Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.8% → 99.0%

Time: 14.7s

Alternatives: 21

Speedup: 21.0×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot u2, t\_0, \left(\pi \cdot u2\right) \cdot t\_0\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot u2, \pi \cdot u2, t\_0 - t\_0\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* PI u2) (* PI u2))))
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (cos
     (/
      (fma (* PI u2) t_0 (* (* PI u2) t_0))
      (fma (* PI u2) (* PI u2) (- t_0 t_0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = (((float) M_PI) * u2) * (((float) M_PI) * u2);
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((fmaf((((float) M_PI) * u2), t_0, ((((float) M_PI) * u2) * t_0)) / fmaf((((float) M_PI) * u2), (((float) M_PI) * u2), (t_0 - t_0))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(pi) * u2))
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(fma(Float32(Float32(pi) * u2), t_0, Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * t_0)) / fma(Float32(Float32(pi) * u2), Float32(Float32(pi) * u2), Float32(t_0 - t_0)))))
end

Derivation

1. Initial program 62.0%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. lower-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. lower-neg.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   4. count-2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \]

   5. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}^{3} + {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}^{3}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)} \]

   6. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}^{3} + {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}^{3}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot u2, \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right), \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot u2, \pi \cdot u2, \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right) - \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \leq 0.9994000196456909:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3611111111111111, -0.3333333333333333\right), -0.25\right), 1\right)}{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}} \cdot \left(u1 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (cos (* u2 (* PI 2.0))) 0.9994000196456909)
   (*
    (sqrt
     (/
      (fma
       (* u1 u1)
       (fma u1 (fma u1 -0.3611111111111111 -0.3333333333333333) -0.25)
       1.0)
      (- u1 (* (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5)))))
    (* u1 (cos (* (* PI u2) 2.0))))
   (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (cosf((u2 * (((float) M_PI) * 2.0f))) <= 0.9994000196456909f) {
		tmp = sqrtf((fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3611111111111111f, -0.3333333333333333f), -0.25f), 1.0f) / (u1 - ((u1 * u1) * fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f))))) * (u1 * cosf(((((float) M_PI) * u2) * 2.0f)));
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * fmaf((u2 * u2), (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)), 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (cos(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))) <= Float32(0.9994000196456909))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3611111111111111), Float32(-0.3333333333333333)), Float32(-0.25)), Float32(1.0)) / Float32(u1 - Float32(Float32(u1 * u1) * fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)))))) * Float32(u1 * cos(Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(2.0)))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * fma(Float32(u2 * u2), Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))), Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.99940002

   1. Initial program 58.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      13. lower-fma.f32 93.1

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 93.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. lift-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)} \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2}\right) + u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lift-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)} + \frac{1}{2}\right) + u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. lift-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)} + u1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. flip-+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{u1 \cdot u1 - \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right)}{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{u1 \cdot u1 - \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-/.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{u1 \cdot u1 - \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{u1 \cdot u1 - \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)} \cdot \left(1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)} \cdot \left(1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{\left({u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right) + 1\right)}}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}, 1\right)}}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}, 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}, 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}, 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4}}, 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. lower-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}, \frac{-1}{4}\right)}, 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-13}{36} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}, \frac{-1}{4}\right), 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-13}{36}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right), \frac{-1}{4}\right), 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-13}{36} + \color{blue}{\frac{-1}{3}}, \frac{-1}{4}\right), 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right), \frac{1}{2}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      14. lower-fma.f32 93.0

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3611111111111111, -0.3333333333333333\right)}, -0.25\right), 1\right)}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   10. Simplified 93.0%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3611111111111111, -0.3333333333333333\right), -0.25\right), 1\right)}}}{\sqrt{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   11. Taylor expanded in u2 around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)}{u1 - {u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)}{u1 - {u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}} \cdot \left(u1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

       2. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1 + {u1}^{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-13}{36} \cdot u1 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}\right)}{u1 - {u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}} \cdot \left(u1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   13. Simplified 93.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3611111111111111, -0.3333333333333333\right), -0.25\right), 1\right)}{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}} \cdot \left(u1 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

   if 0.99940002 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 57.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. lower-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. lower-neg.f32 99.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + 1\right) \]

      5. lower-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({u2}^{2}, -2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right)} \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u2 \cdot u2}, -2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      7. lower-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{u2 \cdot u2}, -2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, 1\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2}, 1\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot -2, 1\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      11. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      12. lower-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right), 1\right) \]

      13. lower-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      14. lower-PI.f32 99.4

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \pi \cdot \left(\color{blue}{\pi} \cdot -2\right), 1\right) \]

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right), 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \leq 0.9994000196456909:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3611111111111111, -0.3333333333333333\right), -0.25\right), 1\right)}{u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right)}} \cdot \left(u1 \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2 \cdot u2, \pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024218 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))