Falkner and Boettcher, Appendix B, 1

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 18.0s

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))

C

double code(double v) {
	return acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(v)
    real(8), intent (in) :: v
    code = acos(((1.0d0 - (5.0d0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double v) {
	return Math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

Python

def code(v):
	return math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)))

Julia

function code(v)
	return acos(Float64(Float64(1.0 - Float64(5.0 * Float64(v * v))) / Float64(Float64(v * v) - 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(v)
	tmp = acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
end

Wolfram

code[v_] := N[ArcCos[N[(N[(1.0 - N[(5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(v * v), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))

C

double code(double v) {
	return acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(v)
    real(8), intent (in) :: v
    code = acos(((1.0d0 - (5.0d0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double v) {
	return Math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

Python

def code(v):
	return math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)))

Julia

function code(v)
	return acos(Float64(Float64(1.0 - Float64(5.0 * Float64(v * v))) / Float64(Float64(v * v) - 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(v)
	tmp = acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
end

Wolfram

code[v_] := N[ArcCos[N[(N[(1.0 - N[(5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(v * v), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\\ t_1 := \sin^{-1} t\_0\\ \frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \frac{1}{\frac{1}{\cos^{-1} t\_0}}\right)\right)}^{3}\right)}{-\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, t\_1 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, t\_1\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (fma -5.0 (* v v) 1.0) (fma v v -1.0))) (t_1 (asin t_0)))
   (/
    (fma
     PI
     (* PI (* PI -0.125))
     (- (pow (fma PI -0.5 (/ 1.0 (/ 1.0 (acos t_0)))) 3.0)))
    (- (fma PI (* PI 0.25) (* t_1 (fma PI 0.5 t_1)))))))

C

double code(double v) {
	double t_0 = fma(-5.0, (v * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0);
	double t_1 = asin(t_0);
	return fma(((double) M_PI), (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * -0.125)), -pow(fma(((double) M_PI), -0.5, (1.0 / (1.0 / acos(t_0)))), 3.0)) / -fma(((double) M_PI), (((double) M_PI) * 0.25), (t_1 * fma(((double) M_PI), 0.5, t_1)));
}

Julia

function code(v)
	t_0 = Float64(fma(-5.0, Float64(v * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0))
	t_1 = asin(t_0)
	return Float64(fma(pi, Float64(pi * Float64(pi * -0.125)), Float64(-(fma(pi, -0.5, Float64(1.0 / Float64(1.0 / acos(t_0)))) ^ 3.0))) / Float64(-fma(pi, Float64(pi * 0.25), Float64(t_1 * fma(pi, 0.5, t_1)))))
end

Wolfram

code[v_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(-5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(v * v + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcSin[t$95$0], $MachinePrecision]}, N[(N[(Pi * N[(Pi * N[(Pi * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + (-N[Power[N[(Pi * -0.5 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[ArcCos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision])), $MachinePrecision] / (-N[(Pi * N[(Pi * 0.25), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(Pi * 0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision])), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{v \cdot \color{blue}{\left(v \cdot -5\right)} + 1}{v \cdot v + -1}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}}{v \cdot v + -1}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   5. asin-acos N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   9. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   11. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   12. lower-neg.f64 99.3

       \[\leadsto \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, -\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)} \]

7. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \cos^{-1} \left(\frac{1 + -5 \cdot {v}^{2}}{{v}^{2} - 1}\right)\right)}^{3}}{\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \sin^{-1} \left(\frac{1 + -5 \cdot {v}^{2}}{{v}^{2} - 1}\right) \cdot \left(\sin^{-1} \left(\frac{1 + -5 \cdot {v}^{2}}{{v}^{2} - 1}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. lift-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(\frac{-5 \cdot \color{blue}{\left(v \cdot v\right)} + 1}{v \cdot v + -1}\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    2. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}}{v \cdot v + -1}\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    3. lift-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}}\right)\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    4. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    5. lift-acos.f64 99.2

       \[\leadsto -\frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)} \]

    6. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}{1}}\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    7. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}}\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    8. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{8}\right), \mathsf{neg}\left({\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}, \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}}\right)\right)}^{3}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}\right) \]

    9. lower-/.f64 99.3

       \[\leadsto -\frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}}\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)} \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto -\frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}}\right)\right)}^{3}\right)}{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(\pi \cdot -0.125\right), -{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, -0.5, \frac{1}{\frac{1}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}\right)\right)}^{3}\right)}{-\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot 0.25, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, -5 \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\\ \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, -\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(t\_0, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, t\_0\right), 0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (asin (/ (fma v (* -5.0 v) 1.0) (fma v v -1.0)))))
   (*
    (-
     (* (* PI (* PI PI)) 0.125)
     (pow
      (fma PI 0.5 (- (acos (/ (fma -5.0 (* v v) 1.0) (fma v v -1.0)))))
      3.0))
    (/ 1.0 (fma t_0 (fma PI 0.5 t_0) (* 0.25 (* PI PI)))))))

C

double code(double v) {
	double t_0 = asin((fma(v, (-5.0 * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0)));
	return (((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) * 0.125) - pow(fma(((double) M_PI), 0.5, -acos((fma(-5.0, (v * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0)))), 3.0)) * (1.0 / fma(t_0, fma(((double) M_PI), 0.5, t_0), (0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))));
}

Julia

function code(v)
	t_0 = asin(Float64(fma(v, Float64(-5.0 * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(pi * Float64(pi * pi)) * 0.125) - (fma(pi, 0.5, Float64(-acos(Float64(fma(-5.0, Float64(v * v), 1.0) / fma(v, v, -1.0))))) ^ 3.0)) * Float64(1.0 / fma(t_0, fma(pi, 0.5, t_0), Float64(0.25 * Float64(pi * pi)))))
end

Wolfram

code[v_] := Block[{t$95$0 = N[ArcSin[N[(N[(v * N[(-5.0 * v), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(v * v + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision] - N[Power[N[(Pi * 0.5 + (-N[ArcCos[N[(N[(-5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(v * v + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(t$95$0 * N[(Pi * 0.5 + t$95$0), $MachinePrecision] + N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{v \cdot \color{blue}{\left(v \cdot -5\right)} + 1}{v \cdot v + -1}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   2. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}}{v \cdot v + -1}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   3. lift-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   4. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   5. asin-acos N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   8. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   9. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   11. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{8} - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

   12. lower-neg.f64 99.0

       \[\leadsto \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \color{blue}{-\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, -\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25\right)} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.125 - {\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, -\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(-5, v \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, -5 \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.5, \sin^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, -5 \cdot v, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)\right), 0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024218 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  :precision binary64
  (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))