Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.7% → 98.9%

Time: 13.9s

Alternatives: 17

Speedup: 21.0×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\pi}\right)}^{3} \cdot u2\right)\right)\right) + \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (- (log1p (- u1))))
  (+
   (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (* (pow (cbrt PI) 3.0) u2)))))
   (- (* 0.5 (cos (* 2.0 (* PI u2)))) 0.5))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * ((0.5f + (0.5f * cosf((2.0f * (powf(cbrtf(((float) M_PI)), 3.0f) * u2))))) + ((0.5f * cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)))) - 0.5f));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32((cbrt(Float32(pi)) ^ Float32(3.0)) * u2))))) + Float32(Float32(Float32(0.5) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)))) - Float32(0.5))))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   2. cos-2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot u2\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot u2\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. cbrt-lowering-cbrt.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left({\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}}^{3} \cdot u2\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\pi}}\right)}^{3} \cdot u2\right)\right)\right) - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\pi}\right)}^{3}} \cdot u2\right)\right)\right) - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\pi}\right)}^{3} \cdot u2\right)\right)\right) + \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - 0.5\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \leq 0.16200000047683716:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= (* t_0 (sqrt (- (log (- 1.0 u1))))) 0.16200000047683716)
     (*
      t_0
      (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5) u1)))
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma u2 (* u2 (* PI (* PI -2.0))) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if ((t_0 * sqrtf(-logf((1.0f - u1)))) <= 0.16200000047683716f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f), u1));
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))), 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(t_0 * sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1))))) <= Float32(0.16200000047683716))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)), u1)));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0)))), Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (sqrt.f32 (neg.f32 (log.f32 (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)))) (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))) < 0.162

   1. Initial program 50.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      13. accelerator-lowering-fma.f32 98.5

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.162 < (*.f32 (sqrt.f32 (neg.f32 (log.f32 (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)))) (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)))

   1. Initial program 97.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.1

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), 1\right)} \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, \color{blue}{u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot -2\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right), 1\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 92.7

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\color{blue}{\pi} \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

   7. Simplified 92.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \leq 0.16200000047683716:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= (* t_0 (sqrt (- (log (- 1.0 u1))))) 0.0820000022649765)
     (* t_0 (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 0.3333333333333333 0.5) u1)))
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma u2 (* u2 (* PI (* PI -2.0))) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if ((t_0 * sqrtf(-logf((1.0f - u1)))) <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, 0.3333333333333333f, 0.5f), u1));
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))), 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(t_0 * sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1))))) <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, Float32(0.3333333333333333), Float32(0.5)), u1)));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0)))), Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (sqrt.f32 (neg.f32 (log.f32 (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)))) (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))) < 0.0820000023

   1. Initial program 46.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)} + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot u1 + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{3}} + \frac{1}{2}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      11. accelerator-lowering-fma.f32 98.2

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right)}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (sqrt.f32 (neg.f32 (log.f32 (-.f32 #s(literal 1 binary32) u1)))) (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)))

   1. Initial program 95.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.2

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), 1\right)} \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, \color{blue}{u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot -2\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right), 1\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 94.0

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\color{blue}{\pi} \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

   7. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9999997615814209:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= t_0 0.9999997615814209)
     (* t_0 (sqrt (fma u1 (* u1 0.5) u1)))
     (sqrt (- (log1p (- u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9999997615814209f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(fmaf(u1, (u1 * 0.5f), u1));
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9999997615814209))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(fma(u1, Float32(u1 * Float32(0.5)), u1)));
	else
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.999999762

   1. Initial program 60.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{2} \cdot u1, u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 84.7

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot 0.5}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 84.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.999999762 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot 1 \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9999997615814209:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 98.9

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.5\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.00039999998989515007)
     (sqrt (- (log1p (- u1))))
     (if (<= t_0 0.20000000298023224)
       (*
        (/
         (sqrt
          (*
           (- u1)
           (fma (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) (* u1 (* u1 -0.5)) -1.0)))
         (sqrt (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) 1.0)))
        (fma (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)) 1.0))
       (* (cos t_0) (sqrt u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else if (t_0 <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = (sqrtf((-u1 * fmaf(fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), (u1 * (u1 * -0.5f)), -1.0f))) / sqrtf(fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), 1.0f))) * fmaf((((float) M_PI) * ((float) M_PI)), (-2.0f * (u2 * u2)), 1.0f);
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	elseif (t_0 <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(u1 * Float32(u1 * Float32(-0.5))), Float32(-1.0)))) / sqrt(fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(1.0)))) * fma(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)), Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)), Float32(1.0)));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 3.9999999e-4

   1. Initial program 58.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot 1 \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot 1 \]

   if 3.9999999e-4 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.200000003

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. accelerator-lowering-fma.f32 91.7

         \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 91.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

      6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 89.7

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   10. Simplified 89.7%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u1\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 90.9

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

   13. Simplified 90.9%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

   if 0.200000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 61.1%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 70.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{elif}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.5\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.15000000596046448:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.15000000596046448)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (fma u2 (* u2 (* PI (* PI -2.0))) 1.0))
     (* (cos t_0) (sqrt (fma u1 (* u1 0.5) u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.15000000596046448f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))), 1.0f);
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf(fmaf(u1, (u1 * 0.5f), u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.15000000596046448))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0)))), Float32(1.0)));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(fma(u1, Float32(u1 * Float32(0.5)), u1)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.150000006

   1. Initial program 58.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.4

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + 1\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), 1\right)} \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, \color{blue}{u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}, 1\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}, 1\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot -2\right), 1\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right), 1\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.7

          \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\color{blue}{\pi} \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)} \]

   if 0.150000006 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 61.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{2} \cdot u1, u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 81.7

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot 0.5}, u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 81.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.15000000596046448:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 86.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.5\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.00039999998989515007)
   (sqrt (- (log1p (- u1))))
   (*
    (/
     (sqrt
      (*
       (- u1)
       (fma (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) (* u1 (* u1 -0.5)) -1.0)))
     (sqrt (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) 1.0)))
    (fma (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = (sqrtf((-u1 * fmaf(fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), (u1 * (u1 * -0.5f)), -1.0f))) / sqrtf(fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), 1.0f))) * fmaf((((float) M_PI) * ((float) M_PI)), (-2.0f * (u2 * u2)), 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(u1 * Float32(u1 * Float32(-0.5))), Float32(-1.0)))) / sqrt(fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(1.0)))) * fma(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)), Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)), Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 3.9999999e-4

   1. Initial program 58.3%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \color{blue}{\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      2. accelerator-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \cdot 1 \]

      3. neg-lowering-neg.f32 99.5

         \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-u1}\right)} \cdot 1 \]

   7. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \cdot 1 \]

   if 3.9999999e-4 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 58.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      8. accelerator-lowering-fma.f32 89.8

         \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      4. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

      6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 71.3

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   10. Simplified 71.3%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u1\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 72.1

          \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

   13. Simplified 72.1%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.5\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 82.7% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot -0.5\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (/
   (sqrt
    (* (- u1) (fma (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) (* u1 (* u1 -0.5)) -1.0)))
   (sqrt (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) 1.0)))
  (fma (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)) 1.0)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (sqrtf((-u1 * fmaf(fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), (u1 * (u1 * -0.5f)), -1.0f))) / sqrtf(fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), 1.0f))) * fmaf((((float) M_PI) * ((float) M_PI)), (-2.0f * (u2 * u2)), 1.0f);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(u1 * Float32(u1 * Float32(-0.5))), Float32(-1.0)))) / sqrt(fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(1.0)))) * fma(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)), Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)), Float32(1.0)))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 90.9

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied egg-rr 90.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 83.8

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

10. Simplified 83.8%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot u1\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 84.9

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

13. Simplified 84.9%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot -0.5\right)}, -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 82.6% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.25, u1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (fma (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)) 1.0)
  (/
   (sqrt (fma u1 (* (* u1 u1) -0.25) u1))
   (sqrt (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return fmaf((((float) M_PI) * ((float) M_PI)), (-2.0f * (u2 * u2)), 1.0f) * (sqrtf(fmaf(u1, ((u1 * u1) * -0.25f), u1)) / sqrtf(fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), 1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(fma(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)), Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)), Float32(1.0)) * Float32(sqrt(fma(u1, Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(-0.25)), u1)) / sqrt(fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(1.0)))))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 90.9

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied egg-rr 90.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 83.8

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

10. Simplified 83.8%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2}\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2} + 1\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    2. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2}\right) + u1 \cdot 1}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    3. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{u1 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2}\right) + \color{blue}{u1}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2}, u1\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot {u1}^{2}}, u1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{4} \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}, u1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 84.9

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}, u1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

13. Simplified 84.9%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.25 \cdot \left(u1 \cdot u1\right), u1\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \]

14. Final simplification 84.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right) \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \left(u1 \cdot u1\right) \cdot -0.25, u1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 81.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\pi, \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right)\right) \cdot t\_0, t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt (* (- u1) (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) -1.0)))))
   (fma PI (* (* PI (* u2 (* u2 -2.0))) t_0) t_0)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = sqrtf((-u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), -1.0f)));
	return fmaf(((float) M_PI), ((((float) M_PI) * (u2 * (u2 * -2.0f))) * t_0), t_0);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(-1.0))))
	return fma(Float32(pi), Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(-2.0)))) * t_0), t_0)
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 90.9

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied egg-rr 90.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 83.8

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

10. Simplified 83.8%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

12. Applied egg-rr 84.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi, \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}, \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}\right)} \]

13. Final simplification 84.0%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}, \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 81.8% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right), 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (- u1) (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) -1.0)))
  (fma PI (* PI (* u2 (* u2 -2.0))) 1.0)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((-u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), -1.0f))) * fmaf(((float) M_PI), (((float) M_PI) * (u2 * (u2 * -2.0f))), 1.0f);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(-1.0)))) * fma(Float32(pi), Float32(Float32(pi) * Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(-2.0)))), Float32(1.0)))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 90.9

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) + -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right)\right) - -1 \cdot -1\right)}}{\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \frac{-1}{3} + \frac{-1}{2}\right) - -1}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

7. Applied egg-rr 90.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}} + 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} \cdot {u2}^{2} + 1\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)} + 1\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right)} \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, -2 \cdot {u2}^{2}, 1\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2 \cdot {u2}^{2}}, 1\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right), -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 83.8

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)}, 1\right) \]

10. Simplified 83.8%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), u1 \cdot \left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)\right), -1\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), 1\right)}} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi \cdot \pi, -2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right), 1\right)} \]

12. Applied egg-rr 83.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right), 1\right) \cdot \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \]

13. Final simplification 83.9%

    \[\leadsto \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, \pi \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -2\right)\right), 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.8% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right) \cdot \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (fma u2 (* u2 (* PI (* PI -2.0))) 1.0)
  (sqrt (* (- u1) (fma u1 (fma u1 -0.3333333333333333 -0.5) -1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return fmaf(u2, (u2 * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))), 1.0f) * sqrtf((-u1 * fmaf(u1, fmaf(u1, -0.3333333333333333f, -0.5f), -1.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(fma(u2, Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0)))), Float32(1.0)) * sqrt(Float32(Float32(-u1) * fma(u1, fma(u1, Float32(-0.3333333333333333), Float32(-0.5)), Float32(-1.0)))))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3} \cdot u1 - \frac{1}{2}, -1\right)}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot u1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{-1}{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{2}}, -1\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 90.9

      \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right)}, -1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Simplified 90.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2} + 1\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{{u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)} + 1\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + 1\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(u2 \cdot u2\right)} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} + 1\right) \]

   7. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), 1\right)} \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, \color{blue}{u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}, 1\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}, 1\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot -2\right), 1\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right)}, 1\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{2}\right), -1\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right), 1\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 83.9

       \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\color{blue}{\pi} \cdot -2\right)\right), 1\right) \]

8. Simplified 83.9%

   \[\leadsto \sqrt{-u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right)} \]

9. Final simplification 83.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(u2, u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right), 1\right) \cdot \sqrt{\left(-u1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, -0.3333333333333333, -0.5\right), -1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 75.7% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (fma (* u1 u1) (fma u1 (fma u1 0.25 0.3333333333333333) 0.5) u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(fmaf((u1 * u1), fmaf(u1, fmaf(u1, 0.25f, 0.3333333333333333f), 0.5f), u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(fma(Float32(u1 * u1), fma(u1, fma(u1, Float32(0.25), Float32(0.3333333333333333)), Float32(0.5)), u1))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + 1\right)}} \cdot 1 \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot 1 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)} + u1 \cdot 1} \cdot 1 \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{u1}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1} \cdot 1 \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot 1 \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({u1}^{2}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot 1 \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot 1 \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{u1 \cdot u1}, \frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right), u1\right)} \cdot 1 \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right) + \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot 1 \]

   10. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1, \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot 1 \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot u1 + \frac{1}{3}}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot 1 \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{4}} + \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot 1 \]

   13. accelerator-lowering-fma.f32 79.4

       \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right)}, 0.5\right), u1\right)} \cdot 1 \]

8. Simplified 79.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)}} \cdot 1 \]

9. Final simplification 79.4%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1 \cdot u1, \mathsf{fma}\left(u1, \mathsf{fma}\left(u1, 0.25, 0.3333333333333333\right), 0.5\right), u1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 74.4% accurate, 8.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (fma u1 (* u1 (fma u1 0.3333333333333333 0.5)) u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(fmaf(u1, (u1 * fmaf(u1, 0.3333333333333333f, 0.5f)), u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(fma(u1, Float32(u1 * fma(u1, Float32(0.3333333333333333), Float32(0.5))), u1))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)}} \cdot 1 \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right) + 1\right)}} \cdot 1 \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) + u1 \cdot 1}} \cdot 1 \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right) + \color{blue}{u1}} \cdot 1 \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right), u1\right)}} \cdot 1 \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)}, u1\right)} \cdot 1 \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot u1 + \frac{1}{2}\right)}, u1\right)} \cdot 1 \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \left(\color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{3}} + \frac{1}{2}\right), u1\right)} \cdot 1 \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 77.8

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right)}, u1\right)} \cdot 1 \]

8. Simplified 77.8%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)}} \cdot 1 \]

9. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot \mathsf{fma}\left(u1, 0.3333333333333333, 0.5\right), u1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 16: 71.9% accurate, 10.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt (fma u1 (* u1 0.5) u1)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(fmaf(u1, (u1 * 0.5f), u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(fma(u1, Float32(u1 * Float32(0.5)), u1))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}} \cdot 1 \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1 + 1\right)}} \cdot 1 \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + u1 \cdot 1}} \cdot 1 \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) + \color{blue}{u1}} \cdot 1 \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, \frac{1}{2} \cdot u1, u1\right)}} \cdot 1 \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot \frac{1}{2}}, u1\right)} \cdot 1 \]

   6. *-lowering-*.f32 74.8

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, \color{blue}{u1 \cdot 0.5}, u1\right)} \cdot 1 \]

8. Simplified 74.8%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)}} \cdot 1 \]

9. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(u1, u1 \cdot 0.5, u1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 17: 64.2% accurate, 21.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 75.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 67.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]

8. Simplified 67.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024199 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))