32(Float32(normAngle * cos(normAngle)) / Float32(-sin(normAngle))), Float32(normAngle * Float32(n1_i / sin(normAngle)))), n0_i)
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i + u \cdot \left(-1 \cdot \frac{n0\_i \cdot \left(normAngle \cdot \cos normAngle\right)}{\sin normAngle} + \frac{n1\_i \cdot normAngle}{\sin normAngle}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(-1 \cdot \frac{n0\_i \cdot \left(normAngle \cdot \cos normAngle\right)}{\sin normAngle} + \frac{n1\_i \cdot normAngle}{\sin normAngle}\right) + n0\_i} \]

   2. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, -1 \cdot \frac{n0\_i \cdot \left(normAngle \cdot \cos normAngle\right)}{\sin normAngle} + \frac{n1\_i \cdot normAngle}{\sin normAngle}, n0\_i\right)} \]

5. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{normAngle \cdot \cos normAngle}{-\sin normAngle}, normAngle \cdot \frac{n1\_i}{\sin normAngle}\right), n0\_i\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right)\\ \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \left(u \cdot n0\_i\right) \cdot \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, -0.003703703703703704, -0.05555555555555555\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, t\_0, -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, t\_0, 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (fma n0_i -2.0 (- n1_i))))
   (fma
    n0_i
    (- 1.0 u)
    (fma
     u
     n1_i
     (*
      (* normAngle normAngle)
      (fma
       -0.16666666666666666
       (fma
        (- 1.0 u)
        (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i))
        (* n1_i (* u (fma u u -1.0))))
       (*
        (* normAngle normAngle)
        (*
         u
         (-
          (fma
           u
           (*
            (* u n0_i)
            (fma
             (* normAngle normAngle)
             -0.003703703703703704
             -0.05555555555555555))
           (fma
            n0_i
            -0.041666666666666664
            (*
             (* normAngle normAngle)
             (-
              (* n0_i 0.001388888888888889)
              (fma
               (fma
                n0_i
                -0.03333333333333333
                (fma n1_i 0.019444444444444445 (* n0_i 0.05555555555555555)))
               -0.16666666666666666
               (fma
                -0.001388888888888889
                t_0
                (* -0.0001984126984126984 (- n1_i n0_i))))))))
          (fma
           0.027777777777777776
           t_0
           (* 0.008333333333333333 (- n1_i n0_i))))))))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = fmaf(n0_i, -2.0f, -n1_i);
	return fmaf(n0_i, (1.0f - u), fmaf(u, n1_i, ((normAngle * normAngle) * fmaf(-0.16666666666666666f, fmaf((1.0f - u), fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i), (n1_i * (u * fmaf(u, u, -1.0f)))), ((normAngle * normAngle) * (u * (fmaf(u, ((u * n0_i) * fmaf((normAngle * normAngle), -0.003703703703703704f, -0.05555555555555555f)), fmaf(n0_i, -0.041666666666666664f, ((normAngle * normAngle) * ((n0_i * 0.001388888888888889f) - fmaf(fmaf(n0_i, -0.03333333333333333f, fmaf(n1_i, 0.019444444444444445f, (n0_i * 0.05555555555555555f))), -0.16666666666666666f, fmaf(-0.001388888888888889f, t_0, (-0.0001984126984126984f * (n1_i - n0_i)))))))) - fmaf(0.027777777777777776f, t_0, (0.008333333333333333f * (n1_i - n0_i))))))))));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = fma(n0_i, Float32(-2.0), Float32(-n1_i))
	return fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), fma(u, n1_i, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(Float32(1.0) - u), fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i)), Float32(n1_i * Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))))), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(u * Float32(fma(u, Float32(Float32(u * n0_i) * fma(Float32(normAngle * normAngle), Float32(-0.003703703703703704), Float32(-0.05555555555555555))), fma(n0_i, Float32(-0.041666666666666664), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(Float32(n0_i * Float32(0.001388888888888889)) - fma(fma(n0_i, Float32(-0.03333333333333333), fma(n1_i, Float32(0.019444444444444445), Float32(n0_i * Float32(0.05555555555555555)))), Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(-0.001388888888888889), t_0, Float32(Float32(-0.0001984126984126984) * Float32(n1_i - n0_i)))))))) - fma(Float32(0.027777777777777776), t_0, Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i - n0_i))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in n0_i around inf

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, n0\_i \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{270} \cdot {normAngle}^{2} - \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \left(n0\_i \cdot u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, -0.003703703703703704, -0.05555555555555555\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \left(u \cdot n0\_i\right) \cdot \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, -0.003703703703703704, -0.05555555555555555\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.3% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right)\\ \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, t\_0, -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, t\_0, 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (fma n0_i -2.0 (- n1_i))))
   (fma
    n0_i
    (- 1.0 u)
    (fma
     u
     n1_i
     (*
      (* normAngle normAngle)
      (fma
       -0.16666666666666666
       (fma
        (- 1.0 u)
        (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i))
        (* n1_i (* u (fma u u -1.0))))
       (*
        (* normAngle normAngle)
        (*
         u
         (-
          (fma
           u
           (*
            u
            (fma
             -0.027777777777777776
             (- n1_i n0_i)
             (* n0_i -0.08333333333333333)))
           (fma
            n0_i
            -0.041666666666666664
            (*
             (* normAngle normAngle)
             (-
              (* n0_i 0.001388888888888889)
              (fma
               (fma
                n0_i
                -0.03333333333333333
                (fma n1_i 0.019444444444444445 (* n0_i 0.05555555555555555)))
               -0.16666666666666666
               (fma
                -0.001388888888888889
                t_0
                (* -0.0001984126984126984 (- n1_i n0_i))))))))
          (fma
           0.027777777777777776
           t_0
           (* 0.008333333333333333 (- n1_i n0_i))))))))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = fmaf(n0_i, -2.0f, -n1_i);
	return fmaf(n0_i, (1.0f - u), fmaf(u, n1_i, ((normAngle * normAngle) * fmaf(-0.16666666666666666f, fmaf((1.0f - u), fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i), (n1_i * (u * fmaf(u, u, -1.0f)))), ((normAngle * normAngle) * (u * (fmaf(u, (u * fmaf(-0.027777777777777776f, (n1_i - n0_i), (n0_i * -0.08333333333333333f))), fmaf(n0_i, -0.041666666666666664f, ((normAngle * normAngle) * ((n0_i * 0.001388888888888889f) - fmaf(fmaf(n0_i, -0.03333333333333333f, fmaf(n1_i, 0.019444444444444445f, (n0_i * 0.05555555555555555f))), -0.16666666666666666f, fmaf(-0.001388888888888889f, t_0, (-0.0001984126984126984f * (n1_i - n0_i)))))))) - fmaf(0.027777777777777776f, t_0, (0.008333333333333333f * (n1_i - n0_i))))))))));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = fma(n0_i, Float32(-2.0), Float32(-n1_i))
	return fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), fma(u, n1_i, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(Float32(1.0) - u), fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i)), Float32(n1_i * Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))))), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(u * Float32(fma(u, Float32(u * fma(Float32(-0.027777777777777776), Float32(n1_i - n0_i), Float32(n0_i * Float32(-0.08333333333333333)))), fma(n0_i, Float32(-0.041666666666666664), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(Float32(n0_i * Float32(0.001388888888888889)) - fma(fma(n0_i, Float32(-0.03333333333333333), fma(n1_i, Float32(0.019444444444444445), Float32(n0_i * Float32(0.05555555555555555)))), Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(-0.001388888888888889), t_0, Float32(Float32(-0.0001984126984126984) * Float32(n1_i - n0_i)))))))) - fma(Float32(0.027777777777777776), t_0, Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i - n0_i))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + u \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \frac{-1}{36} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.3% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n1\_i \cdot -0.00205026455026455\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (fma
  n0_i
  (- 1.0 u)
  (fma
   u
   n1_i
   (*
    (* normAngle normAngle)
    (fma
     -0.16666666666666666
     (fma
      (- 1.0 u)
      (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i))
      (* n1_i (* u (fma u u -1.0))))
     (*
      (* normAngle normAngle)
      (*
       u
       (-
        (fma
         u
         (*
          u
          (fma
           -0.027777777777777776
           (- n1_i n0_i)
           (* n0_i -0.08333333333333333)))
         (fma
          n0_i
          -0.041666666666666664
          (*
           (* normAngle normAngle)
           (- (* n0_i 0.001388888888888889) (* n1_i -0.00205026455026455)))))
        (fma
         0.027777777777777776
         (fma n0_i -2.0 (- n1_i))
         (* 0.008333333333333333 (- n1_i n0_i)))))))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(n0_i, (1.0f - u), fmaf(u, n1_i, ((normAngle * normAngle) * fmaf(-0.16666666666666666f, fmaf((1.0f - u), fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i), (n1_i * (u * fmaf(u, u, -1.0f)))), ((normAngle * normAngle) * (u * (fmaf(u, (u * fmaf(-0.027777777777777776f, (n1_i - n0_i), (n0_i * -0.08333333333333333f))), fmaf(n0_i, -0.041666666666666664f, ((normAngle * normAngle) * ((n0_i * 0.001388888888888889f) - (n1_i * -0.00205026455026455f))))) - fmaf(0.027777777777777776f, fmaf(n0_i, -2.0f, -n1_i), (0.008333333333333333f * (n1_i - n0_i))))))))));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), fma(u, n1_i, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(Float32(1.0) - u), fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i)), Float32(n1_i * Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))))), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(u * Float32(fma(u, Float32(u * fma(Float32(-0.027777777777777776), Float32(n1_i - n0_i), Float32(n0_i * Float32(-0.08333333333333333)))), fma(n0_i, Float32(-0.041666666666666664), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(Float32(n0_i * Float32(0.001388888888888889)) - Float32(n1_i * Float32(-0.00205026455026455)))))) - fma(Float32(0.027777777777777776), fma(n0_i, Float32(-2.0), Float32(-n1_i)), Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i - n0_i))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + u \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \frac{-1}{36} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in n1_i around inf

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{36}, n1\_i - n0\_i, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \frac{-31}{15120} \cdot n1\_i\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

14. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n1\_i \cdot -0.00205026455026455\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n1\_i \cdot -0.00205026455026455\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n0\_i \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (fma
  n0_i
  (- 1.0 u)
  (fma
   u
   n1_i
   (*
    (* normAngle normAngle)
    (fma
     -0.16666666666666666
     (fma
      (- 1.0 u)
      (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i))
      (* n1_i (* u (fma u u -1.0))))
     (*
      (* normAngle normAngle)
      (*
       u
       (-
        (fma
         u
         (*
          u
          (fma
           -0.027777777777777776
           (- n1_i n0_i)
           (* n0_i -0.08333333333333333)))
         (fma
          n0_i
          -0.041666666666666664
          (*
           (* normAngle normAngle)
           (- (* n0_i 0.001388888888888889) (* n0_i -0.0007275132275132275)))))
        (fma
         0.027777777777777776
         (fma n0_i -2.0 (- n1_i))
         (* 0.008333333333333333 (- n1_i n0_i)))))))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(n0_i, (1.0f - u), fmaf(u, n1_i, ((normAngle * normAngle) * fmaf(-0.16666666666666666f, fmaf((1.0f - u), fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i), (n1_i * (u * fmaf(u, u, -1.0f)))), ((normAngle * normAngle) * (u * (fmaf(u, (u * fmaf(-0.027777777777777776f, (n1_i - n0_i), (n0_i * -0.08333333333333333f))), fmaf(n0_i, -0.041666666666666664f, ((normAngle * normAngle) * ((n0_i * 0.001388888888888889f) - (n0_i * -0.0007275132275132275f))))) - fmaf(0.027777777777777776f, fmaf(n0_i, -2.0f, -n1_i), (0.008333333333333333f * (n1_i - n0_i))))))))));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(n0_i, Float32(Float32(1.0) - u), fma(u, n1_i, Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(Float32(-0.16666666666666666), fma(Float32(Float32(1.0) - u), fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i)), Float32(n1_i * Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))))), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(u * Float32(fma(u, Float32(u * fma(Float32(-0.027777777777777776), Float32(n1_i - n0_i), Float32(n0_i * Float32(-0.08333333333333333)))), fma(n0_i, Float32(-0.041666666666666664), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * Float32(Float32(n0_i * Float32(0.001388888888888889)) - Float32(n0_i * Float32(-0.0007275132275132275)))))) - fma(Float32(0.027777777777777776), fma(n0_i, Float32(-2.0), Float32(-n1_i)), Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i - n0_i))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + u \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \frac{-1}{36} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in n0_i around inf

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{36}, n1\_i - n0\_i, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \frac{-11}{15120} \cdot n0\_i\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

14. Applied rewrites 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n0\_i \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, n0\_i \cdot -0.08333333333333333\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - n0\_i \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.3% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right)\\ \mathsf{fma}\left(u, n1\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.001388888888888889, -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, -0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.027777777777777776, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, n1\_i - n0\_i, -0.001388888888888889 \cdot t\_0\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, t\_0, 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right), -0.16666666666666666 \cdot t\_0\right), -n0\_i\right), n0\_i\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (fma n0_i -2.0 (- n1_i))))
   (fma
    u
    (+
     n1_i
     (fma
      (* normAngle normAngle)
      (fma
       (* normAngle normAngle)
       (fma
        n0_i
        -0.041666666666666664
        (fma
         (* normAngle normAngle)
         (fma
          n0_i
          0.001388888888888889
          (-
           (fma
            -0.16666666666666666
            (fma
             n0_i
             -0.03333333333333333
             (fma
              n1_i
              -0.008333333333333333
              (fma n1_i 0.027777777777777776 (* n0_i 0.05555555555555555))))
            (fma
             -0.0001984126984126984
             (- n1_i n0_i)
             (* -0.001388888888888889 t_0)))))
         (-
          (fma
           0.027777777777777776
           t_0
           (* 0.008333333333333333 (- n1_i n0_i))))))
       (* -0.16666666666666666 t_0))
      (- n0_i)))
    n0_i)))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = fmaf(n0_i, -2.0f, -n1_i);
	return fmaf(u, (n1_i + fmaf((normAngle * normAngle), fmaf((normAngle * normAngle), fmaf(n0_i, -0.041666666666666664f, fmaf((normAngle * normAngle), fmaf(n0_i, 0.001388888888888889f, -fmaf(-0.16666666666666666f, fmaf(n0_i, -0.03333333333333333f, fmaf(n1_i, -0.008333333333333333f, fmaf(n1_i, 0.027777777777777776f, (n0_i * 0.05555555555555555f)))), fmaf(-0.0001984126984126984f, (n1_i - n0_i), (-0.001388888888888889f * t_0)))), -fmaf(0.027777777777777776f, t_0, (0.008333333333333333f * (n1_i - n0_i))))), (-0.16666666666666666f * t_0)), -n0_i)), n0_i);
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = fma(n0_i, Float32(-2.0), Float32(-n1_i))
	return fma(u, Float32(n1_i + fma(Float32(normAngle * normAngle), fma(Float32(normAngle * normAngle), fma(n0_i, Float32(-0.041666666666666664), fma(Float32(normAngle * normAngle), fma(n0_i, Float32(0.001388888888888889), Float32(-fma(Float32(-0.16666666666666666), fma(n0_i, Float32(-0.03333333333333333), fma(n1_i, Float32(-0.008333333333333333), fma(n1_i, Float32(0.027777777777777776), Float32(n0_i * Float32(0.05555555555555555))))), fma(Float32(-0.0001984126984126984), Float32(n1_i - n0_i), Float32(Float32(-0.001388888888888889) * t_0))))), Float32(-fma(Float32(0.027777777777777776), t_0, Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i - n0_i)))))), Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_0)), Float32(-n0_i))), n0_i)
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + u \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \frac{-1}{36} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto n0\_i + \color{blue}{u \cdot \left(n1\_i + \left(-1 \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Applied rewrites 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{n1\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.001388888888888889, -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, -0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.027777777777777776, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, n1\_i - n0\_i, -0.001388888888888889 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right), -0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right)\right), -n0\_i\right)}, n0\_i\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.1% accurate, 6.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n1\_i, u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right), \left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right), \mathsf{fma}\left(n1\_i, u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -u, n0\_i\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (fma
  -0.16666666666666666
  (*
   (* normAngle normAngle)
   (fma
    n1_i
    (* u (fma u u -1.0))
    (* (- 1.0 u) (fma n0_i (* (- 1.0 u) (- 1.0 u)) (- n0_i)))))
  (fma n1_i u (fma n0_i (- u) n0_i))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(-0.16666666666666666f, ((normAngle * normAngle) * fmaf(n1_i, (u * fmaf(u, u, -1.0f)), ((1.0f - u) * fmaf(n0_i, ((1.0f - u) * (1.0f - u)), -n0_i)))), fmaf(n1_i, u, fmaf(n0_i, -u, n0_i)));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(Float32(-0.16666666666666666), Float32(Float32(normAngle * normAngle) * fma(n1_i, Float32(u * fma(u, u, Float32(-1.0))), Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * fma(n0_i, Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * Float32(Float32(1.0) - u)), Float32(-n0_i))))), fma(n1_i, u, fma(n0_i, Float32(-u), n0_i)))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + \left(n1\_i \cdot u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{7}\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{7}\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot {u}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right) + \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(n1\_i \cdot u\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrites 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{5}, n1\_i \cdot {u}^{5}\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(-0.0001984126984126984, \mathsf{fma}\left(n0\_i, {\left(1 - u\right)}^{7}, n1\_i \cdot {u}^{7}\right), -\mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({u}^{5} - u\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.008333333333333333 \cdot \left({\left(1 - u\right)}^{5} - \left(1 - u\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(\left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), -0.0001984126984126984 \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right), -\mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{24} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + \left(u \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{36} \cdot n0\_i\right)\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{240} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{12} \cdot n0\_i\right) + \frac{-1}{720} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{36} \cdot \left(n0\_i + 2 \cdot n0\_i\right)\right) + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot n0\_i - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{30} \cdot n0\_i + \left(\frac{-1}{120} \cdot n1\_i + \left(\frac{1}{36} \cdot n1\_i + \frac{1}{18} \cdot n0\_i\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{720} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right) + \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right) + \frac{1}{36} \cdot \left(-2 \cdot n0\_i + -1 \cdot n1\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied rewrites 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, n0\_i \cdot 0.006944444444444444 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.08333333333333333, \mathsf{fma}\left(n0\_i, 0.027777777777777776, -0.027777777777777776 \cdot n1\_i\right)\right), -0.16666666666666666, -0.001388888888888889 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right), -0.027777777777777776 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.004166666666666667, 0.16666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, 3 \cdot n0\_i, n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + 0.001388888888888889 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), n0\_i \cdot 0.08333333333333333\right)\right) + -0.027777777777777776 \cdot \left(3 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), \mathsf{neg}\left(n0\_i\right)\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, \frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \left(\frac{1}{12} \cdot n0\_i + u \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot n0\_i + \frac{-1}{36} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{24}, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot \frac{1}{720} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, \frac{-1}{30}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, \frac{7}{360}, n0\_i \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \frac{-1}{6}, \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{720}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{-1}{5040} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, \mathsf{neg}\left(n1\_i\right)\right), \frac{1}{120} \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 99.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(1 - u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right), n1\_i \cdot \left(u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right)\right)\right), \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot \left(\mathsf{fma}\left(u, 0 + u \cdot \mathsf{fma}\left(-0.027777777777777776, n1\_i - n0\_i, -0.08333333333333333 \cdot n0\_i\right), \mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.041666666666666664, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0\_i \cdot 0.001388888888888889 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(n0\_i, -0.03333333333333333, \mathsf{fma}\left(n1\_i, 0.019444444444444445, n0\_i \cdot 0.05555555555555555\right)\right), -0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(-0.001388888888888889, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), -0.0001984126984126984 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.027777777777777776, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -2, -n1\_i\right), 0.008333333333333333 \cdot \left(n1\_i - n0\_i\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Taylor expanded in normAngle around 0

    \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({normAngle}^{2} \cdot \left(n1\_i \cdot \left(u \cdot \left({u}^{2} - 1\right)\right) + \left(1 - u\right) \cdot \left(n0\_i \cdot {\left(1 - u\right)}^{2} - n0\_i\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u\right)} \]
13. Step-by-step derivation

14. Applied rewrites 98.7%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.16666666666666666, \color{blue}{\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n1\_i, u \cdot \mathsf{fma}\left(u, u, -1\right), \left(1 - u\right) \cdot \mathsf{fma}\left(n0\_i, \left(1 - u\right) \cdot \left(1 - u\right), -n0\_i\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(n1\_i, u, \mathsf{fma}\left(n0\_i, -u, n0\_i\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.5% accurate, 13.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot 0.16666666666666666, u\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* n0_i (- 1.0 u))
  (* n1_i (fma (* normAngle normAngle) (* u 0.16666666666666666) u))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return (n0_i * (1.0f - u)) + (n1_i * fmaf((normAngle * normAngle), (u * 0.16666666666666666f), u));
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(Float32(n0_i * Float32(Float32(1.0) - u)) + Float32(n1_i * fma(Float32(normAngle * normAngle), Float32(u * Float32(0.16666666666666666)), u)))
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \color{blue}{\left(u + {normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} - \frac{-1}{6} \cdot u\right)\right)} \cdot n1\_i \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \color{blue}{\left({normAngle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} - \frac{-1}{6} \cdot u\right) + u\right)} \cdot n1\_i \]

   2. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({normAngle}^{2}, \frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} - \frac{-1}{6} \cdot u, u\right)} \cdot n1\_i \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(\color{blue}{normAngle \cdot normAngle}, \frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} - \frac{-1}{6} \cdot u, u\right) \cdot n1\_i \]

   4. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(\color{blue}{normAngle \cdot normAngle}, \frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} - \frac{-1}{6} \cdot u, u\right) \cdot n1\_i \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {u}^{3} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot u\right)\right)}, u\right) \cdot n1\_i \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{{u}^{3} \cdot \frac{-1}{6}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot u\right)\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{\left(u \cdot \left(u \cdot u\right)\right)} \cdot \frac{-1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot u\right)\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \left(u \cdot \color{blue}{{u}^{2}}\right) \cdot \frac{-1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot u\right)\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot u\right)\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) + \color{blue}{u \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right)}, u\right) \cdot n1\_i \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) + u \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}, u\right) \cdot n1\_i \]

   13. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6} + \frac{1}{6}\right)}, u\right) \cdot n1\_i \]

   14. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, \color{blue}{u \cdot \left({u}^{2} \cdot \frac{-1}{6} + \frac{1}{6}\right)}, u\right) \cdot n1\_i \]

   15. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({u}^{2}, \frac{-1}{6}, \frac{1}{6}\right)}, u\right) \cdot n1\_i \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u \cdot u}, \frac{-1}{6}, \frac{1}{6}\right), u\right) \cdot n1\_i \]

   17. lower-*.f32 98.3

       \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u \cdot u}, -0.16666666666666666, 0.16666666666666666\right), u\right) \cdot n1\_i \]

5. Applied rewrites 98.3%

   \[\leadsto \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot u, -0.16666666666666666, 0.16666666666666666\right), u\right)} \cdot n1\_i \]

6. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - u\right)} \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot u, \frac{-1}{6}, \frac{1}{6}\right), u\right) \cdot n1\_i \]
7. Step-by-step derivation

   1. lower--.f32 97.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - u\right)} \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot u, -0.16666666666666666, 0.16666666666666666\right), u\right) \cdot n1\_i \]

8. Applied rewrites 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - u\right)} \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \mathsf{fma}\left(u \cdot u, -0.16666666666666666, 0.16666666666666666\right), u\right) \cdot n1\_i \]

9. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \left(1 - u\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot \frac{1}{6}, u\right) \cdot n1\_i \]
10. Step-by-step derivation

11. Applied rewrites 97.9%

    \[\leadsto \left(1 - u\right) \cdot n0\_i + \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot 0.16666666666666666, u\right) \cdot n1\_i \]

12. Final simplification 97.9%

    \[\leadsto n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot \mathsf{fma}\left(normAngle \cdot normAngle, u \cdot 0.16666666666666666, u\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 71.0% accurate, 21.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(n0\_i, -u, n0\_i\right)\\ \mathbf{if}\;n0\_i \leq -4.999999999099794 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n0\_i \leq 2.00000006274879 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1\_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (fma n0_i (- u) n0_i)))
   (if (<= n0_i -4.999999999099794e-24)
     t_0
     (if (<= n0_i 2.00000006274879e-22) (* u n1_i) t_0))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = fmaf(n0_i, -u, n0_i);
	float tmp;
	if (n0_i <= -4.999999999099794e-24f) {
		tmp = t_0;
	} else if (n0_i <= 2.00000006274879e-22f) {
		tmp = u * n1_i;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = fma(n0_i, Float32(-u), n0_i)
	tmp = Float32(0.0)
	if (n0_i <= Float32(-4.999999999099794e-24))
		tmp = t_0;
	elseif (n0_i <= Float32(2.00000006274879e-22))
		tmp = Float32(u * n1_i);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n0_i < -5e-24 or 2.00000006e-22 < n0_i

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. lift-+.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i} \]

      2. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i} + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]

      3. lower-fma.f32 98.7

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right)} \]

      4. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      5. lift-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sin normAngle}}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      6. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle}}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      7. lower-/.f32 98.8

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle}}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      8. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \color{blue}{\left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \color{blue}{\left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      10. lift--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(normAngle \cdot \color{blue}{\left(1 - u\right)}\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(normAngle \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right)\right)}\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(normAngle \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) + 1\right)}\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      13. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \color{blue}{\left(normAngle \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) + normAngle \cdot 1\right)}}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      14. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) + \color{blue}{normAngle}\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      15. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(normAngle, \mathsf{neg}\left(u\right), normAngle\right)\right)}}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

      16. lower-neg.f32 98.9

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(normAngle, \color{blue}{-u}, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i\right) \]

   4. Applied rewrites 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(normAngle, -u, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle}, n0\_i, \sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{n1\_i}{\sin normAngle}\right)} \]

   5. Taylor expanded in normAngle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 + -1 \cdot u\right) + n1\_i \cdot u} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{n1\_i \cdot u + n0\_i \cdot \left(1 + -1 \cdot u\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \color{blue}{u \cdot n1\_i} + n0\_i \cdot \left(1 + -1 \cdot u\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto u \cdot n1\_i + n0\_i \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right)}\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto u \cdot n1\_i + n0\_i \cdot \color{blue}{\left(1 - u\right)} \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, n1\_i, n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\right)} \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \color{blue}{\left(1 - u\right) \cdot n0\_i}\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \color{blue}{\left(1 - u\right) \cdot n0\_i}\right) \]

      8. lower--.f32 98.2

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \color{blue}{\left(1 - u\right)} \cdot n0\_i\right) \]

   7. Applied rewrites 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, n1\_i, \left(1 - u\right) \cdot n0\_i\right)} \]

   8. Taylor expanded in n1_i around 0

      \[\leadsto n0\_i \cdot \color{blue}{\left(1 - u\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Applied rewrites 78.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{-u}, n0\_i\right) \]

   if -5e-24 < n0_i < 2.00000006e-22

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in normAngle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, n1\_i \cdot u\right)} \]

      2. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{1 - u}, n1\_i \cdot u\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

      4. lower-*.f32 96.2

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

   5. Applied rewrites 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)} \]

   6. Taylor expanded in n0_i around 0

      \[\leadsto n1\_i \cdot \color{blue}{u} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 68.1%

      \[\leadsto u \cdot \color{blue}{n1\_i} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 70.8% accurate, 21.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := n0\_i \cdot \left(1 - u\right)\\ \mathbf{if}\;n0\_i \leq -4.999999999099794 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n0\_i \leq 2.00000006274879 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1\_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* n0_i (- 1.0 u))))
   (if (<= n0_i -4.999999999099794e-24)
     t_0
     (if (<= n0_i 2.00000006274879e-22) (* u n1_i) t_0))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = n0_i * (1.0f - u);
	float tmp;
	if (n0_i <= -4.999999999099794e-24f) {
		tmp = t_0;
	} else if (n0_i <= 2.00000006274879e-22f) {
		tmp = u * n1_i;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = n0_i * (1.0e0 - u)
    if (n0_i <= (-4.999999999099794e-24)) then
        tmp = t_0
    else if (n0_i <= 2.00000006274879e-22) then
        tmp = u * n1_i
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = Float32(n0_i * Float32(Float32(1.0) - u))
	tmp = Float32(0.0)
	if (n0_i <= Float32(-4.999999999099794e-24))
		tmp = t_0;
	elseif (n0_i <= Float32(2.00000006274879e-22))
		tmp = Float32(u * n1_i);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = n0_i * (single(1.0) - u);
	tmp = single(0.0);
	if (n0_i <= single(-4.999999999099794e-24))
		tmp = t_0;
	elseif (n0_i <= single(2.00000006274879e-22))
		tmp = u * n1_i;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n0_i < -5e-24 or 2.00000006e-22 < n0_i

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in n0_i around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{n0\_i \cdot \sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      3. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}}{\sin normAngle} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}}{\sin normAngle} \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right)\right)} \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) + 1\right)} \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      8. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) \cdot normAngle + normAngle\right)}}{\sin normAngle} \]

      9. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u \cdot normAngle\right)\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{u \cdot \left(\mathsf{neg}\left(normAngle\right)\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(u \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot normAngle\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      12. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(u, -1 \cdot normAngle, normAngle\right)\right)}}{\sin normAngle} \]

      13. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(normAngle\right)}, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle} \]

      14. lower-neg.f32 N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(normAngle\right)}, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle} \]

      15. lower-sin.f32 78.0

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, -normAngle, normAngle\right)\right)}{\color{blue}{\sin normAngle}} \]

   5. Applied rewrites 78.0%

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, -normAngle, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

   6. Taylor expanded in normAngle around 0

      \[\leadsto n0\_i \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot u}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 77.7%

      \[\leadsto n0\_i \cdot \left(1 - \color{blue}{u}\right) \]

   if -5e-24 < n0_i < 2.00000006e-22

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in normAngle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, n1\_i \cdot u\right)} \]

      2. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{1 - u}, n1\_i \cdot u\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

      4. lower-*.f32 96.2

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

   5. Applied rewrites 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)} \]

   6. Taylor expanded in n0_i around 0

      \[\leadsto n1\_i \cdot \color{blue}{u} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 68.1%

      \[\leadsto u \cdot \color{blue}{n1\_i} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 60.9% accurate, 25.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n0\_i \leq -1.5000000786160286 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;n0\_i \cdot 1\\ \mathbf{elif}\;n0\_i \leq 2.00000006274879 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1\_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;n0\_i \cdot 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (if (<= n0_i -1.5000000786160286e-23)
   (* n0_i 1.0)
   (if (<= n0_i 2.00000006274879e-22) (* u n1_i) (* n0_i 1.0))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float tmp;
	if (n0_i <= -1.5000000786160286e-23f) {
		tmp = n0_i * 1.0f;
	} else if (n0_i <= 2.00000006274879e-22f) {
		tmp = u * n1_i;
	} else {
		tmp = n0_i * 1.0f;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    real(4) :: tmp
    if (n0_i <= (-1.5000000786160286e-23)) then
        tmp = n0_i * 1.0e0
    else if (n0_i <= 2.00000006274879e-22) then
        tmp = u * n1_i
    else
        tmp = n0_i * 1.0e0
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = Float32(0.0)
	if (n0_i <= Float32(-1.5000000786160286e-23))
		tmp = Float32(n0_i * Float32(1.0));
	elseif (n0_i <= Float32(2.00000006274879e-22))
		tmp = Float32(u * n1_i);
	else
		tmp = Float32(n0_i * Float32(1.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = single(0.0);
	if (n0_i <= single(-1.5000000786160286e-23))
		tmp = n0_i * single(1.0);
	elseif (n0_i <= single(2.00000006274879e-22))
		tmp = u * n1_i;
	else
		tmp = n0_i * single(1.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if n0_i < -1.50000008e-23 or 2.00000006e-22 < n0_i

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in n0_i around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{n0\_i \cdot \sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      2. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      3. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

      4. lower-sin.f32 N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(normAngle \cdot \left(1 - u\right)\right)}}{\sin normAngle} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right)}}{\sin normAngle} \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right)\right)} \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) + 1\right)} \cdot normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      8. distribute-lft1-in N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right) \cdot normAngle + normAngle\right)}}{\sin normAngle} \]

      9. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u \cdot normAngle\right)\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\color{blue}{u \cdot \left(\mathsf{neg}\left(normAngle\right)\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(u \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot normAngle\right)} + normAngle\right)}{\sin normAngle} \]

      12. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(u, -1 \cdot normAngle, normAngle\right)\right)}}{\sin normAngle} \]

      13. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(normAngle\right)}, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle} \]

      14. lower-neg.f32 N/A

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(normAngle\right)}, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle} \]

      15. lower-sin.f32 78.2

          \[\leadsto n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, -normAngle, normAngle\right)\right)}{\color{blue}{\sin normAngle}} \]

   5. Applied rewrites 78.2%

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \frac{\sin \left(\mathsf{fma}\left(u, -normAngle, normAngle\right)\right)}{\sin normAngle}} \]

   6. Taylor expanded in u around 0

      \[\leadsto n0\_i \cdot 1 \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 59.6%

      \[\leadsto n0\_i \cdot 1 \]

   if -1.50000008e-23 < n0_i < 2.00000006e-22

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in normAngle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, n1\_i \cdot u\right)} \]

      2. lower--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{1 - u}, n1\_i \cdot u\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

      4. lower-*.f32 96.3

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

   5. Applied rewrites 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)} \]

   6. Taylor expanded in n0_i around 0

      \[\leadsto n1\_i \cdot \color{blue}{u} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Applied rewrites 67.7%

      \[\leadsto u \cdot \color{blue}{n1\_i} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 98.2% accurate, 45.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(u, n1\_i - n0\_i, n0\_i\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i) :precision binary32 (fma u (- n1_i n0_i) n0_i))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return fmaf(u, (n1_i - n0_i), n0_i);
}

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return fma(u, Float32(n1_i - n0_i), n0_i)
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, n1\_i \cdot u\right)} \]

   2. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{1 - u}, n1\_i \cdot u\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

   4. lower-*.f32 97.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

5. Applied rewrites 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)} \]

6. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto n0\_i + \color{blue}{u \cdot \left(n1\_i + -1 \cdot n0\_i\right)} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 97.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u, \color{blue}{n1\_i - n0\_i}, n0\_i\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 39.0% accurate, 76.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u \cdot n1\_i \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i) :precision binary32 (* u n1_i))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return u * n1_i;
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    code = u * n1_i
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(u * n1_i)
end

MATLAB

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = u * n1_i;
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0\_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1\_i \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in normAngle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{n0\_i \cdot \left(1 - u\right) + n1\_i \cdot u} \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, n1\_i \cdot u\right)} \]

   2. lower--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, \color{blue}{1 - u}, n1\_i \cdot u\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

   4. lower-*.f32 97.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, \color{blue}{u \cdot n1\_i}\right) \]

5. Applied rewrites 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(n0\_i, 1 - u, u \cdot n1\_i\right)} \]

6. Taylor expanded in n0_i around 0

   \[\leadsto n1\_i \cdot \color{blue}{u} \]
7. Step-by-step derivation

8. Applied rewrites 37.9%

   \[\leadsto u \cdot \color{blue}{n1\_i} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024219 
(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
  :name "Curve intersection, scale width based on ribbon orientation"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (<= 0.0 normAngle) (<= normAngle (/ PI 2.0))) (and (<= -1.0 n0_i) (<= n0_i 1.0))) (and (<= -1.0 n1_i) (<= n1_i 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)))
  (+ (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i) (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))