ABCF->ab-angle b

Percentage Accurate: 19.0% → 38.8%

Time: 19.6s

Alternatives: 12

Speedup: 6.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\\ \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(t\_0 \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (pow B 2.0) (* (* 4.0 A) C))))
   (/
    (-
     (sqrt
      (*
       (* 2.0 (* t_0 F))
       (- (+ A C) (sqrt (+ (pow (- A C) 2.0) (pow B 2.0)))))))
    t_0)))

C

double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	return -sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - sqrt((pow((A - C), 2.0) + pow(B, 2.0)))))) / t_0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c, f)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8), intent (in) :: f
    real(8) :: t_0
    t_0 = (b ** 2.0d0) - ((4.0d0 * a) * c)
    code = -sqrt(((2.0d0 * (t_0 * f)) * ((a + c) - sqrt((((a - c) ** 2.0d0) + (b ** 2.0d0)))))) / t_0
end function

Java

public static double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = Math.pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	return -Math.sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - Math.sqrt((Math.pow((A - C), 2.0) + Math.pow(B, 2.0)))))) / t_0;
}

Python

def code(A, B, C, F):
	t_0 = math.pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C)
	return -math.sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - math.sqrt((math.pow((A - C), 2.0) + math.pow(B, 2.0)))))) / t_0

Julia

function code(A, B, C, F)
	t_0 = Float64((B ^ 2.0) - Float64(Float64(4.0 * A) * C))
	return Float64(Float64(-sqrt(Float64(Float64(2.0 * Float64(t_0 * F)) * Float64(Float64(A + C) - sqrt(Float64((Float64(A - C) ^ 2.0) + (B ^ 2.0))))))) / t_0)
end

MATLAB

function tmp = code(A, B, C, F)
	t_0 = (B ^ 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	tmp = -sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - sqrt((((A - C) ^ 2.0) + (B ^ 2.0)))))) / t_0;
end

Wolfram

code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * A), $MachinePrecision] * C), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[((-N[Sqrt[N[(N[(2.0 * N[(t$95$0 * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(A + C), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(A - C), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]) / t$95$0), $MachinePrecision]]

Initial Program: 19.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\\ \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(t\_0 \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (pow B 2.0) (* (* 4.0 A) C))))
   (/
    (-
     (sqrt
      (*
       (* 2.0 (* t_0 F))
       (- (+ A C) (sqrt (+ (pow (- A C) 2.0) (pow B 2.0)))))))
    t_0)))

C

double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	return -sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - sqrt((pow((A - C), 2.0) + pow(B, 2.0)))))) / t_0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c, f)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8), intent (in) :: f
    real(8) :: t_0
    t_0 = (b ** 2.0d0) - ((4.0d0 * a) * c)
    code = -sqrt(((2.0d0 * (t_0 * f)) * ((a + c) - sqrt((((a - c) ** 2.0d0) + (b ** 2.0d0)))))) / t_0
end function

Java

public static double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = Math.pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	return -Math.sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - Math.sqrt((Math.pow((A - C), 2.0) + Math.pow(B, 2.0)))))) / t_0;
}

Python

def code(A, B, C, F):
	t_0 = math.pow(B, 2.0) - ((4.0 * A) * C)
	return -math.sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - math.sqrt((math.pow((A - C), 2.0) + math.pow(B, 2.0)))))) / t_0

Julia

function code(A, B, C, F)
	t_0 = Float64((B ^ 2.0) - Float64(Float64(4.0 * A) * C))
	return Float64(Float64(-sqrt(Float64(Float64(2.0 * Float64(t_0 * F)) * Float64(Float64(A + C) - sqrt(Float64((Float64(A - C) ^ 2.0) + (B ^ 2.0))))))) / t_0)
end

MATLAB

function tmp = code(A, B, C, F)
	t_0 = (B ^ 2.0) - ((4.0 * A) * C);
	tmp = -sqrt(((2.0 * (t_0 * F)) * ((A + C) - sqrt((((A - C) ^ 2.0) + (B ^ 2.0)))))) / t_0;
end

Wolfram

code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * A), $MachinePrecision] * C), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[((-N[Sqrt[N[(N[(2.0 * N[(t$95$0 * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(A + C), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(A - C), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]) / t$95$0), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 38.8% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\\ t_1 := 0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)\\ t_2 := \left(4 \cdot A\right) \cdot C\\ t_3 := \frac{\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - t\_2\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{B}^{2} + {\left(A - C\right)}^{2}}\right)}}{t\_2 - {B}^{2}}\\ t_4 := t\_0 \cdot \left(2 \cdot F\right)\\ \mathbf{if}\;t\_3 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2 \cdot t\_0} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;t\_3 \leq -2 \cdot 10^{-199}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right) \cdot t\_4}}{0 - t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{t\_4 \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma B B (* (* A C) -4.0)))
        (t_1 (- 0.0 (fma (* A C) -4.0 (* B B))))
        (t_2 (* (* 4.0 A) C))
        (t_3
         (/
          (sqrt
           (*
            (* 2.0 (* (- (pow B 2.0) t_2) F))
            (- (+ A C) (sqrt (+ (pow B 2.0) (pow (- A C) 2.0))))))
          (- t_2 (pow B 2.0))))
        (t_4 (* t_0 (* 2.0 F))))
   (if (<= t_3 (- INFINITY))
     (/ (* (sqrt (* 2.0 t_0)) (sqrt (* F (+ A A)))) t_1)
     (if (<= t_3 -2e-199)
       (/
        (sqrt (* (- (+ A C) (sqrt (fma (- A C) (- A C) (* B B)))) t_4))
        (- 0.0 t_0))
       (/ (sqrt (* t_4 (+ A (fma (/ (* B B) C) -0.5 A)))) t_1)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = fma(B, B, ((A * C) * -4.0));
	double t_1 = 0.0 - fma((A * C), -4.0, (B * B));
	double t_2 = (4.0 * A) * C;
	double t_3 = sqrt(((2.0 * ((pow(B, 2.0) - t_2) * F)) * ((A + C) - sqrt((pow(B, 2.0) + pow((A - C), 2.0)))))) / (t_2 - pow(B, 2.0));
	double t_4 = t_0 * (2.0 * F);
	double tmp;
	if (t_3 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = (sqrt((2.0 * t_0)) * sqrt((F * (A + A)))) / t_1;
	} else if (t_3 <= -2e-199) {
		tmp = sqrt((((A + C) - sqrt(fma((A - C), (A - C), (B * B)))) * t_4)) / (0.0 - t_0);
	} else {
		tmp = sqrt((t_4 * (A + fma(((B * B) / C), -0.5, A)))) / t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	t_0 = fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0))
	t_1 = Float64(0.0 - fma(Float64(A * C), -4.0, Float64(B * B)))
	t_2 = Float64(Float64(4.0 * A) * C)
	t_3 = Float64(sqrt(Float64(Float64(2.0 * Float64(Float64((B ^ 2.0) - t_2) * F)) * Float64(Float64(A + C) - sqrt(Float64((B ^ 2.0) + (Float64(A - C) ^ 2.0)))))) / Float64(t_2 - (B ^ 2.0)))
	t_4 = Float64(t_0 * Float64(2.0 * F))
	tmp = 0.0
	if (t_3 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(2.0 * t_0)) * sqrt(Float64(F * Float64(A + A)))) / t_1);
	elseif (t_3 <= -2e-199)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(Float64(A + C) - sqrt(fma(Float64(A - C), Float64(A - C), Float64(B * B)))) * t_4)) / Float64(0.0 - t_0));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(t_4 * Float64(A + fma(Float64(Float64(B * B) / C), -0.5, A)))) / t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.0 - N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0 + N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(4.0 * A), $MachinePrecision] * C), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sqrt[N[(N[(2.0 * N[(N[(N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision] * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(A + C), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(A - C), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(t$95$2 - N[Power[B, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$0 * N[(2.0 * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$3, (-Infinity)], N[(N[(N[Sqrt[N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(F * N[(A + A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$3, -2e-199], N[(N[Sqrt[N[(N[(N[(A + C), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[(A - C), $MachinePrecision] * N[(A - C), $MachinePrecision] + N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(t$95$4 * N[(A + N[(N[(N[(B * B), $MachinePrecision] / C), $MachinePrecision] * -0.5 + A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (neg.f64 (sqrt.f64 (*.f64 (*.f64 #s(literal 2 binary64) (*.f64 (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C)) F)) (-.f64 (+.f64 A C) (sqrt.f64 (+.f64 (pow.f64 (-.f64 A C) #s(literal 2 binary64)) (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)))))))) (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C))) < -inf.0

   1. Initial program 3.4%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 21.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 21.2%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot F\right) \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot \left(F \cdot \left(A + A\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 29.9%

      \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right)} \cdot C\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - 4 \cdot \color{blue}{\left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(\color{blue}{A} \cdot C\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot \color{blue}{-4}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4 + \color{blue}{B \cdot B}\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(A \cdot C\right), \color{blue}{-4}, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(C \cdot A\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(C, A\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 29.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(C, A\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 29.9%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(C \cdot A, -4, B \cdot B\right)}} \]

   if -inf.0 < (/.f64 (neg.f64 (sqrt.f64 (*.f64 (*.f64 #s(literal 2 binary64) (*.f64 (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C)) F)) (-.f64 (+.f64 A C) (sqrt.f64 (+.f64 (pow.f64 (-.f64 A C) #s(literal 2 binary64)) (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)))))))) (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C))) < -1.99999999999999996e-199

   1. Initial program 97.3%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)}}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   if -1.99999999999999996e-199 < (/.f64 (neg.f64 (sqrt.f64 (*.f64 (*.f64 #s(literal 2 binary64) (*.f64 (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C)) F)) (-.f64 (+.f64 A C) (sqrt.f64 (+.f64 (pow.f64 (-.f64 A C) #s(literal 2 binary64)) (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)))))))) (-.f64 (pow.f64 B #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) A) C)))

   1. Initial program 4.4%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(\left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right) - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{{B}^{2}}{C} \cdot \frac{-1}{2} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{{B}^{2}}{C}\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({B}^{2}\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(B \cdot B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 13.9%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(2 \cdot F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 13.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 13.9%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)} \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right)} \cdot C\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - 4 \cdot \color{blue}{\left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(\color{blue}{A} \cdot C\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot \color{blue}{-4}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4 + \color{blue}{B \cdot B}\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(A \cdot C\right), \color{blue}{-4}, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 13.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 13.9%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 29.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{B}^{2} + {\left(A - C\right)}^{2}}\right)}}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C - {B}^{2}} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{B}^{2} + {\left(A - C\right)}^{2}}\right)}}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C - {B}^{2}} \leq -2 \cdot 10^{-199}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 29.4% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 1.65 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (if (<= B 1.65e-21)
   (/
    (sqrt
     (*
      (* (fma B B (* (* A C) -4.0)) (* 2.0 F))
      (+ A (fma (/ (* B B) C) -0.5 A))))
    (- 0.0 (fma (* A C) -4.0 (* B B))))
   (* (sqrt (* F (- A (sqrt (fma B B (* A A)))))) (/ (sqrt 2.0) (- 0.0 B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double tmp;
	if (B <= 1.65e-21) {
		tmp = sqrt(((fma(B, B, ((A * C) * -4.0)) * (2.0 * F)) * (A + fma(((B * B) / C), -0.5, A)))) / (0.0 - fma((A * C), -4.0, (B * B)));
	} else {
		tmp = sqrt((F * (A - sqrt(fma(B, B, (A * A)))))) * (sqrt(2.0) / (0.0 - B));
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	tmp = 0.0
	if (B <= 1.65e-21)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0)) * Float64(2.0 * F)) * Float64(A + fma(Float64(Float64(B * B) / C), -0.5, A)))) / Float64(0.0 - fma(Float64(A * C), -4.0, Float64(B * B))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(F * Float64(A - sqrt(fma(B, B, Float64(A * A)))))) * Float64(sqrt(2.0) / Float64(0.0 - B)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := If[LessEqual[B, 1.65e-21], N[(N[Sqrt[N[(N[(N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(A + N[(N[(N[(B * B), $MachinePrecision] / C), $MachinePrecision] * -0.5 + A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.0 - N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0 + N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(F * N[(A - N[Sqrt[N[(B * B + N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] / N[(0.0 - B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 1.65000000000000004e-21

   1. Initial program 20.6%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(\left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right) - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{{B}^{2}}{C} \cdot \frac{-1}{2} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{{B}^{2}}{C}\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({B}^{2}\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(B \cdot B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 19.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(2 \cdot F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 19.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)} \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right)} \cdot C\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - 4 \cdot \color{blue}{\left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(\color{blue}{A} \cdot C\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot \color{blue}{-4}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4 + \color{blue}{B \cdot B}\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(A \cdot C\right), \color{blue}{-4}, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 19.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}} \]

   if 1.65000000000000004e-21 < B

   1. Initial program 10.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B}\right)\right)} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{B}}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right)}\right) \]

   5. Simplified 16.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{B}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 18.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 1.65 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 29.5% accurate, 6.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 6 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (if (<= B 6e-23)
   (/
    (sqrt (* (+ A A) (* (fma B B (* (* A C) -4.0)) (* 2.0 F))))
    (- 0.0 (fma (* A C) -4.0 (* B B))))
   (* (sqrt (* F (- A (sqrt (fma B B (* A A)))))) (/ (sqrt 2.0) (- 0.0 B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double tmp;
	if (B <= 6e-23) {
		tmp = sqrt(((A + A) * (fma(B, B, ((A * C) * -4.0)) * (2.0 * F)))) / (0.0 - fma((A * C), -4.0, (B * B)));
	} else {
		tmp = sqrt((F * (A - sqrt(fma(B, B, (A * A)))))) * (sqrt(2.0) / (0.0 - B));
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	tmp = 0.0
	if (B <= 6e-23)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(A + A) * Float64(fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0)) * Float64(2.0 * F)))) / Float64(0.0 - fma(Float64(A * C), -4.0, Float64(B * B))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(F * Float64(A - sqrt(fma(B, B, Float64(A * A)))))) * Float64(sqrt(2.0) / Float64(0.0 - B)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := If[LessEqual[B, 6e-23], N[(N[Sqrt[N[(N[(A + A), $MachinePrecision] * N[(N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.0 - N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0 + N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(F * N[(A - N[Sqrt[N[(B * B + N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] / N[(0.0 - B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 6.00000000000000006e-23

   1. Initial program 20.7%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(\left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right) - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(A + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{B}^{2}}{C} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \left(\frac{{B}^{2}}{C} \cdot \frac{-1}{2} + A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{{B}^{2}}{C}\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({B}^{2}\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(B \cdot B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 19.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot F\right) \cdot 2\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(F \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \left(2 \cdot F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 19.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)} \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right)} \cdot C\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B - 4 \cdot \color{blue}{\left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(\color{blue}{A} \cdot C\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot \color{blue}{-4}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4 + \color{blue}{B \cdot B}\right)\right) \]

      7. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(A \cdot C\right), \color{blue}{-4}, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 19.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, B\right), C\right), \frac{-1}{2}, A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 19.5%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \mathsf{fma}\left(\frac{B \cdot B}{C}, -0.5, A\right)\right)}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}} \]

   10. Taylor expanded in B around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, \color{blue}{A}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

   12. Simplified 18.0%

       \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right) \cdot \left(A + \color{blue}{A}\right)}}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)} \]

   if 6.00000000000000006e-23 < B

   1. Initial program 10.8%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B}\right)\right)} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{B}}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right)}\right) \]

   5. Simplified 16.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{B}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 17.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 6 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(2 \cdot F\right)\right)}}{0 - \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 29.5% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)\\ \mathbf{if}\;B \leq 7.8 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 \cdot \left(A \cdot F\right)} \cdot \frac{0 - 2}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma (* A C) -4.0 (* B B))))
   (if (<= B 7.8e-28)
     (* (sqrt (* t_0 (* A F))) (/ (- 0.0 2.0) t_0))
     (*
      (sqrt (* F (- A (sqrt (fma B B (* A A))))))
      (/ (sqrt 2.0) (- 0.0 B))))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = fma((A * C), -4.0, (B * B));
	double tmp;
	if (B <= 7.8e-28) {
		tmp = sqrt((t_0 * (A * F))) * ((0.0 - 2.0) / t_0);
	} else {
		tmp = sqrt((F * (A - sqrt(fma(B, B, (A * A)))))) * (sqrt(2.0) / (0.0 - B));
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	t_0 = fma(Float64(A * C), -4.0, Float64(B * B))
	tmp = 0.0
	if (B <= 7.8e-28)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(t_0 * Float64(A * F))) * Float64(Float64(0.0 - 2.0) / t_0));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(F * Float64(A - sqrt(fma(B, B, Float64(A * A)))))) * Float64(sqrt(2.0) / Float64(0.0 - B)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0 + N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[B, 7.8e-28], N[(N[Sqrt[N[(t$95$0 * N[(A * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - 2.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(F * N[(A - N[Sqrt[N[(B * B + N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] / N[(0.0 - B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 7.79999999999999998e-28

   1. Initial program 20.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 17.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 17.6%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot F\right) \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right) \cdot \left(F \cdot \left(A + A\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(2 \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 12.7%

      \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]

   8. Taylor expanded in F around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{A \cdot \left(F \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{A \cdot \left(F \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{A \cdot \left(F \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{A \cdot \left(F \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(A \cdot \left(F \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(A \cdot F\right) \cdot \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot F\right), \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(F \cdot A\right), \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{2}\right)}}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \left(-4 \cdot \left(A \cdot C\right) + {B}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{2}\right)}}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \left(\left(A \cdot C\right) \cdot -4 + {B}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      10. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(A \cdot C\right), -4, \left({B}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{\color{blue}{2}}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \left({B}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \left(B \cdot B\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

      14. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^{2}}{{B}^{2} - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 17.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(F \cdot A\right) \cdot \mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)} \cdot \left(-\frac{2}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\right)} \]

   if 7.79999999999999998e-28 < B

   1. Initial program 10.5%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B}\right)\right)} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{B}}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right)}\right) \]

   5. Simplified 16.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{B}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 17.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 7.8 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right) \cdot \left(A \cdot F\right)} \cdot \frac{0 - 2}{\mathsf{fma}\left(A \cdot C, -4, B \cdot B\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 19.3% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}\\ \mathbf{if}\;B \leq 2.35 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\left(\left(A \cdot A\right) \cdot -16\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}\\ \mathbf{elif}\;B \leq 4 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(F \cdot \left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ -1.0 (fma B B (* (* A C) -4.0)))))
   (if (<= B 2.35e-23)
     (* t_0 (sqrt (* (* (* A A) -16.0) (* C F))))
     (if (<= B 4e+96)
       (* t_0 (sqrt (* -2.0 (* F (* B (* B B))))))
       (/ (* -2.0 (sqrt (* A F))) B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = -1.0 / fma(B, B, ((A * C) * -4.0));
	double tmp;
	if (B <= 2.35e-23) {
		tmp = t_0 * sqrt((((A * A) * -16.0) * (C * F)));
	} else if (B <= 4e+96) {
		tmp = t_0 * sqrt((-2.0 * (F * (B * (B * B)))));
	} else {
		tmp = (-2.0 * sqrt((A * F))) / B;
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	t_0 = Float64(-1.0 / fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0)))
	tmp = 0.0
	if (B <= 2.35e-23)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(Float64(Float64(A * A) * -16.0) * Float64(C * F))));
	elseif (B <= 4e+96)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(-2.0 * Float64(F * Float64(B * Float64(B * B))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(A * F))) / B);
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 / N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[B, 2.35e-23], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(N[(N[(A * A), $MachinePrecision] * -16.0), $MachinePrecision] * N[(C * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[B, 4e+96], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[(F * N[(B * N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(A * F), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / B), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if B < 2.35e-23

   1. Initial program 20.7%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 20.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-8 \cdot \left(A \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-8 \cdot A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(-1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(\mathsf{neg}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 17.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \mathsf{neg.f64}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 17.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - \left(-A\right)\right)\right)\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   8. Taylor expanded in A around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-16 \cdot \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(-16 \cdot {A}^{2}\right) \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-16 \cdot {A}^{2}\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left({A}^{2}\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left(A \cdot A\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(A, A\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 12.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(A, A\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(C, F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 12.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-16 \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 2.35e-23 < B < 4.0000000000000002e96

   1. Initial program 26.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 26.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in B around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot \left({B}^{3} \cdot F\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({B}^{3} \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({B}^{3}\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot {B}^{2}\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \left({B}^{2}\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \left(B \cdot B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 28.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 28.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-2 \cdot \left(\left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right) \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 4.0000000000000002e96 < B

   1. Initial program 3.0%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 2.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 2.4%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot {\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2}\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A + A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left(\sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{F \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]

   8. Taylor expanded in B around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}}{B}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}\right), \color{blue}{B}\right) \]

   10. Simplified 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(\sqrt{A \cdot F} + \frac{\left(\sqrt{\left(A \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot F} \cdot C\right) \cdot 2}{B \cdot B}\right)}{B}} \]

   11. Taylor expanded in A around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\sqrt{A \cdot F}\right)}\right), B\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(A \cdot F\right)\right)\right), B\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot A\right)\right)\right), B\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 7.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right)\right)\right), B\right) \]

   13. Simplified 7.9%

       \[\leadsto \frac{-2 \cdot \color{blue}{\sqrt{F \cdot A}}}{B} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 12.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 2.35 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{\left(\left(A \cdot A\right) \cdot -16\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}\\ \mathbf{elif}\;B \leq 4 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(F \cdot \left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 19.8% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}\\ \mathbf{if}\;B \leq 6 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{-16 \cdot \left(F \cdot \left(C \cdot \left(A \cdot A\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;B \leq 6.5 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(F \cdot \left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ -1.0 (fma B B (* (* A C) -4.0)))))
   (if (<= B 6e-24)
     (* t_0 (sqrt (* -16.0 (* F (* C (* A A))))))
     (if (<= B 6.5e+95)
       (* t_0 (sqrt (* -2.0 (* F (* B (* B B))))))
       (/ (* -2.0 (sqrt (* A F))) B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double t_0 = -1.0 / fma(B, B, ((A * C) * -4.0));
	double tmp;
	if (B <= 6e-24) {
		tmp = t_0 * sqrt((-16.0 * (F * (C * (A * A)))));
	} else if (B <= 6.5e+95) {
		tmp = t_0 * sqrt((-2.0 * (F * (B * (B * B)))));
	} else {
		tmp = (-2.0 * sqrt((A * F))) / B;
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	t_0 = Float64(-1.0 / fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0)))
	tmp = 0.0
	if (B <= 6e-24)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(-16.0 * Float64(F * Float64(C * Float64(A * A))))));
	elseif (B <= 6.5e+95)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(-2.0 * Float64(F * Float64(B * Float64(B * B))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(A * F))) / B);
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 / N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[B, 6e-24], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(-16.0 * N[(F * N[(C * N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[B, 6.5e+95], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[(F * N[(B * N[(B * B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(A * F), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / B), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if B < 5.99999999999999991e-24

   1. Initial program 20.7%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 20.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in A around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-16 \cdot \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left(\left({A}^{2} \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\left({A}^{2} \cdot C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({A}^{2}\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot A\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 11.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, A\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 11.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-16 \cdot \left(\left(\left(A \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 5.99999999999999991e-24 < B < 6.5e95

   1. Initial program 26.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 26.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in B around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot \left({B}^{3} \cdot F\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({B}^{3} \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({B}^{3}\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(B \cdot {B}^{2}\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \left({B}^{2}\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \left(B \cdot B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 28.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(B, \mathsf{*.f64}\left(B, B\right)\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 28.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-2 \cdot \left(\left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right) \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 6.5e95 < B

   1. Initial program 3.0%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 2.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 2.4%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot {\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2}\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A + A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left(\sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{F \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]

   8. Taylor expanded in B around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}}{B}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}\right), \color{blue}{B}\right) \]

   10. Simplified 1.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(\sqrt{A \cdot F} + \frac{\left(\sqrt{\left(A \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot F} \cdot C\right) \cdot 2}{B \cdot B}\right)}{B}} \]

   11. Taylor expanded in A around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\sqrt{A \cdot F}\right)}\right), B\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(A \cdot F\right)\right)\right), B\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot A\right)\right)\right), B\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 7.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right)\right)\right), B\right) \]

   13. Simplified 7.9%

       \[\leadsto \frac{-2 \cdot \color{blue}{\sqrt{F \cdot A}}}{B} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 12.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 6 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{-16 \cdot \left(F \cdot \left(C \cdot \left(A \cdot A\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;B \leq 6.5 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(F \cdot \left(B \cdot \left(B \cdot B\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 27.1% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 7.2 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(A \cdot -8\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A + A\right)\right)\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (if (<= B 7.2e-28)
   (*
    (sqrt (* (* A -8.0) (* C (* F (+ A A)))))
    (/ -1.0 (fma B B (* (* A C) -4.0))))
   (* (sqrt (* F (- A (sqrt (fma B B (* A A)))))) (/ (sqrt 2.0) (- 0.0 B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double tmp;
	if (B <= 7.2e-28) {
		tmp = sqrt(((A * -8.0) * (C * (F * (A + A))))) * (-1.0 / fma(B, B, ((A * C) * -4.0)));
	} else {
		tmp = sqrt((F * (A - sqrt(fma(B, B, (A * A)))))) * (sqrt(2.0) / (0.0 - B));
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	tmp = 0.0
	if (B <= 7.2e-28)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(A * -8.0) * Float64(C * Float64(F * Float64(A + A))))) * Float64(-1.0 / fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(F * Float64(A - sqrt(fma(B, B, Float64(A * A)))))) * Float64(sqrt(2.0) / Float64(0.0 - B)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := If[LessEqual[B, 7.2e-28], N[(N[Sqrt[N[(N[(A * -8.0), $MachinePrecision] * N[(C * N[(F * N[(A + A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(F * N[(A - N[Sqrt[N[(B * B + N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] / N[(0.0 - B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 7.1999999999999997e-28

   1. Initial program 20.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 20.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-8 \cdot \left(A \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-8 \cdot A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(-1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(\mathsf{neg}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 17.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \mathsf{neg.f64}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 17.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - \left(-A\right)\right)\right)\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 7.1999999999999997e-28 < B

   1. Initial program 10.5%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B}\right)\right)} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{B}}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right)}\right) \]

   5. Simplified 16.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{B}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 16.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 7.2 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(A \cdot -8\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A + A\right)\right)\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 20.7% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 4.5 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{\left(\left(A \cdot A\right) \cdot -16\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (if (<= B 4.5e-25)
   (* (/ -1.0 (fma B B (* (* A C) -4.0))) (sqrt (* (* (* A A) -16.0) (* C F))))
   (* (sqrt (* F (- A (sqrt (fma B B (* A A)))))) (/ (sqrt 2.0) (- 0.0 B)))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double tmp;
	if (B <= 4.5e-25) {
		tmp = (-1.0 / fma(B, B, ((A * C) * -4.0))) * sqrt((((A * A) * -16.0) * (C * F)));
	} else {
		tmp = sqrt((F * (A - sqrt(fma(B, B, (A * A)))))) * (sqrt(2.0) / (0.0 - B));
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	tmp = 0.0
	if (B <= 4.5e-25)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 / fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0))) * sqrt(Float64(Float64(Float64(A * A) * -16.0) * Float64(C * F))));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(F * Float64(A - sqrt(fma(B, B, Float64(A * A)))))) * Float64(sqrt(2.0) / Float64(0.0 - B)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := If[LessEqual[B, 4.5e-25], N[(N[(-1.0 / N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(N[(A * A), $MachinePrecision] * -16.0), $MachinePrecision] * N[(C * F), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(F * N[(A - N[Sqrt[N[(B * B + N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] / N[(0.0 - B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 4.5000000000000001e-25

   1. Initial program 20.7%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 20.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-8 \cdot \left(A \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-8 \cdot A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \left(F \cdot \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \left(A - -1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(-1 \cdot A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \left(\mathsf{neg}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 17.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-8, A\right), \mathsf{*.f64}\left(C, \mathsf{*.f64}\left(F, \mathsf{\_.f64}\left(A, \mathsf{neg.f64}\left(A\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 17.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-8 \cdot A\right) \cdot \left(C \cdot \left(F \cdot \left(A - \left(-A\right)\right)\right)\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   8. Taylor expanded in A around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-16 \cdot \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(-16 \cdot {A}^{2}\right) \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-16 \cdot {A}^{2}\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left({A}^{2}\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left(A \cdot A\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(A, A\right)\right), \left(C \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 12.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(A, A\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(C, F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 12.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-16 \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 4.5000000000000001e-25 < B

   1. Initial program 10.8%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B} \cdot \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\sqrt{2}}{B}\right)\right)} \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{B}}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{{A}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{B}\right)}\right) \]

   5. Simplified 16.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{B}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 13.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 4.5 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{\left(\left(A \cdot A\right) \cdot -16\right) \cdot \left(C \cdot F\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{F \cdot \left(A - \sqrt{\mathsf{fma}\left(B, B, A \cdot A\right)}\right)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{0 - B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 18.3% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 9.5 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{-16 \cdot \left(F \cdot \left(C \cdot \left(A \cdot A\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F)
 :precision binary64
 (if (<= B 9.5e-23)
   (* (/ -1.0 (fma B B (* (* A C) -4.0))) (sqrt (* -16.0 (* F (* C (* A A))))))
   (/ (* -2.0 (sqrt (* A F))) B)))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	double tmp;
	if (B <= 9.5e-23) {
		tmp = (-1.0 / fma(B, B, ((A * C) * -4.0))) * sqrt((-16.0 * (F * (C * (A * A)))));
	} else {
		tmp = (-2.0 * sqrt((A * F))) / B;
	}
	return tmp;
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	tmp = 0.0
	if (B <= 9.5e-23)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 / fma(B, B, Float64(Float64(A * C) * -4.0))) * sqrt(Float64(-16.0 * Float64(F * Float64(C * Float64(A * A))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(A * F))) / B);
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := If[LessEqual[B, 9.5e-23], N[(N[(-1.0 / N[(B * B + N[(N[(A * C), $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(-16.0 * N[(F * N[(C * N[(A * A), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(A * F), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / B), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if B < 9.50000000000000058e-23

   1. Initial program 20.6%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)}} \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)} \]

      4. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)}\right)} \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)} \cdot \frac{-1}{{B}^{2} - \color{blue}{\left(4 \cdot A\right) \cdot C}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C}\right)}\right) \]

   4. Applied egg-rr 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right) \cdot \left(F \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{\mathsf{fma}\left(A - C, A - C, B \cdot B\right)}\right)} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}} \]

   5. Taylor expanded in A around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-16 \cdot \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left({A}^{2} \cdot \left(C \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \left(\left({A}^{2} \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\left({A}^{2} \cdot C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({A}^{2}\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A \cdot A\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 11.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-16, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, A\right), C\right), F\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{fma.f64}\left(B, B, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(A, C\right), -4\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 11.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-16 \cdot \left(\left(\left(A \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}} \cdot \frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \]

   if 9.50000000000000058e-23 < B

   1. Initial program 10.9%

      \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in C around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 2.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 2.1%

      \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot {\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2}\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A + A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left(\sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      12. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      14. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 1.6%

      \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{F \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]

   8. Taylor expanded in B around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}}{B}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}\right), \color{blue}{B}\right) \]

   10. Simplified 1.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(\sqrt{A \cdot F} + \frac{\left(\sqrt{\left(A \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot F} \cdot C\right) \cdot 2}{B \cdot B}\right)}{B}} \]

   11. Taylor expanded in A around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\sqrt{A \cdot F}\right)}\right), B\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(A \cdot F\right)\right)\right), B\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot A\right)\right)\right), B\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 7.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right)\right)\right), B\right) \]

   13. Simplified 7.7%

       \[\leadsto \frac{-2 \cdot \color{blue}{\sqrt{F \cdot A}}}{B} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 10.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;B \leq 9.5 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{-16 \cdot \left(F \cdot \left(C \cdot \left(A \cdot A\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 5.1% accurate, 15.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F) :precision binary64 (/ (* -2.0 (sqrt (* A F))) B))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	return (-2.0 * sqrt((A * F))) / B;
}

Fortran

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(a, b, c, f)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8), intent (in) :: f
    code = ((-2.0d0) * sqrt((a * f))) / b
end function

Java

assert A < B && B < C && C < F;
public static double code(double A, double B, double C, double F) {
	return (-2.0 * Math.sqrt((A * F))) / B;
}

Python

[A, B, C, F] = sort([A, B, C, F])
def code(A, B, C, F):
	return (-2.0 * math.sqrt((A * F))) / B

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	return Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(A * F))) / B)
end

MATLAB

A, B, C, F = num2cell(sort([A, B, C, F])){:}
function tmp = code(A, B, C, F)
	tmp = (-2.0 * sqrt((A * F))) / B;
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(A * F), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / B), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.3%

   \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in C around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \color{blue}{\left(A - -1 \cdot A\right)}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + 1 \cdot A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \left(A + A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 14.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right), F\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(A, A\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

5. Simplified 14.2%

   \[\leadsto \frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(A + A\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   3. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   4. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot {\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2}\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{B}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(A + A\right) \cdot 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(A + A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left({\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   9. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \left(\sqrt{\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   12. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B - 4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   14. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + -4 \cdot \left(A \cdot C\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(A, A\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, \left(B \cdot B + \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(B, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, A\right), C\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 5.1%

   \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\sqrt{\left(A + A\right) \cdot 2} \cdot \sqrt{F \cdot \mathsf{fma}\left(B, B, \left(A \cdot C\right) \cdot -4\right)}}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]

8. Taylor expanded in B around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}}{B}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \sqrt{A \cdot F} + -2 \cdot \frac{-2 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right) + 4 \cdot \left(\sqrt{{A}^{3} \cdot F} \cdot C\right)}{{B}^{2}}\right), \color{blue}{B}\right) \]

10. Simplified 1.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(\sqrt{A \cdot F} + \frac{\left(\sqrt{\left(A \cdot \left(A \cdot A\right)\right) \cdot F} \cdot C\right) \cdot 2}{B \cdot B}\right)}{B}} \]

11. Taylor expanded in A around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\sqrt{A \cdot F}\right)}\right), B\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(A \cdot F\right)\right)\right), B\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot A\right)\right)\right), B\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 3.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(F, A\right)\right)\right), B\right) \]

13. Simplified 3.0%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot \color{blue}{\sqrt{F \cdot A}}}{B} \]

14. Final simplification 3.0%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot \sqrt{A \cdot F}}{B} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 3.2% accurate, 16.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \sqrt{\left|\mathsf{fma}\left(2, \frac{F}{B}, 0\right)\right|} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F) :precision binary64 (sqrt (fabs (fma 2.0 (/ F B) 0.0))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	return sqrt(fabs(fma(2.0, (F / B), 0.0)));
}

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	return sqrt(abs(fma(2.0, Float64(F / B), 0.0)))
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := N[Sqrt[N[Abs[N[(2.0 * N[(F / B), $MachinePrecision] + 0.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.3%

   \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in B around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{F}{B}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{F}{B}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{-1}\right)}}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left(-1 \cdot \sqrt{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\sqrt{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 2.0%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto 0 - \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{F}{B}}} \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto 0 - \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{F}{B}}} \]

   3. cancel-sign-sub N/A

      \[\leadsto 0 + \color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right) \]

   5. sqrt-unprod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{2 \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   7. sqr-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   11. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   14. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(0 + \sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) + 0\right)}\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) + 0 \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0 + \sqrt{\mathsf{fma}\left(2, \frac{F}{B}, 0\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{2 \cdot \frac{F}{B} + 0} \]

   2. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{2 \cdot \frac{F}{B}} \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{F}{B}\right)\right) \]

   4. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{F}{B} + 0\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot F}{B} + 0\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{F \cdot 2}{B} + 0\right)\right) \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \frac{2}{B} + 0\right)\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(F, \left(\frac{2}{B}\right), 0\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 2.0%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(F, \mathsf{/.f64}\left(2, B\right), 0\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(F, \frac{2}{B}, 0\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. flip3-+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) + \left(0 \cdot 0 - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0\right)}\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) + \left(0 - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0\right)}\right)\right) \]

    3. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) + 0\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(0\right)\right)\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    5. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - 0\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    6. --rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    7. +-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B} + 0\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B} + \left(\mathsf{neg}\left(0\right)\right)\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - \left(F \cdot \frac{2}{B} - 0\right) \cdot 0}\right)\right) \]

    10. mul0-rgt N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right) - 0}\right)\right) \]

    11. --rgt-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}^{3} + {0}^{3}}{\left(F \cdot \frac{2}{B}\right) \cdot \left(F \cdot \frac{2}{B}\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 3.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left|\mathsf{fma}\left(2, \frac{F}{B}, 0\right)\right|}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 2.0% accurate, 18.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [A, B, C, F] = \mathsf{sort}([A, B, C, F])\\ \\ \sqrt{F \cdot \frac{2}{B}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (A B C F) :precision binary64 (sqrt (* F (/ 2.0 B))))

C

assert(A < B && B < C && C < F);
double code(double A, double B, double C, double F) {
	return sqrt((F * (2.0 / B)));
}

Fortran

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(a, b, c, f)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8), intent (in) :: f
    code = sqrt((f * (2.0d0 / b)))
end function

Java

assert A < B && B < C && C < F;
public static double code(double A, double B, double C, double F) {
	return Math.sqrt((F * (2.0 / B)));
}

Python

[A, B, C, F] = sort([A, B, C, F])
def code(A, B, C, F):
	return math.sqrt((F * (2.0 / B)))

Julia

A, B, C, F = sort([A, B, C, F])
function code(A, B, C, F)
	return sqrt(Float64(F * Float64(2.0 / B)))
end

MATLAB

A, B, C, F = num2cell(sort([A, B, C, F])){:}
function tmp = code(A, B, C, F)
	tmp = sqrt((F * (2.0 / B)));
end

Wolfram

NOTE: A, B, C, and F should be sorted in increasing order before calling this function.
code[A_, B_, C_, F_] := N[Sqrt[N[(F * N[(2.0 / B), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 18.3%

   \[\frac{-\sqrt{\left(2 \cdot \left(\left({B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C\right) \cdot F\right)\right) \cdot \left(\left(A + C\right) - \sqrt{{\left(A - C\right)}^{2} + {B}^{2}}\right)}}{{B}^{2} - \left(4 \cdot A\right) \cdot C} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in B around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{F}{B}}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{F}{B}\right)\right), \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{-1}\right)}}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \left(-1 \cdot \sqrt{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\sqrt{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 2.0%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(F, B\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto 0 - \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{F}{B}}} \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto 0 - \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{F}{B}}} \]

   3. cancel-sign-sub N/A

      \[\leadsto 0 + \color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right) \]

   5. sqrt-unprod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{2 \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   6. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   7. sqr-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{2}\right)\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \frac{F}{B}}\right)\right) \]

   10. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   11. swap-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{F}{B}}\right)}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   14. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(0 + \sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right) + 0\right)}\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(0, \left(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right) + 0 \cdot \left(\sqrt{\frac{F}{B}} \cdot \left(-1 \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0 + \sqrt{\mathsf{fma}\left(2, \frac{F}{B}, 0\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{2 \cdot \frac{F}{B} + 0} \]

   2. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{2 \cdot \frac{F}{B}} \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{F}{B}\right)\right) \]

   4. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{F}{B} + 0\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot F}{B} + 0\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{F \cdot 2}{B} + 0\right)\right) \]

   7. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \frac{2}{B} + 0\right)\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(F, \left(\frac{2}{B}\right), 0\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 2.0%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(F, \mathsf{/.f64}\left(2, B\right), 0\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 2.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(F, \frac{2}{B}, 0\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(F \cdot \frac{2}{B}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{2}{B} \cdot F\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{B}\right), F\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 2.0%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, B\right), F\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 2.0%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{2}{B} \cdot F}} \]

12. Final simplification 2.0%

    \[\leadsto \sqrt{F \cdot \frac{2}{B}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024193 
(FPCore (A B C F)
  :name "ABCF->ab-angle b"
  :precision binary64
  (/ (- (sqrt (* (* 2.0 (* (- (pow B 2.0) (* (* 4.0 A) C)) F)) (- (+ A C) (sqrt (+ (pow (- A C) 2.0) (pow B 2.0))))))) (- (pow B 2.0) (* (* 4.0 A) C))))