2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 99.9%

Time: 9.6s

Alternatives: 3

Speedup: 0.4×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\\ t_2 := \frac{{\left(t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{t\_1}\\ 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{t\_1}\right), \cos t\_2, -\sin \left(-0.4444444444444444 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{\mathsf{fma}\left(t\_0, -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \cdot \sin t\_2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g (- h))))
        (t_1 (fma PI 0.6666666666666666 (* t_0 -0.3333333333333333)))
        (t_2 (/ (pow (* t_0 0.3333333333333333) 2.0) t_1)))
   (*
    2.0
    (fma
     (cos (/ (* (* PI PI) 0.4444444444444444) t_1))
     (cos t_2)
     (-
      (*
       (sin
        (*
         -0.4444444444444444
         (/
          (* PI PI)
          (fma t_0 -0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666)))))
       (sin t_2)))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / -h));
	double t_1 = fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (t_0 * -0.3333333333333333));
	double t_2 = pow((t_0 * 0.3333333333333333), 2.0) / t_1;
	return 2.0 * fma(cos((((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.4444444444444444) / t_1)), cos(t_2), -(sin((-0.4444444444444444 * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) / fma(t_0, -0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))))) * sin(t_2)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_1 = fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(t_0 * -0.3333333333333333))
	t_2 = Float64((Float64(t_0 * 0.3333333333333333) ^ 2.0) / t_1)
	return Float64(2.0 * fma(cos(Float64(Float64(Float64(pi * pi) * 0.4444444444444444) / t_1)), cos(t_2), Float64(-Float64(sin(Float64(-0.4444444444444444 * Float64(Float64(pi * pi) / fma(t_0, -0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))))) * sin(t_2)))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Power[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Cos[N[(N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.4444444444444444), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision] + (-N[(N[Sin[N[(-0.4444444444444444 * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 * -0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision])), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \sin \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \color{blue}{\left(-\sin \left(-0.4444444444444444 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.4444444444444444}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), \cos \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right), -\sin \left(-0.4444444444444444 \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) \cdot \sin \left(\frac{{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}^{2}}{\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\\ 2 \cdot \left(t\_1 \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(t\_0, 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{t\_1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g (- h))))
        (t_1 (cos (fma t_0 -0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666)))))
   (*
    2.0
    (*
     t_1
     (/ (cos (fma t_0 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666))) t_1)))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / -h));
	double t_1 = cos(fma(t_0, -0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
	return 2.0 * (t_1 * (cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))) / t_1));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / Float64(-h)))
	t_1 = cos(fma(t_0, -0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666)))
	return Float64(2.0 * Float64(t_1 * Float64(cos(fma(t_0, 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))) / t_1)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(t$95$0 * -0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(t$95$1 * N[(N[Cos[N[(t$95$0 * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), -0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (fma (acos (/ g (- h))) 0.3333333333333333 (* PI 0.6666666666666666)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(acos((g / -h)), 0.3333333333333333, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(acos(Float64(g / Float64(-h))), 0.3333333333333333, Float64(pi * 0.6666666666666666))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. lift-*.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. lift-neg.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(g\right)}}{h}\right)}{3}\right) \]

   5. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}}{3}\right) \]

   6. lift-acos.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}}{3}\right) \]

   7. lift-/.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}}\right) \]

   8. lift-+.f64 N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   9. lift-cos.f64 98.4

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   10. lift-+.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}\right)} \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)} \]

   12. lift-/.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right)}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   13. div-inv N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right) \]

   14. lower-fma.f64 N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{neg}\left(g\right)}{h}\right), \frac{1}{3}, \frac{2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{3}\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right), 0.3333333333333333, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]
5. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024215 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))