Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 16.8s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\pi \cdot \frac{1}{s}}}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (fma
      (+
       (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))
       (/ -1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))
      u
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (* PI (/ 1.0 s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / fmaf(((1.0f / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))))) + (-1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s))))), u, (1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) * (1.0f / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / fma(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))), u, Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(1.0) / s))))))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot u + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u, \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), u, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), u, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{1}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), u, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), u, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), u, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\color{blue}{\frac{1}{s} \cdot \pi}}}\right)} - 1\right) \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\pi \cdot \frac{1}{s}}}\right)}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{t\_0}, u, \frac{1}{t\_0}\right)}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      -1.0
      (/
       1.0
       (fma
        (+ (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s))))) (/ -1.0 t_0))
        u
        (/ 1.0 t_0))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f + expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / fmaf(((1.0f / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))))) + (-1.0f / t_0)), u, (1.0f / t_0)))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / fma(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(-1.0) / t_0)), u, Float32(Float32(1.0) / t_0))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot u + \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u, \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{-\frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}} - 1\right) \]

5. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{-1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, u, \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (/ u (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u / (single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u}{1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 85.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-1}{\frac{1}{s}} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 + \left(-1 + \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + \left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (/ -1.0 (/ 1.0 s))
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (*
       u
       (+
        (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))
        (/ 1.0 (+ -1.0 (+ -1.0 (/ (fma -0.5 (/ (* PI PI) s) (- PI)) s))))))
      (/ 1.0 (+ 1.0 (+ 1.0 (/ PI s))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return (-1.0f / (1.0f / s)) * logf((-1.0f + (1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))))) + (1.0f / (-1.0f + (-1.0f + (fmaf(-0.5f, ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) / s), -((float) M_PI)) / s)))))) + (1.0f / (1.0f + (1.0f + (((float) M_PI) / s))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(1.0) / s)) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) + Float32(fma(Float32(-0.5), Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) / s), Float32(-Float32(pi))) / s)))))) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(pi) / s)))))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s} + -1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   13. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{\frac{1}{s}}} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \left(1 - \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

8. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{/.f32}\left(1, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{/.f32}\left(1, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{/.f32}\left(1, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 84.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{/.f32}\left(1, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 84.1%

    \[\leadsto \frac{-1}{\frac{1}{s}} \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + \left(1 - \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + \color{blue}{\left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}} - 1\right) \]

11. Final simplification 84.1%

    \[\leadsto \frac{-1}{\frac{1}{s}} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1}{-1 + \left(-1 + \frac{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\pi \cdot \pi}{s}, -\pi\right)}{s}\right)}\right) + \frac{1}{1 + \left(1 + \frac{\pi}{s}\right)}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 25.0% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(4, \frac{\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)}{s}, 1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (fma 4.0 (/ (* PI (fma -0.5 u 0.25)) s) 1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(fmaf(4.0f, ((((float) M_PI) * fmaf(-0.5f, u, 0.25f)) / s), 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(fma(Float32(4.0), Float32(Float32(Float32(pi) * fma(Float32(-0.5), u, Float32(0.25))) / s), Float32(1.0))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 5.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

5. Simplified 5.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{s}} + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

6. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s} + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 1\right)\right)\right) \]

   4. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), 1\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot u + \frac{1}{4}\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

   12. accelerator-lowering-fma.f32 25.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(4, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{fma.f32}\left(\frac{-1}{2}, u, \frac{1}{4}\right)\right), s\right), 1\right)\right)\right) \]

8. Simplified 25.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(4, \frac{\pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right)}{s}, 1\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 11.5% accurate, 15.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(s \cdot -4, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (/ (fma (* s -4.0) (* PI (fma -0.5 u 0.25)) 0.0) s))

C

float code(float u, float s) {
	return fmaf((s * -4.0f), (((float) M_PI) * fmaf(-0.5f, u, 0.25f)), 0.0f) / s;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(fma(Float32(s * Float32(-4.0)), Float32(Float32(pi) * fma(Float32(-0.5), u, Float32(0.25))), Float32(0.0)) / s)
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 10.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4\right)} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4 \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}{s}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(-4 \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{s}\right) \]

8. Simplified 12.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-4 \cdot s, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s}} \]

9. Final simplification 12.9%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(s \cdot -4, \pi \cdot \mathsf{fma}\left(-0.5, u, 0.25\right), 0\right)}{s} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 11.5% accurate, 20.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \frac{\pi}{u}\right) \cdot \left(-u\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (fma PI -2.0 (/ PI u)) (- u)))

C

float code(float u, float s) {
	return fmaf(((float) M_PI), -2.0f, (((float) M_PI) / u)) * -u;
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(fma(Float32(pi), Float32(-2.0), Float32(Float32(pi) / u)) * Float32(-u))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 10.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4\right)} \]

7. Applied egg-rr 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0}{s} + 4 \cdot \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right)}{\frac{0}{\mathsf{fma}\left(s, s, 0\right)} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right), \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right) \cdot 16, 0\right)}}} \]

8. Taylor expanded in u around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(u \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(u \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{u \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)} \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\left(u \cdot \left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \color{blue}{\left(-2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2 + \frac{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{u}\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 12.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 12.9%

    \[\leadsto \color{blue}{0 - u \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \frac{\pi}{u}\right)} \]

11. Final simplification 12.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\pi, -2, \frac{\pi}{u}\right) \cdot \left(-u\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 11.5% accurate, 42.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot \mathsf{fma}\left(2, u, -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* PI (fma 2.0 u -1.0)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((float) M_PI) * fmaf(2.0f, u, -1.0f);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(pi) * fma(Float32(2.0), u, Float32(-1.0)))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 10.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4\right)} \]

7. Applied egg-rr 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0}{s} + 4 \cdot \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right)}{\frac{0}{\mathsf{fma}\left(s, s, 0\right)} - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right), \mathsf{fma}\left(u, \pi \cdot -0.5, \pi \cdot 0.25\right) \cdot 16, 0\right)}}} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot u\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{-1} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) \]

   3. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot u + -1\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 \cdot u + -1\right)}\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2 \cdot u} + -1\right)\right) \]

   6. accelerator-lowering-fma.f32 12.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{fma.f32}\left(2, \color{blue}{u}, -1\right)\right) \]

10. Simplified 12.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot \mathsf{fma}\left(2, u, -1\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 11.3% accurate, 170.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 12.8%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 10.3% accurate, 510.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 0.0)

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -2 \cdot \left(-8 \cdot {\left(u \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + -4 \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{1}{8} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{s}} \]

5. Simplified 10.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -16, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right), 16, 0\right)\right)}{s}, \mathsf{fma}\left(\pi, 0.25, u \cdot \left(\pi \cdot -0.5\right)\right) \cdot -4\right)} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}{s}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(-16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + 16 \cdot {\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}{\color{blue}{s}} \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} \cdot \left(-16 + 16\right)\right)}{s} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} \cdot 0\right)}{s} \]

   4. mul0-rgt N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot 0}{s} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{0}{s} \]

   6. /-lowering-/.f32 10.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(0, \color{blue}{s}\right) \]

8. Simplified 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0}{s}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. div0 10.1%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 10.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024193 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))