Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 16.4s

Alternatives: 10

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\pi \cdot \frac{1}{s}}}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (fma
      (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ -1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))
      u
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (* PI (/ 1.0 s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / fmaf(((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (-1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s))))), u, (1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) * (1.0f / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / fma(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))), u, Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(1.0) / s))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}}}\right)} - 1\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{s}}}}\right)} - 1\right) \]

   3. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{s}}}}\right)} - 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)} - 1\right) \]

   5. lift-*.f32 99.0

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \pi}}}\right)} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \pi}}}\right)} - 1\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\pi \cdot \frac{1}{s}}}\right)}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{t\_0}, u, \frac{1}{t\_0}\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      -1.0
      (/
       1.0
       (fma
        (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ -1.0 t_0))
        u
        (/ 1.0 t_0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f + expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / fmaf(((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (-1.0f / t_0)), u, (1.0f / t_0)))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / fma(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(-1.0) / t_0)), u, Float32(Float32(1.0) / t_0))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (*
      (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI (- s))))) (/ -1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))
      u))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / -s)))) + (-1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s))))) * u))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / Float32(-s))))) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))) * u)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / -s)))) + (single(-1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s))))) * u))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around inf

   \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}} - 1\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)}} - 1\right) \]

   3. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)}} - 1\right) \]

   4. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   5. lower-+.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   6. lower-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + \color{blue}{e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   8. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{-1 \cdot s}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   10. lower-/.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-1 \cdot s}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   11. lower-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{-1 \cdot s}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   13. lower-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   14. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \color{blue}{\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)} - 1\right) \]

5. Simplified 97.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]

6. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) \cdot u}\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 24.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(u \cdot -0.5\right)\right), \frac{4}{s}, 1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (fma (fma PI 0.25 (* PI (* u -0.5))) (/ 4.0 s) 1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(fmaf(fmaf(((float) M_PI), 0.25f, (((float) M_PI) * (u * -0.5f))), (4.0f / s), 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(fma(fma(Float32(pi), Float32(0.25), Float32(Float32(pi) * Float32(u * Float32(-0.5)))), Float32(Float32(4.0) / s), Float32(1.0))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(1 + \color{blue}{\frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s} + 1\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 4}}{s} + 1\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{4}{s}} + 1\right) \]

   5. lower-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \frac{4}{s}, 1\right)\right)} \]

5. Simplified 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \frac{4}{s}, 1\right)\right)} \]

6. Final simplification 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(u \cdot -0.5\right)\right), \frac{4}{s}, 1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 13.2% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\\ \frac{\mathsf{fma}\left(8, t\_0 \cdot t\_0, \mathsf{fma}\left(t\_0, t\_0 \cdot -8, s \cdot \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot 2, -\pi\right)\right)\right)}{s} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (fma -0.5 u 0.25))))
   (/
    (fma
     8.0
     (* t_0 t_0)
     (fma t_0 (* t_0 -8.0) (* s (fma u (* PI 2.0) (- PI)))))
    s)))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * fmaf(-0.5f, u, 0.25f);
	return fmaf(8.0f, (t_0 * t_0), fmaf(t_0, (t_0 * -8.0f), (s * fmaf(u, (((float) M_PI) * 2.0f), -((float) M_PI))))) / s;
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * fma(Float32(-0.5), u, Float32(0.25)))
	return Float32(fma(Float32(8.0), Float32(t_0 * t_0), fma(t_0, Float32(t_0 * Float32(-8.0)), Float32(s * fma(u, Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)), Float32(-Float32(pi)))))) / s)
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   2. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \left(e^{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   3. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \left(e^{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   4. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   5. log-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   7. lower-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   8. exp-1-e N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \color{blue}{\mathsf{E}\left(\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   9. lower-E.f32 6.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \log \color{blue}{e}, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

7. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\pi \cdot \log e}, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4 \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \mathsf{E}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{s}} \]

10. Simplified 13.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(8, \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right) \cdot -8, s \cdot \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot 2, -\pi\right)\right)\right)}{s}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 11.5% accurate, 15.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(s \cdot -4, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (/ (fma (* s -4.0) (* PI (fma -0.5 u 0.25)) 0.0) s))

C

float code(float u, float s) {
	return fmaf((s * -4.0f), (((float) M_PI) * fmaf(-0.5f, u, 0.25f)), 0.0f) / s;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(fma(Float32(s * Float32(-4.0)), Float32(Float32(pi) * fma(Float32(-0.5), u, Float32(0.25))), Float32(0.0)) / s)
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   2. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   4. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   5. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot -4\right) \]

   7. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot -4\right) \]

   8. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   9. lift-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\color{blue}{\left(u \cdot \frac{-1}{2}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   11. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\color{blue}{\left(u \cdot \frac{-1}{2}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   12. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\left(u \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   13. lower-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\left(u \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot -4\right) \]

   14. lift-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \left(\left(u \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot -4\right) \]

   15. lower-sqrt.f32 8.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \left(\left(u \cdot -0.5\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\pi}}\right) \cdot -4\right) \]

7. Applied egg-rr 8.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \color{blue}{\left(\left(u \cdot -0.5\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}}\right) \cdot -4\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4 \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. lower-/.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4 \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}{s}} \]

10. Simplified 11.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-4 \cdot s, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s}} \]

11. Final simplification 11.6%

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(s \cdot -4, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 11.5% accurate, 30.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right) \cdot -4 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (* PI (fma -0.5 u 0.25)) -4.0))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) * fmaf(-0.5f, u, 0.25f)) * -4.0f;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) * fma(Float32(-0.5), u, Float32(0.25))) * Float32(-4.0))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   2. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \left(e^{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   3. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \left(e^{1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   4. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   5. log-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   6. lower-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   7. lower-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\log \left(e^{1}\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   8. exp-1-e N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \color{blue}{\mathsf{E}\left(\right)}, \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

   9. lower-E.f32 6.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \log \color{blue}{e}, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

7. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\pi \cdot \log e}, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

8. Taylor expanded in u around -inf

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{{u}^{2} \cdot \left(-4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + \left(-1 \cdot \frac{-4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + 16 \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \log \mathsf{E}\left(\right)\right) + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{u} + 4 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

10. Simplified 9.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.5, \color{blue}{\left(u \cdot u\right) \cdot \left(0 + \frac{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, \frac{-4}{s}, \frac{2 \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}{s}\right)}{-u}\right)}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right) \]

11. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto -4 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto -4 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right)} \]

    4. lower-*.f32 N/A

       \[\leadsto -4 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right)} \]

    5. lower-PI.f32 N/A

       \[\leadsto -4 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right) \]

    6. lower-fma.f32 11.6

       \[\leadsto -4 \cdot \left(\pi \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)}\right) \]

13. Simplified 11.6%

    \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right)} \]

14. Final simplification 11.6%

    \[\leadsto \left(\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)\right) \cdot -4 \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 11.5% accurate, 36.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot 2, -\pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (fma u (* PI 2.0) (- PI)))

C

float code(float u, float s) {
	return fmaf(u, (((float) M_PI) * 2.0f), -((float) M_PI));
}

Julia

function code(u, s)
	return fma(u, Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)), Float32(-Float32(pi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. lift-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}}}\right)} - 1\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{s}}}}\right)} - 1\right) \]

   3. lift-/.f32 N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{s}}}}\right)} - 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)} - 1\right) \]

   5. lift-*.f32 99.0

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \pi}}}\right)} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \pi}}}\right)} - 1\right) \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto -4 \cdot \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto -4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{4}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4 + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4} \]

   4. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \left(u \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot -4 + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \cdot -4 + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)} \cdot -4 + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot -4\right)} + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2} + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)} + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto u \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} + \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -4 \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot -4 \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot -4\right)} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{-1} \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto u \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   15. lower-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

9. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot 2, -\pi\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 11.3% accurate, 170.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. lower-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. lower-PI.f32 11.2

      \[\leadsto -\color{blue}{\pi} \]

5. Simplified 11.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 10.3% accurate, 510.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 0.0)

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 8.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, \pi \cdot \left(-0.5 \cdot u\right)\right) \cdot -4\right)} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}{s}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}{s}} \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left({\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} \cdot \left(-16 + 16\right)\right)}}{s} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} \cdot \color{blue}{0}\right)}{s} \]

   4. mul0-rgt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{0}}{s} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{s} \]

   6. lower-/.f32 10.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0}{s}} \]

8. Simplified 10.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. div0 10.3

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]

10. Applied egg-rr 10.3%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024208 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))