Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.9% → 8.4%

Time: 18.8s

Alternatives: 6

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}}\\ \frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot -4}{\left(\frac{\pi}{2} - t\_0 \cdot t\_0\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (pow PI 1.5))))
   (/
    (+ (* 0.25 (* PI PI)) (* (pow (acos (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 x)))) 2.0) -4.0))
    (-
     (- (/ PI 2.0) (* t_0 t_0))
     (* 2.0 (acos (pow (+ 0.5 (/ x -2.0)) 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(pow(((double) M_PI), 1.5));
	return ((0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) + (pow(acos(sqrt((0.5 + (-0.5 * x)))), 2.0) * -4.0)) / (((((double) M_PI) / 2.0) - (t_0 * t_0)) - (2.0 * acos(pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(Math.pow(Math.PI, 1.5));
	return ((0.25 * (Math.PI * Math.PI)) + (Math.pow(Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * x)))), 2.0) * -4.0)) / (((Math.PI / 2.0) - (t_0 * t_0)) - (2.0 * Math.acos(Math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5))));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt((pi ^ 1.5))
	return Float64(Float64(Float64(0.25 * Float64(pi * pi)) + Float64((acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * x)))) ^ 2.0) * -4.0)) / Float64(Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(t_0 * t_0)) - Float64(2.0 * acos((Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)) ^ 0.5)))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Power[Pi, 1.5], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcCos[N[Power[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   16. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   19. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{\sqrt[3]{{\pi}^{1.5}} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}}}\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)}^{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    3. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    4. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

11. Simplified 7.7%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot -4}}{\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}}\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2} \]

12. Final simplification 7.7%

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot -4}{\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}}\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\pi}{2} - \pi\\ t_1 := \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\\ \frac{t\_0 \cdot t\_0 - 4 \cdot {t\_1}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - {\pi}^{0.25} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{2.25}}\right) - 2 \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (/ PI 2.0) PI)) (t_1 (acos (pow (+ 0.5 (/ x -2.0)) 0.5))))
   (/
    (- (* t_0 t_0) (* 4.0 (pow t_1 2.0)))
    (- (- (/ PI 2.0) (* (pow PI 0.25) (cbrt (pow PI 2.25)))) (* 2.0 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (((double) M_PI) / 2.0) - ((double) M_PI);
	double t_1 = acos(pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return ((t_0 * t_0) - (4.0 * pow(t_1, 2.0))) / (((((double) M_PI) / 2.0) - (pow(((double) M_PI), 0.25) * cbrt(pow(((double) M_PI), 2.25)))) - (2.0 * t_1));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.PI / 2.0) - Math.PI;
	double t_1 = Math.acos(Math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return ((t_0 * t_0) - (4.0 * Math.pow(t_1, 2.0))) / (((Math.PI / 2.0) - (Math.pow(Math.PI, 0.25) * Math.cbrt(Math.pow(Math.PI, 2.25)))) - (2.0 * t_1));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(pi / 2.0) - pi)
	t_1 = acos((Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)) ^ 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - Float64(4.0 * (t_1 ^ 2.0))) / Float64(Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64((pi ^ 0.25) * cbrt((pi ^ 2.25)))) - Float64(2.0 * t_1)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[Power[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(4.0 * N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(N[Power[Pi, 0.25], $MachinePrecision] * N[Power[N[Power[Pi, 2.25], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   15. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   16. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   19. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{3}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{3}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{\sqrt[3]{{\pi}^{1.5}} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{1.5}}}\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. cbrt-unprod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot {\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. pow3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. cbrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{3}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{{\pi}^{0.25} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{2.25}}}\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - {\pi}^{0.25} \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{2.25}}\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\pi}{2} - \pi\\ t_1 := \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\\ \frac{t\_0 \cdot t\_0 - 4 \cdot {t\_1}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}\right) - 2 \cdot t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (/ PI 2.0) PI)) (t_1 (acos (pow (+ 0.5 (/ x -2.0)) 0.5))))
   (/
    (- (* t_0 t_0) (* 4.0 (pow t_1 2.0)))
    (- (- (/ PI 2.0) (cbrt (* PI (* PI PI)))) (* 2.0 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (((double) M_PI) / 2.0) - ((double) M_PI);
	double t_1 = acos(pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return ((t_0 * t_0) - (4.0 * pow(t_1, 2.0))) / (((((double) M_PI) / 2.0) - cbrt((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))) - (2.0 * t_1));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.PI / 2.0) - Math.PI;
	double t_1 = Math.acos(Math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return ((t_0 * t_0) - (4.0 * Math.pow(t_1, 2.0))) / (((Math.PI / 2.0) - Math.cbrt((Math.PI * (Math.PI * Math.PI)))) - (2.0 * t_1));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(pi / 2.0) - pi)
	t_1 = acos((Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)) ^ 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - Float64(4.0 * (t_1 ^ 2.0))) / Float64(Float64(Float64(pi / 2.0) - cbrt(Float64(pi * Float64(pi * pi)))) - Float64(2.0 * t_1)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[Power[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(4.0 * N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[Power[N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)}\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 7.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2} \]

9. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)\\ \frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + {t\_0}^{2} \cdot -4}{t\_0 \cdot -2 + \pi \cdot -0.5} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* -0.5 x))))))
   (/
    (+ (* 0.25 (* PI PI)) (* (pow t_0 2.0) -4.0))
    (+ (* t_0 -2.0) (* PI -0.5)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = acos(sqrt((0.5 + (-0.5 * x))));
	return ((0.25 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) + (pow(t_0, 2.0) * -4.0)) / ((t_0 * -2.0) + (((double) M_PI) * -0.5));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (-0.5 * x))));
	return ((0.25 * (Math.PI * Math.PI)) + (Math.pow(t_0, 2.0) * -4.0)) / ((t_0 * -2.0) + (Math.PI * -0.5));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.acos(math.sqrt((0.5 + (-0.5 * x))))
	return ((0.25 * (math.pi * math.pi)) + (math.pow(t_0, 2.0) * -4.0)) / ((t_0 * -2.0) + (math.pi * -0.5))

Julia

function code(x)
	t_0 = acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * x))))
	return Float64(Float64(Float64(0.25 * Float64(pi * pi)) + Float64((t_0 ^ 2.0) * -4.0)) / Float64(Float64(t_0 * -2.0) + Float64(pi * -0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = acos(sqrt((0.5 + (-0.5 * x))));
	tmp = ((0.25 * (pi * pi)) + ((t_0 ^ 2.0) * -4.0)) / ((t_0 * -2.0) + (pi * -0.5));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(-0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(0.25 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$0 * -2.0), $MachinePrecision] + N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - 4 \cdot {\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}}{\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

9. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2}}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) + -0.5 \cdot \pi}} \]

10. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot -4}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2 + \pi \cdot -0.5} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 \cdot \left(1 - x\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* PI -0.5) (* 2.0 (acos (sqrt (* 0.5 (- 1.0 x)))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt((0.5 * (1.0 - x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI * -0.5) + (2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 * (1.0 - x)))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi * -0.5) + (2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 * (1.0 - x)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi * -0.5) + Float64(2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 * Float64(1.0 - x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt((0.5 * (1.0 - x)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 * N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + -1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{\left(1 - x\right) \cdot 0.5}\right) \cdot 2} \]

8. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 \cdot \left(1 - x\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (* PI -0.5) (* 2.0 (acos (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI * -0.5) + (2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi * -0.5) + (2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi * -0.5) + Float64(2.0 * acos(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi * -0.5) + (2.0 * acos(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.2%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + -1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(-2 \cdot \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{\left(1 - x\right) \cdot 0.5}\right) \cdot 2} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right), 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right) \]

10. Simplified 5.4%

    \[\leadsto -0.5 \cdot \pi + \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \cdot 2 \]

11. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \pi \cdot -0.5 + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024194 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))