Henrywood and Agarwal, Equation (12)

Percentage Accurate: 66.4% → 79.1%

Time: 25.2s

Alternatives: 27

Speedup: 2.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (d h l M D)
 :precision binary64
 (*
  (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0)))
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))

C

double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Fortran

real(8) function code(d, h, l, m, d_1)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: d_1
    code = (((d / h) ** (1.0d0 / 2.0d0)) * ((d / l) ** (1.0d0 / 2.0d0))) * (1.0d0 - (((1.0d0 / 2.0d0) * (((m * d_1) / (2.0d0 * d)) ** 2.0d0)) * (h / l)))
end function

Java

public static double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (Math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * Math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * Math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Python

def code(d, h, l, M, D):
	return (math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)))

Julia

function code(d, h, l, M, D)
	return Float64(Float64((Float64(d / h) ^ Float64(1.0 / 2.0)) * (Float64(d / l) ^ Float64(1.0 / 2.0))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * (Float64(Float64(M * D) / Float64(2.0 * d)) ^ 2.0)) * Float64(h / l))))
end

MATLAB

function tmp = code(d, h, l, M, D)
	tmp = (((d / h) ^ (1.0 / 2.0)) * ((d / l) ^ (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * (((M * D) / (2.0 * d)) ^ 2.0)) * (h / l)));
end

Wolfram

code[d_, h_, l_, M_, D_] := N[(N[(N[Power[N[(d / h), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(d / l), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(M * D), $MachinePrecision] / N[(2.0 * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(h / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 66.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (d h l M D)
 :precision binary64
 (*
  (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0)))
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))

C

double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Fortran

real(8) function code(d, h, l, m, d_1)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: d_1
    code = (((d / h) ** (1.0d0 / 2.0d0)) * ((d / l) ** (1.0d0 / 2.0d0))) * (1.0d0 - (((1.0d0 / 2.0d0) * (((m * d_1) / (2.0d0 * d)) ** 2.0d0)) * (h / l)))
end function

Java

public static double code(double d, double h, double l, double M, double D) {
	return (Math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * Math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * Math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)));
}

Python

def code(d, h, l, M, D):
	return (math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * math.pow(((M * D) / (2.0 * d)), 2.0)) * (h / l)))

Julia

function code(d, h, l, M, D)
	return Float64(Float64((Float64(d / h) ^ Float64(1.0 / 2.0)) * (Float64(d / l) ^ Float64(1.0 / 2.0))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * (Float64(Float64(M * D) / Float64(2.0 * d)) ^ 2.0)) * Float64(h / l))))
end

MATLAB

function tmp = code(d, h, l, M, D)
	tmp = (((d / h) ^ (1.0 / 2.0)) * ((d / l) ^ (1.0 / 2.0))) * (1.0 - (((1.0 / 2.0) * (((M * D) / (2.0 * d)) ^ 2.0)) * (h / l)));
end

Wolfram

code[d_, h_, l_, M_, D_] := N[(N[(N[Power[N[(d / h), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(d / l), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(M * D), $MachinePrecision] / N[(2.0 * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(h / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 79.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{d}{M\_m \cdot D\_m}\\ t_1 := \frac{0.5}{t\_0}\\ t_2 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_3 := \frac{\frac{t\_1}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -1.35 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{t\_0} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{t\_0}}{\ell}\right)\right) \cdot \left({\left(0 - d\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{-1}{\ell}}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(t\_3 \cdot \frac{t\_1}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.45 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_3 \cdot \frac{t\_1}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ d (* M_m D_m)))
        (t_1 (/ 0.5 t_0))
        (t_2 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_3 (/ (/ t_1 2.0) l)))
   (if (<= h -1.35e+48)
     (*
      (* (sqrt (/ d h)) (+ 1.0 (/ (* (/ -0.5 t_0) (/ (/ h 4.0) t_0)) l)))
      (* (pow (- 0.0 d) 0.5) (sqrt (/ -1.0 l))))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_2 (+ (* t_3 (/ t_1 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 1.45e+111)
         (* (+ 1.0 (* t_3 (/ t_1 (/ -1.0 h)))) t_2)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = 0.5 / t_0;
	double t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_3 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -1.35e+48) {
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (pow((0.0 - d), 0.5) * sqrt((-1.0 / l)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_3 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.45e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = d / (m_m * d_m)
    t_1 = 0.5d0 / t_0
    t_2 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_3 = (t_1 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-1.35d+48)) then
        tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0d0 + ((((-0.5d0) / t_0) * ((h / 4.0d0) / t_0)) / l))) * (((0.0d0 - d) ** 0.5d0) * sqrt(((-1.0d0) / l)))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_2 * ((t_3 * (t_1 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 1.45d+111) then
        tmp = (1.0d0 + (t_3 * (t_1 / ((-1.0d0) / h)))) * t_2
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = 0.5 / t_0;
	double t_2 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_3 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -1.35e+48) {
		tmp = (Math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (Math.pow((0.0 - d), 0.5) * Math.sqrt((-1.0 / l)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_3 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.45e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d / (M_m * D_m)
	t_1 = 0.5 / t_0
	t_2 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_3 = (t_1 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -1.35e+48:
		tmp = (math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (math.pow((0.0 - d), 0.5) * math.sqrt((-1.0 / l)))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_2 * ((t_3 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 1.45e+111:
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_2
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d / Float64(M_m * D_m))
	t_1 = Float64(0.5 / t_0)
	t_2 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_3 = Float64(Float64(t_1 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -1.35e+48)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(d / h)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(-0.5 / t_0) * Float64(Float64(h / 4.0) / t_0)) / l))) * Float64((Float64(0.0 - d) ^ 0.5) * sqrt(Float64(-1.0 / l))));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(t_3 * Float64(t_1 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 1.45e+111)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_3 * Float64(t_1 / Float64(-1.0 / h)))) * t_2);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d / (M_m * D_m);
	t_1 = 0.5 / t_0;
	t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_3 = (t_1 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1.35e+48)
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (((0.0 - d) ^ 0.5) * sqrt((-1.0 / l)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_2 * ((t_3 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 1.45e+111)
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 / t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(t$95$1 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -1.35e+48], N[(N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(-0.5 / t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(h / 4.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[(0.0 - d), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(-1.0 / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$2 * N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$1 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.45e+111], N[(N[(1.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$1 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -1.35000000000000002e48

   1. Initial program 63.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 40.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 69.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(d\right)}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right) \]

      3. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}}\right)\right) \]

      4. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}}\right)\right)\right) \]

      7. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(0 - \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 77.2%

       \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(0 - d\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{1}{0 - \ell}}\right)} \]

   if -1.35000000000000002e48 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 1.45e111

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 1.45e111 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1.35 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \left({\left(0 - d\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{\frac{-1}{\ell}}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.45 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 79.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{d}{M\_m \cdot D\_m}\\ t_1 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_2 := \frac{0.5}{t\_0}\\ t_3 := \frac{\frac{t\_2}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -4.5 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{t\_0} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{t\_0}}{\ell}\right)\right) \cdot \frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 6 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ d (* M_m D_m)))
        (t_1 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_2 (/ 0.5 t_0))
        (t_3 (/ (/ t_2 2.0) l)))
   (if (<= h -4.5e+54)
     (*
      (* (sqrt (/ d h)) (+ 1.0 (/ (* (/ -0.5 t_0) (/ (/ h 4.0) t_0)) l)))
      (/ (pow (- 0.0 d) 0.5) (pow (- 0.0 l) 0.5)))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_1 (+ (* t_3 (/ t_2 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 6e+111)
         (* (+ 1.0 (* t_3 (/ t_2 (/ -1.0 h)))) t_1)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_2 = 0.5 / t_0;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -4.5e+54) {
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (pow((0.0 - d), 0.5) / pow((0.0 - l), 0.5));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 6e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = d / (m_m * d_m)
    t_1 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_2 = 0.5d0 / t_0
    t_3 = (t_2 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-4.5d+54)) then
        tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0d0 + ((((-0.5d0) / t_0) * ((h / 4.0d0) / t_0)) / l))) * (((0.0d0 - d) ** 0.5d0) / ((0.0d0 - l) ** 0.5d0))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 6d+111) then
        tmp = (1.0d0 + (t_3 * (t_2 / ((-1.0d0) / h)))) * t_1
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_2 = 0.5 / t_0;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -4.5e+54) {
		tmp = (Math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (Math.pow((0.0 - d), 0.5) / Math.pow((0.0 - l), 0.5));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 6e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d / (M_m * D_m)
	t_1 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_2 = 0.5 / t_0
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -4.5e+54:
		tmp = (math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (math.pow((0.0 - d), 0.5) / math.pow((0.0 - l), 0.5))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 6e+111:
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d / Float64(M_m * D_m))
	t_1 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_2 = Float64(0.5 / t_0)
	t_3 = Float64(Float64(t_2 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -4.5e+54)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(d / h)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(-0.5 / t_0) * Float64(Float64(h / 4.0) / t_0)) / l))) * Float64((Float64(0.0 - d) ^ 0.5) / (Float64(0.0 - l) ^ 0.5)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 6e+111)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(-1.0 / h)))) * t_1);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d / (M_m * D_m);
	t_1 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_2 = 0.5 / t_0;
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -4.5e+54)
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l))) * (((0.0 - d) ^ 0.5) / ((0.0 - l) ^ 0.5));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 6e+111)
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 / t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(t$95$2 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -4.5e+54], N[(N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(-0.5 / t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(h / 4.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[(0.0 - d), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] / N[Power[N[(0.0 - l), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$1 * N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 6e+111], N[(N[(1.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -4.49999999999999984e54

   1. Initial program 63.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 40.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 69.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(d\right)}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right) \]

      2. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{neg}\left(d\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}}\right)\right) \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \left(\frac{{\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}\right)}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}}\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \left({\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, 4\right), \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 77.2%

       \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5}}} \]

   if -4.49999999999999984e54 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 6e111

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 6e111 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -4.5 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \frac{{\left(0 - d\right)}^{0.5}}{{\left(0 - \ell\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 6 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 78.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{d}{M\_m \cdot D\_m}\\ t_1 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_2 := \frac{0.5}{t\_0}\\ t_3 := \frac{\frac{t\_2}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -1.65 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \frac{0.5 \cdot \frac{h}{\frac{4}{\frac{M\_m \cdot D\_m}{d}}}}{t\_0 \cdot \ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 9.2 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ d (* M_m D_m)))
        (t_1 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_2 (/ 0.5 t_0))
        (t_3 (/ (/ t_2 2.0) l)))
   (if (<= h -1.65e+55)
     (*
      (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0)))
      (- 1.0 (/ (* 0.5 (/ h (/ 4.0 (/ (* M_m D_m) d)))) (* t_0 l))))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_1 (+ (* t_3 (/ t_2 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 9.2e+101)
         (* (+ 1.0 (* t_3 (/ t_2 (/ -1.0 h)))) t_1)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_2 = 0.5 / t_0;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -1.65e+55) {
		tmp = (pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - ((0.5 * (h / (4.0 / ((M_m * D_m) / d)))) / (t_0 * l)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 9.2e+101) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = d / (m_m * d_m)
    t_1 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_2 = 0.5d0 / t_0
    t_3 = (t_2 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-1.65d+55)) then
        tmp = (((d / h) ** (1.0d0 / 2.0d0)) * ((d / l) ** (1.0d0 / 2.0d0))) * (1.0d0 - ((0.5d0 * (h / (4.0d0 / ((m_m * d_m) / d)))) / (t_0 * l)))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 9.2d+101) then
        tmp = (1.0d0 + (t_3 * (t_2 / ((-1.0d0) / h)))) * t_1
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double t_1 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_2 = 0.5 / t_0;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -1.65e+55) {
		tmp = (Math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * Math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - ((0.5 * (h / (4.0 / ((M_m * D_m) / d)))) / (t_0 * l)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 9.2e+101) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d / (M_m * D_m)
	t_1 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_2 = 0.5 / t_0
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -1.65e+55:
		tmp = (math.pow((d / h), (1.0 / 2.0)) * math.pow((d / l), (1.0 / 2.0))) * (1.0 - ((0.5 * (h / (4.0 / ((M_m * D_m) / d)))) / (t_0 * l)))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 9.2e+101:
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d / Float64(M_m * D_m))
	t_1 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_2 = Float64(0.5 / t_0)
	t_3 = Float64(Float64(t_2 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -1.65e+55)
		tmp = Float64(Float64((Float64(d / h) ^ Float64(1.0 / 2.0)) * (Float64(d / l) ^ Float64(1.0 / 2.0))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(0.5 * Float64(h / Float64(4.0 / Float64(Float64(M_m * D_m) / d)))) / Float64(t_0 * l))));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 9.2e+101)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(-1.0 / h)))) * t_1);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d / (M_m * D_m);
	t_1 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_2 = 0.5 / t_0;
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1.65e+55)
		tmp = (((d / h) ^ (1.0 / 2.0)) * ((d / l) ^ (1.0 / 2.0))) * (1.0 - ((0.5 * (h / (4.0 / ((M_m * D_m) / d)))) / (t_0 * l)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_1 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 9.2e+101)
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_1;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 / t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(t$95$2 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -1.65e+55], N[(N[(N[Power[N[(d / h), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(d / l), $MachinePrecision], N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(0.5 * N[(h / N[(4.0 / N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$1 * N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 9.2e+101], N[(N[(1.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -1.65e55

   1. Initial program 63.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 71.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\ell \cdot \frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{\color{blue}{h}}}\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right) \cdot \frac{h}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{h}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{h}{\ell} \cdot \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot h}{\ell} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot h}{\ell} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{d}}{M \cdot D}}\right)\right)\right) \]

      10. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot h\right) \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\ell \cdot \frac{d}{M \cdot D}}}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot h\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{d}{M \cdot D}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{h}{\frac{4}{\frac{M \cdot D}{d}}} \cdot 0.5}{\ell \cdot \frac{d}{M \cdot D}}}\right) \]

   if -1.65e55 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 9.2000000000000005e101

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 9.2000000000000005e101 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 81.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1.65 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \frac{0.5 \cdot \frac{h}{\frac{4}{\frac{M \cdot D}{d}}}}{\frac{d}{M \cdot D} \cdot \ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 9.2 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 78.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_1 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_2 := \frac{\frac{t\_1}{2}}{\ell}\\ t_3 := 1 + t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{-1}{h}}\\ \mathbf{if}\;h \leq -4.2 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.05 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_1 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_2 (/ (/ t_1 2.0) l))
        (t_3 (+ 1.0 (* t_2 (/ t_1 (/ -1.0 h))))))
   (if (<= h -4.2e+98)
     (* t_3 (/ (sqrt (/ d h)) (sqrt (/ l d))))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_0 (+ (* t_2 (/ t_1 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 1.05e+97)
         (* t_3 t_0)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double t_3 = 1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)));
	double tmp;
	if (h <= -4.2e+98) {
		tmp = t_3 * (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.05e+97) {
		tmp = t_3 * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_1 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_2 = (t_1 / 2.0d0) / l
    t_3 = 1.0d0 + (t_2 * (t_1 / ((-1.0d0) / h)))
    if (h <= (-4.2d+98)) then
        tmp = t_3 * (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d)))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 1.05d+97) then
        tmp = t_3 * t_0
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double t_3 = 1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)));
	double tmp;
	if (h <= -4.2e+98) {
		tmp = t_3 * (Math.sqrt((d / h)) / Math.sqrt((l / d)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.05e+97) {
		tmp = t_3 * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l
	t_3 = 1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))
	tmp = 0
	if h <= -4.2e+98:
		tmp = t_3 * (math.sqrt((d / h)) / math.sqrt((l / d)))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 1.05e+97:
		tmp = t_3 * t_0
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_1 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_2 = Float64(Float64(t_1 / 2.0) / l)
	t_3 = Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(-1.0 / h))))
	tmp = 0.0
	if (h <= -4.2e+98)
		tmp = Float64(t_3 * Float64(sqrt(Float64(d / h)) / sqrt(Float64(l / d))));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 1.05e+97)
		tmp = Float64(t_3 * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	t_3 = 1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)));
	tmp = 0.0;
	if (h <= -4.2e+98)
		tmp = t_3 * (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 1.05e+97)
		tmp = t_3 * t_0;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -4.2e+98], N[(t$95$3 * N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(l / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.05e+97], N[(t$95$3 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -4.20000000000000008e98

   1. Initial program 60.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 70.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{1}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h}\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{1}{\frac{\ell}{d}}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\ell}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 70.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 70.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -4.20000000000000008e98 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 89.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 1.05000000000000006e97

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 1.05000000000000006e97 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 81.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -4.2 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.05 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 77.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_1 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_2 := \frac{\frac{t\_1}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -6.8 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{M\_m \cdot D\_m}{d \cdot 4}}{\ell}}{\frac{\frac{d}{h \cdot \left(M\_m \cdot D\_m\right)}}{0.5}}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.3 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_1 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_2 (/ (/ t_1 2.0) l)))
   (if (<= h -6.8e+99)
     (*
      (/ (sqrt (/ d h)) (sqrt (/ l d)))
      (-
       1.0
       (/ (/ (/ (* M_m D_m) (* d 4.0)) l) (/ (/ d (* h (* M_m D_m))) 0.5))))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_0 (+ (* t_2 (/ t_1 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 1.3e+111)
         (* (+ 1.0 (* t_2 (/ t_1 (/ -1.0 h)))) t_0)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -6.8e+99) {
		tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((M_m * D_m) / (d * 4.0)) / l) / ((d / (h * (M_m * D_m))) / 0.5)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.3e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_1 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_2 = (t_1 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-6.8d+99)) then
        tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0d0 - ((((m_m * d_m) / (d * 4.0d0)) / l) / ((d / (h * (m_m * d_m))) / 0.5d0)))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 1.3d+111) then
        tmp = (1.0d0 + (t_2 * (t_1 / ((-1.0d0) / h)))) * t_0
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -6.8e+99) {
		tmp = (Math.sqrt((d / h)) / Math.sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((M_m * D_m) / (d * 4.0)) / l) / ((d / (h * (M_m * D_m))) / 0.5)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.3e+111) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -6.8e+99:
		tmp = (math.sqrt((d / h)) / math.sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((M_m * D_m) / (d * 4.0)) / l) / ((d / (h * (M_m * D_m))) / 0.5)))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 1.3e+111:
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_1 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_2 = Float64(Float64(t_1 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -6.8e+99)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(d / h)) / sqrt(Float64(l / d))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * D_m) / Float64(d * 4.0)) / l) / Float64(Float64(d / Float64(h * Float64(M_m * D_m))) / 0.5))));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 1.3e+111)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(-1.0 / h)))) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -6.8e+99)
		tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((M_m * D_m) / (d * 4.0)) / l) / ((d / (h * (M_m * D_m))) / 0.5)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 1.3e+111)
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -6.8e+99], N[(N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(l / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] / N[(d * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] / N[(N[(d / N[(h * N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.3e+111], N[(N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -6.79999999999999968e99

   1. Initial program 60.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 70.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{1}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h}\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{1}{\frac{\ell}{d}}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\ell}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 70.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 70.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{h}}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 70.9%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{M \cdot D}{4 \cdot d}}{\ell}}{\frac{\frac{d}{h \cdot \left(M \cdot D\right)}}{0.5}}}\right) \]

   if -6.79999999999999968e99 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 89.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 1.2999999999999999e111

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 1.2999999999999999e111 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 81.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -6.8 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{M \cdot D}{d \cdot 4}}{\ell}}{\frac{\frac{d}{h \cdot \left(M \cdot D\right)}}{0.5}}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.3 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 77.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_1 := \frac{d}{M\_m \cdot D\_m}\\ t_2 := \frac{0.5}{t\_1}\\ t_3 := \frac{\frac{t\_2}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -9 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{t\_1} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{t\_1}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.25 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_3 \cdot \frac{t\_2}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_1 (/ d (* M_m D_m)))
        (t_2 (/ 0.5 t_1))
        (t_3 (/ (/ t_2 2.0) l)))
   (if (<= h -9e+49)
     (*
      (* (sqrt (/ d h)) (+ 1.0 (/ (* (/ -0.5 t_1) (/ (/ h 4.0) t_1)) l)))
      (sqrt (/ d l)))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_0 (+ (* t_3 (/ t_2 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 1.25e+106)
         (* (+ 1.0 (* t_3 (/ t_2 (/ -1.0 h)))) t_0)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = d / (M_m * D_m);
	double t_2 = 0.5 / t_1;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -9e+49) {
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_1) * ((h / 4.0) / t_1)) / l))) * sqrt((d / l));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.25e+106) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_1 = d / (m_m * d_m)
    t_2 = 0.5d0 / t_1
    t_3 = (t_2 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-9d+49)) then
        tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0d0 + ((((-0.5d0) / t_1) * ((h / 4.0d0) / t_1)) / l))) * sqrt((d / l))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_0 * ((t_3 * (t_2 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 1.25d+106) then
        tmp = (1.0d0 + (t_3 * (t_2 / ((-1.0d0) / h)))) * t_0
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = d / (M_m * D_m);
	double t_2 = 0.5 / t_1;
	double t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -9e+49) {
		tmp = (Math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_1) * ((h / 4.0) / t_1)) / l))) * Math.sqrt((d / l));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 1.25e+106) {
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_1 = d / (M_m * D_m)
	t_2 = 0.5 / t_1
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -9e+49:
		tmp = (math.sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_1) * ((h / 4.0) / t_1)) / l))) * math.sqrt((d / l))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_0 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 1.25e+106:
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_0
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_1 = Float64(d / Float64(M_m * D_m))
	t_2 = Float64(0.5 / t_1)
	t_3 = Float64(Float64(t_2 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -9e+49)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(d / h)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(-0.5 / t_1) * Float64(Float64(h / 4.0) / t_1)) / l))) * sqrt(Float64(d / l)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 1.25e+106)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_3 * Float64(t_2 / Float64(-1.0 / h)))) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_1 = d / (M_m * D_m);
	t_2 = 0.5 / t_1;
	t_3 = (t_2 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -9e+49)
		tmp = (sqrt((d / h)) * (1.0 + (((-0.5 / t_1) * ((h / 4.0) / t_1)) / l))) * sqrt((d / l));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_0 * ((t_3 * (t_2 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 1.25e+106)
		tmp = (1.0 + (t_3 * (t_2 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(t$95$2 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -9e+49], N[(N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(-0.5 / t$95$1), $MachinePrecision] * N[(N[(h / 4.0), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(d / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 1.25e+106], N[(N[(1.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$2 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -8.99999999999999965e49

   1. Initial program 63.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 40.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 40.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 69.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}} \]

   if -8.99999999999999965e49 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 1.25e106

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 1.25e106 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 81.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -9 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 1.25 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 76.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_1 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_2 := \frac{\frac{t\_1}{2}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;h \leq -2.8 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 7 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_2 \cdot \frac{t\_1}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_1 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_2 (/ (/ t_1 2.0) l)))
   (if (<= h -2.8e+99)
     (*
      (/ (sqrt (/ d h)) (sqrt (/ l d)))
      (- 1.0 (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l)))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_0 (+ (* t_2 (/ t_1 (/ 1.0 h))) -1.0))
       (if (<= h 7e+110)
         (* (+ 1.0 (* t_2 (/ t_1 (/ -1.0 h)))) t_0)
         (/
          (/
           (*
            d
            (-
             1.0
             (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
           (sqrt h))
          (sqrt l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -2.8e+99) {
		tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 7e+110) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_1 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_2 = (t_1 / 2.0d0) / l
    if (h <= (-2.8d+99)) then
        tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0d0 - ((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 7d+110) then
        tmp = (1.0d0 + (t_2 * (t_1 / ((-1.0d0) / h)))) * t_0
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	double tmp;
	if (h <= -2.8e+99) {
		tmp = (Math.sqrt((d / h)) / Math.sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 7e+110) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l
	tmp = 0
	if h <= -2.8e+99:
		tmp = (math.sqrt((d / h)) / math.sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 7e+110:
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_1 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_2 = Float64(Float64(t_1 / 2.0) / l)
	tmp = 0.0
	if (h <= -2.8e+99)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(d / h)) / sqrt(Float64(l / d))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 7e+110)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_1 / Float64(-1.0 / h)))) * t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_2 = (t_1 / 2.0) / l;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -2.8e+99)
		tmp = (sqrt((d / h)) / sqrt((l / d))) * (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_0 * ((t_2 * (t_1 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 7e+110)
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -2.8e+99], N[(N[(N[Sqrt[N[(d / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(l / d), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 7e+110], N[(N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$1 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if h < -2.8e99

   1. Initial program 60.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{1}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}{{\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h}}\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h}\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{1}{\frac{\ell}{d}}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left({\left(\frac{\ell}{d}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      14. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\ell}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\ell}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 61.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   if -2.8e99 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 89.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 6.9999999999999998e110

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 6.9999999999999998e110 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 80.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -2.8 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{d}{h}}}{\sqrt{\frac{\ell}{d}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 7 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 78.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_1 := \frac{\frac{t\_0}{2}}{\ell}\\ t_2 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(t\_1 \cdot \frac{t\_0}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 6.5 \cdot 10^{+109}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_1 \cdot \frac{t\_0}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D\_m \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(h \cdot \left(M\_m \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_1 (/ (/ t_0 2.0) l))
        (t_2 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))))
   (if (<= h -1e-309)
     (* t_2 (+ (* t_1 (/ t_0 (/ 1.0 h))) -1.0))
     (if (<= h 6.5e+109)
       (* (+ 1.0 (* t_1 (/ t_0 (/ -1.0 h)))) t_2)
       (/
        (/
         (*
          d
          (-
           1.0
           (/ (* D_m (* (* M_m D_m) (* h (* M_m 0.125)))) (* l (* d d)))))
         (sqrt h))
        (sqrt l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	double t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 6.5e+109) {
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_1 = (t_0 / 2.0d0) / l
    t_2 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else if (h <= 6.5d+109) then
        tmp = (1.0d0 + (t_1 * (t_0 / ((-1.0d0) / h)))) * t_2
    else
        tmp = ((d * (1.0d0 - ((d_m * ((m_m * d_m) * (h * (m_m * 0.125d0)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	double t_2 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else if (h <= 6.5e+109) {
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	} else {
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / Math.sqrt(h)) / Math.sqrt(l);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_1 = (t_0 / 2.0) / l
	t_2 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	tmp = 0
	if h <= -1e-309:
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0)
	elif h <= 6.5e+109:
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2
	else:
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / math.sqrt(h)) / math.sqrt(l)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 / 2.0) / l)
	t_2 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	tmp = 0.0
	if (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	elseif (h <= 6.5e+109)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_0 / Float64(-1.0 / h)))) * t_2);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(d * Float64(1.0 - Float64(Float64(D_m * Float64(Float64(M_m * D_m) * Float64(h * Float64(M_m * 0.125)))) / Float64(l * Float64(d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1e-309)
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	elseif (h <= 6.5e+109)
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	else
		tmp = ((d * (1.0 - ((D_m * ((M_m * D_m) * (h * (M_m * 0.125)))) / (l * (d * d))))) / sqrt(h)) / sqrt(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$2 * N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, 6.5e+109], N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$0 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], N[(N[(N[(d * N[(1.0 - N[(N[(D$95$m * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(h * N[(M$95$m * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l * N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[h], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 68.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 78.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h < 6.5e109

   1. Initial program 70.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 88.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if 6.5e109 < h

   1. Initial program 46.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot \color{blue}{\sqrt{\ell}}} \]

      3. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h} \cdot {\ell}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\color{blue}{{\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right)}{\sqrt{h}}\right), \color{blue}{\left({\ell}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\left(d \cdot d\right) \cdot \ell}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{elif}\;h \leq 6.5 \cdot 10^{+109}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{d \cdot \left(1 - \frac{D \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot \left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right)\right)}{\ell \cdot \left(d \cdot d\right)}\right)}{\sqrt{h}}}{\sqrt{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 73.8% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ t_1 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_2 := \frac{t\_1}{2}\\ \mathbf{if}\;h \leq -6.2 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{M\_m \cdot D\_m}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot 0.125\right)\right)}{d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{h}{\ell}\right) + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{t\_2}{\ell} \cdot \frac{t\_1}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l)))))
        (t_1 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_2 (/ t_1 2.0)))
   (if (<= h -6.2e+99)
     (*
      (- 1.0 (/ (* (/ (/ (* M_m D_m) d) l) (* h (* (* M_m D_m) 0.125))) d))
      (sqrt (/ (/ d l) (/ h d))))
     (if (<= h -1e-309)
       (* t_0 (+ (* t_1 (* t_2 (/ h l))) -1.0))
       (* (+ 1.0 (* (/ t_2 l) (/ t_1 (/ -1.0 h)))) t_0)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = t_1 / 2.0;
	double tmp;
	if (h <= -6.2e+99) {
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_1 * (t_2 * (h / l))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((t_2 / l) * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    t_1 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_2 = t_1 / 2.0d0
    if (h <= (-6.2d+99)) then
        tmp = (1.0d0 - (((((m_m * d_m) / d) / l) * (h * ((m_m * d_m) * 0.125d0))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)))
    else if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_0 * ((t_1 * (t_2 * (h / l))) + (-1.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 + ((t_2 / l) * (t_1 / ((-1.0d0) / h)))) * t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_2 = t_1 / 2.0;
	double tmp;
	if (h <= -6.2e+99) {
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * Math.sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_0 * ((t_1 * (t_2 * (h / l))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((t_2 / l) * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_2 = t_1 / 2.0
	tmp = 0
	if h <= -6.2e+99:
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * math.sqrt(((d / l) / (h / d)))
	elif h <= -1e-309:
		tmp = t_0 * ((t_1 * (t_2 * (h / l))) + -1.0)
	else:
		tmp = (1.0 + ((t_2 / l) * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	t_1 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_2 = Float64(t_1 / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (h <= -6.2e+99)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * D_m) / d) / l) * Float64(h * Float64(Float64(M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(Float64(Float64(d / l) / Float64(h / d))));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(h / l))) + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_2 / l) * Float64(t_1 / Float64(-1.0 / h)))) * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	t_1 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_2 = t_1 / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (h <= -6.2e+99)
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	elseif (h <= -1e-309)
		tmp = t_0 * ((t_1 * (t_2 * (h / l))) + -1.0);
	else
		tmp = (1.0 + ((t_2 / l) * (t_1 / (-1.0 / h)))) * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -6.2e+99], N[(N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] * N[(h * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] / N[(h / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(h / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$2 / l), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if h < -6.2000000000000001e99

   1. Initial program 60.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 28.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \frac{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right) \cdot D\right)}{\left(d \cdot \ell\right) \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \frac{\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell}\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{h}, d\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell}\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d}\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(M \cdot D\right), d\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \left(h \cdot \left(\left(M \cdot \frac{1}{8}\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(M \cdot \frac{1}{8}\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{1}{8} \cdot M\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(M \cdot D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 52.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 52.4%

      \[\leadsto \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot D\right)\right)\right)}{d}}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

   if -6.2000000000000001e99 < h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 71.7%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.8%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 87.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h

   1. Initial program 62.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 77.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -6.2 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot 0.125\right)\right)}{d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right) + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 64.3% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -4.3 \cdot 10^{+188}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -1 \cdot 10^{-180}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{M\_m \cdot D\_m}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(\left(M\_m \cdot D\_m\right) \cdot 0.125\right)\right)}{d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -4.9 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell}}{\ell \cdot \ell}} \cdot \left(0.125 \cdot \left(D\_m \cdot \frac{D\_m \cdot \left(M\_m \cdot M\_m\right)}{d}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -4.3e+188)
   (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
   (if (<= d -1e-180)
     (*
      (- 1.0 (/ (* (/ (/ (* M_m D_m) d) l) (* h (* (* M_m D_m) 0.125))) d))
      (sqrt (/ (/ d l) (/ h d))))
     (if (<= d -4.9e-296)
       (*
        (sqrt (/ (/ h l) (* l l)))
        (* 0.125 (* D_m (/ (* D_m (* M_m M_m)) d))))
       (*
        (- 1.0 (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l))
        (/ d (sqrt (* h l))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -4.3e+188) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -1e-180) {
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (d <= -4.9e-296) {
		tmp = sqrt(((h / l) / (l * l))) * (0.125 * (D_m * ((D_m * (M_m * M_m)) / d)));
	} else {
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-4.3d+188)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-1d-180)) then
        tmp = (1.0d0 - (((((m_m * d_m) / d) / l) * (h * ((m_m * d_m) * 0.125d0))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)))
    else if (d <= (-4.9d-296)) then
        tmp = sqrt(((h / l) / (l * l))) * (0.125d0 * (d_m * ((d_m * (m_m * m_m)) / d)))
    else
        tmp = (1.0d0 - ((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -4.3e+188) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -1e-180) {
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * Math.sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (d <= -4.9e-296) {
		tmp = Math.sqrt(((h / l) / (l * l))) * (0.125 * (D_m * ((D_m * (M_m * M_m)) / d)));
	} else {
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / Math.sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -4.3e+188:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -1e-180:
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * math.sqrt(((d / l) / (h / d)))
	elif d <= -4.9e-296:
		tmp = math.sqrt(((h / l) / (l * l))) * (0.125 * (D_m * ((D_m * (M_m * M_m)) / d)))
	else:
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / math.sqrt((h * l)))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -4.3e+188)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -1e-180)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(M_m * D_m) / d) / l) * Float64(h * Float64(Float64(M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(Float64(Float64(d / l) / Float64(h / d))));
	elseif (d <= -4.9e-296)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(h / l) / Float64(l * l))) * Float64(0.125 * Float64(D_m * Float64(Float64(D_m * Float64(M_m * M_m)) / d))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l)) * Float64(d / sqrt(Float64(h * l))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -4.3e+188)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -1e-180)
		tmp = (1.0 - (((((M_m * D_m) / d) / l) * (h * ((M_m * D_m) * 0.125))) / d)) * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	elseif (d <= -4.9e-296)
		tmp = sqrt(((h / l) / (l * l))) * (0.125 * (D_m * ((D_m * (M_m * M_m)) / d)));
	else
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -4.3e+188], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -1e-180], N[(N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] * N[(h * N[(N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] / N[(h / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -4.9e-296], N[(N[Sqrt[N[(N[(h / l), $MachinePrecision] / N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.125 * N[(D$95$m * N[(N[(D$95$m * N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -4.29999999999999985e188

   1. Initial program 74.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -4.29999999999999985e188 < d < -1e-180

   1. Initial program 73.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 72.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 55.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \frac{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right) \cdot D\right)}{\left(d \cdot \ell\right) \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \frac{\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)}{d}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell} \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(h, d\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d \cdot \ell}\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{h}, d\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell}\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{d}\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(M \cdot D\right), d\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \left(\left(h \cdot \left(M \cdot \frac{1}{8}\right)\right) \cdot D\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \left(h \cdot \left(\left(M \cdot \frac{1}{8}\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(M \cdot \frac{1}{8}\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\left(\frac{1}{8} \cdot M\right) \cdot D\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \left(\frac{1}{8} \cdot \left(M \cdot D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \left(M \cdot D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 70.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, D\right), d\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right)\right), d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 70.2%

      \[\leadsto \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot D\right)\right)\right)}{d}}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

   if -1e-180 < d < -4.8999999999999998e-296

   1. Initial program 50.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.0%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      5. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{\ell \cdot {\ell}^{2}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      7. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{h}{\ell}}{{\ell}^{2}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{h}{\ell}\right), \left({\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \left({\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}}{d}\right)\right) \]

      13. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)}\right)\right) \]

      15. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(\mathsf{neg}\left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell}}{\ell \cdot \ell}} \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right)\right)} \]

   if -4.8999999999999998e-296 < d

   1. Initial program 61.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.2%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 47.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 47.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. rem-square-sqrt 67.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 67.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 67.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -4.3 \cdot 10^{+188}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -1 \cdot 10^{-180}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{M \cdot D}{d}}{\ell} \cdot \left(h \cdot \left(\left(M \cdot D\right) \cdot 0.125\right)\right)}{d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -4.9 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{h}{\ell}}{\ell \cdot \ell}} \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot \frac{D \cdot \left(M \cdot M\right)}{d}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 - \frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\\ \mathbf{if}\;d \leq -1.75 \cdot 10^{+188}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.5 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M\_m \cdot \frac{M\_m}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D\_m \cdot D\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (-
          1.0
          (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l))))
   (if (<= d -1.75e+188)
     (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
     (if (<= d -3.5e-94)
       (* t_0 (sqrt (/ (/ d l) (/ h d))))
       (if (<= d -3.25e-308)
         (*
          (sqrt (/ h (* l (* l l))))
          (* (* M_m (/ M_m d)) (* 0.125 (* D_m D_m))))
         (* t_0 (/ d (sqrt (* h l)))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l);
	double tmp;
	if (d <= -1.75e+188) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.5e-94) {
		tmp = t_0 * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else {
		tmp = t_0 * (d / sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 - ((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l)
    if (d <= (-1.75d+188)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-3.5d-94)) then
        tmp = t_0 * sqrt(((d / l) / (h / d)))
    else if (d <= (-3.25d-308)) then
        tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((m_m * (m_m / d)) * (0.125d0 * (d_m * d_m)))
    else
        tmp = t_0 * (d / sqrt((h * l)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l);
	double tmp;
	if (d <= -1.75e+188) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.5e-94) {
		tmp = t_0 * Math.sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = Math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else {
		tmp = t_0 * (d / Math.sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = 1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)
	tmp = 0
	if d <= -1.75e+188:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -3.5e-94:
		tmp = t_0 * math.sqrt(((d / l) / (h / d)))
	elif d <= -3.25e-308:
		tmp = math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)))
	else:
		tmp = t_0 * (d / math.sqrt((h * l)))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l))
	tmp = 0.0
	if (d <= -1.75e+188)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -3.5e-94)
		tmp = Float64(t_0 * sqrt(Float64(Float64(d / l) / Float64(h / d))));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l)))) * Float64(Float64(M_m * Float64(M_m / d)) * Float64(0.125 * Float64(D_m * D_m))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(d / sqrt(Float64(h * l))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = 1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l);
	tmp = 0.0;
	if (d <= -1.75e+188)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -3.5e-94)
		tmp = t_0 * sqrt(((d / l) / (h / d)));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	else
		tmp = t_0 * (d / sqrt((h * l)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, -1.75e+188], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -3.5e-94], N[(t$95$0 * N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] / N[(h / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -3.25e-308], N[(N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(M$95$m * N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.125 * N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -1.75000000000000004e188

   1. Initial program 74.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -1.75000000000000004e188 < d < -3.49999999999999998e-94

   1. Initial program 76.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.0%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 63.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   if -3.49999999999999998e-94 < d < -3.24999999999999995e-308

   1. Initial program 56.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 58.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 44.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 44.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}}{d}\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

      13. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 42.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)} \]

   if -3.24999999999999995e-308 < d

   1. Initial program 61.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 47.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 47.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. rem-square-sqrt 67.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 67.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 63.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -1.75 \cdot 10^{+188}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.5 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 77.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ t_1 := \frac{\frac{t\_0}{2}}{\ell}\\ t_2 := d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(t\_1 \cdot \frac{t\_0}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_1 \cdot \frac{t\_0}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m))))
        (t_1 (/ (/ t_0 2.0) l))
        (t_2 (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))))
   (if (<= h -1e-309)
     (* t_2 (+ (* t_1 (/ t_0 (/ 1.0 h))) -1.0))
     (* (+ 1.0 (* t_1 (/ t_0 (/ -1.0 h)))) t_2))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	double t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    t_1 = (t_0 / 2.0d0) / l
    t_2 = d * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0d0 / h))) + (-1.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 + (t_1 * (t_0 / ((-1.0d0) / h)))) * t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	double t_2 = d * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	t_1 = (t_0 / 2.0) / l
	t_2 = d * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	tmp = 0
	if h <= -1e-309:
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0)
	else:
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 / 2.0) / l)
	t_2 = Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))))
	tmp = 0.0
	if (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 / Float64(1.0 / h))) + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_0 / Float64(-1.0 / h)))) * t_2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	t_1 = (t_0 / 2.0) / l;
	t_2 = d * sqrt((1.0 / (h * l)));
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1e-309)
		tmp = t_2 * ((t_1 * (t_0 / (1.0 / h))) + -1.0);
	else
		tmp = (1.0 + (t_1 * (t_0 / (-1.0 / h)))) * t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -1e-309], N[(t$95$2 * N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 / N[(1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$0 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 68.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 73.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 78.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, d\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h

   1. Initial program 62.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 77.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 72.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0.5}{\frac{d}{M\_m \cdot D\_m}}\\ \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{t\_0}{2}}{\ell} \cdot \frac{t\_0}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 0.5 (/ d (* M_m D_m)))))
   (if (<= h -1e-309)
     (*
      (/ d (sqrt (* h l)))
      (+ (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l) -1.0))
     (*
      (+ 1.0 (* (/ (/ t_0 2.0) l) (/ t_0 (/ -1.0 h))))
      (* d (sqrt (/ 1.0 (* h l))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (((t_0 / 2.0) / l) * (t_0 / (-1.0 / h)))) * (d * sqrt((1.0 / (h * l))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 / (d / (m_m * d_m))
    if (h <= (-1d-309)) then
        tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l) + (-1.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 + (((t_0 / 2.0d0) / l) * (t_0 / ((-1.0d0) / h)))) * (d * sqrt((1.0d0 / (h * l))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	double tmp;
	if (h <= -1e-309) {
		tmp = (d / Math.sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (((t_0 / 2.0) / l) * (t_0 / (-1.0 / h)))) * (d * Math.sqrt((1.0 / (h * l))));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m))
	tmp = 0
	if h <= -1e-309:
		tmp = (d / math.sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0)
	else:
		tmp = (1.0 + (((t_0 / 2.0) / l) * (t_0 / (-1.0 / h)))) * (d * math.sqrt((1.0 / (h * l))))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(0.5 / Float64(d / Float64(M_m * D_m)))
	tmp = 0.0
	if (h <= -1e-309)
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(Float64(h * l))) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(t_0 / 2.0) / l) * Float64(t_0 / Float64(-1.0 / h)))) * Float64(d * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = 0.5 / (d / (M_m * D_m));
	tmp = 0.0;
	if (h <= -1e-309)
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	else
		tmp = (1.0 + (((t_0 / 2.0) / l) * (t_0 / (-1.0 / h)))) * (d * sqrt((1.0 / (h * l))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 / N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[h, -1e-309], N[(N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 / N[(-1.0 / h), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(d * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if h < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 68.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 42.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 42.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   8. Taylor expanded in d around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot d\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(0 - d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 66.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   if -1.000000000000002e-309 < h

   1. Initial program 62.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      2. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\ell}{h}}}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}{\frac{\ell}{h}}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{\color{blue}{\ell}}{h}}\right)\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}}{\frac{1}{h}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}}\right) \]

   5. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 77.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, h\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{1}{h}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;h \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2}}{\ell} \cdot \frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\frac{-1}{h}}\right) \cdot \left(d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 59.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -8.8 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M\_m \cdot \frac{M\_m}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D\_m \cdot D\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -8.8e-23)
   (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
   (if (<= d -3.25e-308)
     (* (sqrt (/ h (* l (* l l)))) (* (* M_m (/ M_m d)) (* 0.125 (* D_m D_m))))
     (*
      (- 1.0 (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l))
      (/ d (sqrt (* h l)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -8.8e-23) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else {
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-8.8d-23)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-3.25d-308)) then
        tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((m_m * (m_m / d)) * (0.125d0 * (d_m * d_m)))
    else
        tmp = (1.0d0 - ((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -8.8e-23) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = Math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else {
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / Math.sqrt((h * l)));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -8.8e-23:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -3.25e-308:
		tmp = math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)))
	else:
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / math.sqrt((h * l)))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -8.8e-23)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l)))) * Float64(Float64(M_m * Float64(M_m / d)) * Float64(0.125 * Float64(D_m * D_m))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l)) * Float64(d / sqrt(Float64(h * l))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -8.8e-23)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	else
		tmp = (1.0 - ((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l)) * (d / sqrt((h * l)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -8.8e-23], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -3.25e-308], N[(N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(M$95$m * N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.125 * N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if d < -8.7999999999999998e-23

   1. Initial program 78.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 64.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -8.7999999999999998e-23 < d < -3.24999999999999995e-308

   1. Initial program 56.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 45.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 45.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}}{d}\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

      13. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 41.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)} \]

   if -3.24999999999999995e-308 < d

   1. Initial program 61.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 47.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 47.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. rem-square-sqrt 67.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 67.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -8.8 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 49.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}\\ \mathbf{if}\;d \leq -5.4 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(M\_m \cdot \frac{M\_m}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D\_m \cdot D\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 4.8 \cdot 10^{-122}:\\ \;\;\;\;\left(D\_m \cdot D\_m\right) \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.125 \cdot \frac{M\_m \cdot M\_m}{d}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (/ h (* l (* l l))))))
   (if (<= d -5.4e-25)
     (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
     (if (<= d -3.25e-308)
       (* t_0 (* (* M_m (/ M_m d)) (* 0.125 (* D_m D_m))))
       (if (<= d 4.8e-122)
         (* (* D_m D_m) (* t_0 (* -0.125 (/ (* M_m M_m) d))))
         (* d (sqrt (/ (/ 1.0 l) h))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))));
	double tmp;
	if (d <= -5.4e-25) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else if (d <= 4.8e-122) {
		tmp = (D_m * D_m) * (t_0 * (-0.125 * ((M_m * M_m) / d)));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))))
    if (d <= (-5.4d-25)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-3.25d-308)) then
        tmp = t_0 * ((m_m * (m_m / d)) * (0.125d0 * (d_m * d_m)))
    else if (d <= 4.8d-122) then
        tmp = (d_m * d_m) * (t_0 * ((-0.125d0) * ((m_m * m_m) / d)))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / l) / h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = Math.sqrt((h / (l * (l * l))));
	double tmp;
	if (d <= -5.4e-25) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else if (d <= 4.8e-122) {
		tmp = (D_m * D_m) * (t_0 * (-0.125 * ((M_m * M_m) / d)));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = math.sqrt((h / (l * (l * l))))
	tmp = 0
	if d <= -5.4e-25:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -3.25e-308:
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)))
	elif d <= 4.8e-122:
		tmp = (D_m * D_m) * (t_0 * (-0.125 * ((M_m * M_m) / d)))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / l) / h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l))))
	tmp = 0.0
	if (d <= -5.4e-25)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(M_m * Float64(M_m / d)) * Float64(0.125 * Float64(D_m * D_m))));
	elseif (d <= 4.8e-122)
		tmp = Float64(Float64(D_m * D_m) * Float64(t_0 * Float64(-0.125 * Float64(Float64(M_m * M_m) / d))));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / l) / h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))));
	tmp = 0.0;
	if (d <= -5.4e-25)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	elseif (d <= 4.8e-122)
		tmp = (D_m * D_m) * (t_0 * (-0.125 * ((M_m * M_m) / d)));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, -5.4e-25], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -3.25e-308], N[(t$95$0 * N[(N[(M$95$m * N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.125 * N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 4.8e-122], N[(N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(-0.125 * N[(N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -5.40000000000000032e-25

   1. Initial program 78.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 64.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -5.40000000000000032e-25 < d < -3.24999999999999995e-308

   1. Initial program 56.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 45.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 45.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}}{d}\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

      13. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 41.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)} \]

   if -3.24999999999999995e-308 < d < 4.79999999999999975e-122

   1. Initial program 37.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 41.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 32.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{d}{h}} \cdot \left(1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{d}{\ell}}} \]

   9. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{8}} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \left(\left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right) \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right) \cdot \frac{-1}{8} \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left({D}^{2} \cdot \left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right) \cdot \frac{-1}{8} \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {D}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right) \cdot \frac{-1}{8}\right)} \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto {D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \color{blue}{\left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({D}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)}\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \left(\frac{{M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}}\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       14. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 42.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(D \cdot D\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(-0.125 \cdot \frac{M \cdot M}{d}\right)\right)} \]

   if 4.79999999999999975e-122 < d

   1. Initial program 72.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell \cdot h}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\ell}}{h}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell}\right), h\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \ell\right), h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.9%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 53.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -5.4 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 4.8 \cdot 10^{-122}:\\ \;\;\;\;\left(D \cdot D\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(-0.125 \cdot \frac{M \cdot M}{d}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 49.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}\\ \mathbf{if}\;d \leq -5.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(M\_m \cdot \frac{M\_m}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D\_m \cdot D\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.1 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(D\_m \cdot D\_m\right) \cdot \frac{\left(M\_m \cdot M\_m\right) \cdot -0.125}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (/ h (* l (* l l))))))
   (if (<= d -5.6e-19)
     (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
     (if (<= d -3.25e-308)
       (* t_0 (* (* M_m (/ M_m d)) (* 0.125 (* D_m D_m))))
       (if (<= d 2.1e-119)
         (* t_0 (* (* D_m D_m) (/ (* (* M_m M_m) -0.125) d)))
         (* d (sqrt (/ (/ 1.0 l) h))))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))));
	double tmp;
	if (d <= -5.6e-19) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else if (d <= 2.1e-119) {
		tmp = t_0 * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))))
    if (d <= (-5.6d-19)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-3.25d-308)) then
        tmp = t_0 * ((m_m * (m_m / d)) * (0.125d0 * (d_m * d_m)))
    else if (d <= 2.1d-119) then
        tmp = t_0 * ((d_m * d_m) * (((m_m * m_m) * (-0.125d0)) / d))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / l) / h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = Math.sqrt((h / (l * (l * l))));
	double tmp;
	if (d <= -5.6e-19) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -3.25e-308) {
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	} else if (d <= 2.1e-119) {
		tmp = t_0 * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = math.sqrt((h / (l * (l * l))))
	tmp = 0
	if d <= -5.6e-19:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -3.25e-308:
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)))
	elif d <= 2.1e-119:
		tmp = t_0 * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / l) / h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l))))
	tmp = 0.0
	if (d <= -5.6e-19)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(M_m * Float64(M_m / d)) * Float64(0.125 * Float64(D_m * D_m))));
	elseif (d <= 2.1e-119)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(D_m * D_m) * Float64(Float64(Float64(M_m * M_m) * -0.125) / d)));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / l) / h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = sqrt((h / (l * (l * l))));
	tmp = 0.0;
	if (d <= -5.6e-19)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -3.25e-308)
		tmp = t_0 * ((M_m * (M_m / d)) * (0.125 * (D_m * D_m)));
	elseif (d <= 2.1e-119)
		tmp = t_0 * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, -5.6e-19], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -3.25e-308], N[(t$95$0 * N[(N[(M$95$m * N[(M$95$m / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.125 * N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 2.1e-119], N[(t$95$0 * N[(N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -5.60000000000000005e-19

   1. Initial program 78.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 64.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -5.60000000000000005e-19 < d < -3.24999999999999995e-308

   1. Initial program 56.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 45.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 45.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in h around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}}{d}\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

      13. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \frac{{M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left(\frac{1}{8} \cdot {D}^{2}\right) \cdot \left({M}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 41.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)} \]

   if -3.24999999999999995e-308 < d < 2.1e-119

   1. Initial program 37.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 41.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 32.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right)}{\color{blue}{d}}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({M}^{2} \cdot {D}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right) \cdot {D}^{2}}{d}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left({D}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}}{d}}\right)\right) \]

      16. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left({D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \color{blue}{\frac{{M}^{2}}{d}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({D}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      20. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}}{\color{blue}{d}}\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right), \color{blue}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 39.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.125}{d}\right)} \]

   if 2.1e-119 < d

   1. Initial program 72.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell \cdot h}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\ell}}{h}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell}\right), h\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \ell\right), h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.9%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 52.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -5.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -3.25 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(M \cdot \frac{M}{d}\right) \cdot \left(0.125 \cdot \left(D \cdot D\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.1 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.125}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 45.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -6.6 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;d \cdot {\left(\frac{\frac{1}{h \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}{h}\right)}^{0.25}\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.8 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(D\_m \cdot D\_m\right) \cdot \frac{\left(M\_m \cdot M\_m\right) \cdot -0.125}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -6.6e-37)
   (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
   (if (<= d -5e-310)
     (* d (pow (/ (/ 1.0 (* h (* l l))) h) 0.25))
     (if (<= d 2.8e-120)
       (*
        (sqrt (/ h (* l (* l l))))
        (* (* D_m D_m) (/ (* (* M_m M_m) -0.125) d)))
       (* d (sqrt (/ (/ 1.0 l) h)))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -6.6e-37) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -5e-310) {
		tmp = d * pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25);
	} else if (d <= 2.8e-120) {
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-6.6d-37)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (d <= (-5d-310)) then
        tmp = d * (((1.0d0 / (h * (l * l))) / h) ** 0.25d0)
    else if (d <= 2.8d-120) then
        tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((d_m * d_m) * (((m_m * m_m) * (-0.125d0)) / d))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / l) / h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -6.6e-37) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (d <= -5e-310) {
		tmp = d * Math.pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25);
	} else if (d <= 2.8e-120) {
		tmp = Math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -6.6e-37:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif d <= -5e-310:
		tmp = d * math.pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25)
	elif d <= 2.8e-120:
		tmp = math.sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / l) / h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -6.6e-37)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (d <= -5e-310)
		tmp = Float64(d * (Float64(Float64(1.0 / Float64(h * Float64(l * l))) / h) ^ 0.25));
	elseif (d <= 2.8e-120)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(h / Float64(l * Float64(l * l)))) * Float64(Float64(D_m * D_m) * Float64(Float64(Float64(M_m * M_m) * -0.125) / d)));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / l) / h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -6.6e-37)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (d <= -5e-310)
		tmp = d * (((1.0 / (h * (l * l))) / h) ^ 0.25);
	elseif (d <= 2.8e-120)
		tmp = sqrt((h / (l * (l * l)))) * ((D_m * D_m) * (((M_m * M_m) * -0.125) / d));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -6.6e-37], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, -5e-310], N[(d * N[Power[N[(N[(1.0 / N[(h * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision], 0.25], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[d, 2.8e-120], N[(N[Sqrt[N[(h / N[(l * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(D$95$m * D$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(M$95$m * M$95$m), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if d < -6.59999999999999964e-37

   1. Initial program 78.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 64.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 64.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -6.59999999999999964e-37 < d < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 53.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 51.8%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 12.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 12.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{2}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{1}}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\color{blue}{2}}}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval 27.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 27.0%

       \[\leadsto d \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{0.25}} \]

   11. Taylor expanded in h around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{{h}^{2} \cdot {\ell}^{2}}\right)}, \frac{1}{4}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot {h}^{2}}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot \left(h \cdot h\right)}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\left({\ell}^{2} \cdot h\right) \cdot h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       4. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot h}}{h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       5. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{h}}{{\ell}^{2}}}{h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{{\ell}^{2}}\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot h}\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({\ell}^{2} \cdot h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 34.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 34.6%

       \[\leadsto d \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot h}}{h}\right)}}^{0.25} \]

   if -4.999999999999985e-310 < d < 2.79999999999999994e-120

   1. Initial program 38.1%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 42.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 33.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in d around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d} \cdot \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{h}{{\ell}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{h}{{\ell}^{3}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left({\ell}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \left(\ell \cdot {\ell}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({\ell}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\ell \cdot \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot {M}^{2}}{d}\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({D}^{2} \cdot {M}^{2}\right)}{\color{blue}{d}}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \left({M}^{2} \cdot {D}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right) \cdot {D}^{2}}{d}\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left(\frac{{D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right)}{d}\right)\right) \]

      15. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left({D}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}}{d}}\right)\right) \]

      16. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \left({D}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \color{blue}{\frac{{M}^{2}}{d}}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({D}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)}\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(D \cdot D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \frac{{M}^{2}}{d}\right)\right)\right) \]

      20. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}}{\color{blue}{d}}\right)\right)\right) \]

      21. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, D\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot {M}^{2}\right), \color{blue}{d}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 40.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.125}{d}\right)} \]

   if 2.79999999999999994e-120 < d

   1. Initial program 72.4%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell \cdot h}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\ell}}{h}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell}\right), h\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \ell\right), h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 54.9%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 51.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -6.6 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;d \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;d \cdot {\left(\frac{\frac{1}{h \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}{h}\right)}^{0.25}\\ \mathbf{elif}\;d \leq 2.8 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{h}{\ell \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}} \cdot \left(\left(D \cdot D\right) \cdot \frac{\left(M \cdot M\right) \cdot -0.125}{d}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 71.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{d}{M\_m \cdot D\_m}\\ \mathbf{if}\;d \leq 5.2 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{-0.5}{t\_0} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{t\_0}}{\ell}}{\frac{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}{d}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ d (* M_m D_m))))
   (if (<= d 5.2e-304)
     (*
      (/ d (sqrt (* h l)))
      (+ (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l) -1.0))
     (/
      (+ 1.0 (/ (* (/ -0.5 t_0) (/ (/ h 4.0) t_0)) l))
      (/ (pow (* h l) 0.5) d)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double tmp;
	if (d <= 5.2e-304) {
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l)) / (pow((h * l), 0.5) / d);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = d / (m_m * d_m)
    if (d <= 5.2d-304) then
        tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l) + (-1.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 + ((((-0.5d0) / t_0) * ((h / 4.0d0) / t_0)) / l)) / (((h * l) ** 0.5d0) / d)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = d / (M_m * D_m);
	double tmp;
	if (d <= 5.2e-304) {
		tmp = (d / Math.sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l)) / (Math.pow((h * l), 0.5) / d);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = d / (M_m * D_m)
	tmp = 0
	if d <= 5.2e-304:
		tmp = (d / math.sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0)
	else:
		tmp = (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l)) / (math.pow((h * l), 0.5) / d)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(d / Float64(M_m * D_m))
	tmp = 0.0
	if (d <= 5.2e-304)
		tmp = Float64(Float64(d / sqrt(Float64(h * l))) * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(-0.5 / t_0) * Float64(Float64(h / 4.0) / t_0)) / l)) / Float64((Float64(h * l) ^ 0.5) / d));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = d / (M_m * D_m);
	tmp = 0.0;
	if (d <= 5.2e-304)
		tmp = (d / sqrt((h * l))) * (((((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l) + -1.0);
	else
		tmp = (1.0 + (((-0.5 / t_0) * ((h / 4.0) / t_0)) / l)) / (((h * l) ^ 0.5) / d);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(d / N[(M$95$m * D$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[d, 5.2e-304], N[(N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(-0.5 / t$95$0), $MachinePrecision] * N[(N[(h / 4.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(h * l), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < 5.19999999999999993e-304

   1. Initial program 67.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 42.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 42.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   8. Taylor expanded in d around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot d\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(0 - d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 66.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   if 5.19999999999999993e-304 < d

   1. Initial program 62.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left({\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2 \cdot d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot \frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{d}{M \cdot D}}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{d}{M \cdot D}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \left(M \cdot D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d} \cdot \frac{1}{\color{blue}{2}}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right) \cdot \frac{\color{blue}{h}}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right), \color{blue}{\left(\frac{h}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 65.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{h}{d}} \cdot \frac{d}{\ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\ell}{d}}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell}\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \left(\frac{h}{d}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 54.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{*.f64}\left(M, D\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \cdot \left(1 - \frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \left(\frac{\frac{0.5}{\frac{d}{M \cdot D}}}{2} \cdot \frac{h}{\ell}\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 74.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}}{\frac{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}{d}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq 5.2 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \frac{\frac{-0.5}{\frac{d}{M \cdot D}} \cdot \frac{\frac{h}{4}}{\frac{d}{M \cdot D}}}{\ell}}{\frac{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}{d}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 67.8% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\frac{\frac{D\_m \cdot \left(D\_m \cdot \left(M\_m \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\_m\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\\ t_1 := \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{if}\;\ell \leq 4.45 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(t\_0 + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - t\_0\right) \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (/ (/ (* D_m (* D_m (* M_m (* 0.125 (* h M_m))))) d) d) l))
        (t_1 (/ d (sqrt (* h l)))))
   (if (<= l 4.45e-305) (* t_1 (+ t_0 -1.0)) (* (- 1.0 t_0) t_1))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = (((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l;
	double t_1 = d / sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (l <= 4.45e-305) {
		tmp = t_1 * (t_0 + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 - t_0) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (((d_m * (d_m * (m_m * (0.125d0 * (h * m_m))))) / d) / d) / l
    t_1 = d / sqrt((h * l))
    if (l <= 4.45d-305) then
        tmp = t_1 * (t_0 + (-1.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 - t_0) * t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double t_0 = (((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l;
	double t_1 = d / Math.sqrt((h * l));
	double tmp;
	if (l <= 4.45e-305) {
		tmp = t_1 * (t_0 + -1.0);
	} else {
		tmp = (1.0 - t_0) * t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	t_0 = (((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l
	t_1 = d / math.sqrt((h * l))
	tmp = 0
	if l <= 4.45e-305:
		tmp = t_1 * (t_0 + -1.0)
	else:
		tmp = (1.0 - t_0) * t_1
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(Float64(D_m * Float64(D_m * Float64(M_m * Float64(0.125 * Float64(h * M_m))))) / d) / d) / l)
	t_1 = Float64(d / sqrt(Float64(h * l)))
	tmp = 0.0
	if (l <= 4.45e-305)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(t_0 + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - t_0) * t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	t_0 = (((D_m * (D_m * (M_m * (0.125 * (h * M_m))))) / d) / d) / l;
	t_1 = d / sqrt((h * l));
	tmp = 0.0;
	if (l <= 4.45e-305)
		tmp = t_1 * (t_0 + -1.0);
	else
		tmp = (1.0 - t_0) * t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(N[(D$95$m * N[(D$95$m * N[(M$95$m * N[(0.125 * N[(h * M$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(d / N[Sqrt[N[(h * l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[l, 4.45e-305], N[(t$95$1 * N[(t$95$0 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 4.4499999999999998e-305

   1. Initial program 68.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 42.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 42.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   8. Taylor expanded in d around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot d\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(0 - d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 66.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, d\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 66.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]

   if 4.4499999999999998e-305 < l

   1. Initial program 61.8%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. unpow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d}{h} \cdot \frac{d}{\ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      4. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d \cdot d}\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(d \cdot d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 48.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{d \cdot d}}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

      2. rem-square-sqrt 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(D, \mathsf{*.f64}\left(M, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(M, h\right)\right)\right)\right)\right), d\right), d\right), \ell\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{d}}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 4.45 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}} \cdot \left(\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell} + -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(h \cdot M\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}\right) \cdot \frac{d}{\sqrt{h \cdot \ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 45.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -3.4 \cdot 10^{-134}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq -2.6 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;d \cdot {\left(\frac{\frac{1}{h \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}{h}\right)}^{0.25}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l -3.4e-134)
   (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
   (if (<= l -2.6e-308)
     (* d (pow (/ (/ 1.0 (* h (* l l))) h) 0.25))
     (* d (sqrt (/ (/ 1.0 h) l))))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= -3.4e-134) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (l <= -2.6e-308) {
		tmp = d * pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25);
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= (-3.4d-134)) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else if (l <= (-2.6d-308)) then
        tmp = d * (((1.0d0 / (h * (l * l))) / h) ** 0.25d0)
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / h) / l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= -3.4e-134) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else if (l <= -2.6e-308) {
		tmp = d * Math.pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25);
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= -3.4e-134:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	elif l <= -2.6e-308:
		tmp = d * math.pow(((1.0 / (h * (l * l))) / h), 0.25)
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / h) / l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= -3.4e-134)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	elseif (l <= -2.6e-308)
		tmp = Float64(d * (Float64(Float64(1.0 / Float64(h * Float64(l * l))) / h) ^ 0.25));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / h) / l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= -3.4e-134)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	elseif (l <= -2.6e-308)
		tmp = d * (((1.0 / (h * (l * l))) / h) ^ 0.25);
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, -3.4e-134], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, -2.6e-308], N[(d * N[Power[N[(N[(1.0 / N[(h * N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision], 0.25], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / h), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < -3.39999999999999977e-134

   1. Initial program 67.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.1%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 54.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if -3.39999999999999977e-134 < l < -2.6e-308

   1. Initial program 69.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 18.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.4%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \left({\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{2}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{1}}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\color{blue}{2}}}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 39.8%

       \[\leadsto d \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{h \cdot \ell} \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}\right)}^{0.25}} \]

   11. Taylor expanded in h around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{{h}^{2} \cdot {\ell}^{2}}\right)}, \frac{1}{4}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot {h}^{2}}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot \left(h \cdot h\right)}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\left({\ell}^{2} \cdot h\right) \cdot h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       4. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot h}}{h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       5. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{h}}{{\ell}^{2}}}{h}\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{{\ell}^{2}}\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\ell}^{2} \cdot h}\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({\ell}^{2} \cdot h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 50.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), h\right)\right), h\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

   13. Simplified 50.8%

       \[\leadsto d \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot h}}{h}\right)}}^{0.25} \]

   if -2.6e-308 < l

   1. Initial program 62.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.5%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 42.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{h}\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, h\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 43.3%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 48.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -3.4 \cdot 10^{-134}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq -2.6 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;d \cdot {\left(\frac{\frac{1}{h \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}}{h}\right)}^{0.25}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 42.7% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq 5 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d 5e-156)
   (* (- 0.0 d) (sqrt (/ 1.0 (* h l))))
   (* d (sqrt (/ (/ 1.0 l) h)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= 5e-156) {
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= 5d-156) then
        tmp = (0.0d0 - d) * sqrt((1.0d0 / (h * l)))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / l) / h))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= 5e-156) {
		tmp = (0.0 - d) * Math.sqrt((1.0 / (h * l)));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / l) / h));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= 5e-156:
		tmp = (0.0 - d) * math.sqrt((1.0 / (h * l)))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / l) / h))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= 5e-156)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - d) * sqrt(Float64(1.0 / Float64(h * l))));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / l) / h)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= 5e-156)
		tmp = (0.0 - d) * sqrt((1.0 / (h * l)));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / l) / h));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, 5e-156], N[(N[(0.0 - d), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(h * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < 5.00000000000000007e-156

   1. Initial program 63.0%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in l around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{\left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right), \left(\color{blue}{d} \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(d \cdot {\left(\sqrt{-1}\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{2} \cdot \color{blue}{d}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\right) \cdot d\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(-1 \cdot d\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(d\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \left(0 - \color{blue}{d}\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 42.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{d}\right)\right) \]

   8. Simplified 42.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \left(0 - d\right)} \]

   if 5.00000000000000007e-156 < d

   1. Initial program 68.9%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 51.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell \cdot h}\right)\right)\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\ell}}{h}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\ell}\right), h\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 52.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \ell\right), h\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 52.0%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq 5 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;\left(0 - d\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{\ell}}{h}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 34.8% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -1.14 \cdot 10^{-60}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{h \cdot \ell}{d \cdot d}\right)}^{-0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -1.14e-60)
   (pow (/ (* h l) (* d d)) -0.5)
   (* d (sqrt (/ (/ 1.0 h) l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -1.14e-60) {
		tmp = pow(((h * l) / (d * d)), -0.5);
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-1.14d-60)) then
        tmp = ((h * l) / (d * d)) ** (-0.5d0)
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / h) / l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -1.14e-60) {
		tmp = Math.pow(((h * l) / (d * d)), -0.5);
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -1.14e-60:
		tmp = math.pow(((h * l) / (d * d)), -0.5)
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / h) / l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -1.14e-60)
		tmp = Float64(Float64(h * l) / Float64(d * d)) ^ -0.5;
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / h) / l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -1.14e-60)
		tmp = ((h * l) / (d * d)) ^ -0.5;
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -1.14e-60], N[Power[N[(N[(h * l), $MachinePrecision] / N[(d * d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / h), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -1.14000000000000001e-60

   1. Initial program 76.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \sqrt{d \cdot d} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      3. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(d \cdot d\right) \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}} \]

      6. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}} \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}} \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

      9. clear-num N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}}} \]

      10. inv-pow N/A

          \[\leadsto \sqrt{{\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right)}^{-1}} \]

      11. sqrt-pow1 N/A

          \[\leadsto {\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{-1}{2}\right)}} \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right)}^{\frac{-1}{2}} \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

      15. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{h}{d}}{\frac{d}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

      16. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{d}{h}}}{\frac{d}{\ell}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{2}\right)\right)\right) \]

      17. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      18. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{h \cdot \ell}{d \cdot d}}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      21. remove-double-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{h \cdot \ell}{d \cdot d}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      22. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right), \left(d \cdot d\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \left(d \cdot d\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{2}\right)\right)\right) \]

      24. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(d, d\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 38.2%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{h \cdot \ell}{d \cdot d}\right)}^{-0.5}} \]

   if -1.14000000000000001e-60 < d

   1. Initial program 60.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{h}\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 34.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, h\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 34.1%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 23: 38.7% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -1.75 \cdot 10^{-249}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= l -1.75e-249)
   (sqrt (/ (/ d l) (/ h d)))
   (* d (sqrt (/ (/ 1.0 h) l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= -1.75e-249) {
		tmp = sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= (-1.75d-249)) then
        tmp = sqrt(((d / l) / (h / d)))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / h) / l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (l <= -1.75e-249) {
		tmp = Math.sqrt(((d / l) / (h / d)));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if l <= -1.75e-249:
		tmp = math.sqrt(((d / l) / (h / d)))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / h) / l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= -1.75e-249)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(d / l) / Float64(h / d)));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / h) / l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= -1.75e-249)
		tmp = sqrt(((d / l) / (h / d)));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[l, -1.75e-249], N[Sqrt[N[(N[(d / l), $MachinePrecision] / N[(h / d), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / h), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < -1.75000000000000006e-249

   1. Initial program 69.5%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   7. Applied egg-rr 42.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \frac{\left(M \cdot D\right) \cdot \left(\left(h \cdot \left(M \cdot 0.125\right)\right) \cdot D\right)}{\left(d \cdot \ell\right) \cdot d}\right) \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}} \]

   8. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(h, d\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 33.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

   if -1.75000000000000006e-249 < l

   1. Initial program 61.3%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 42.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 42.2%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{h}\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 42.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, h\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 42.6%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -1.75 \cdot 10^{-249}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 35.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -6.5 \cdot 10^{-57}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -6.5e-57) (sqrt (/ (/ (* d d) l) h)) (* d (sqrt (/ (/ 1.0 h) l)))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -6.5e-57) {
		tmp = sqrt((((d * d) / l) / h));
	} else {
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-6.5d-57)) then
        tmp = sqrt((((d * d) / l) / h))
    else
        tmp = d * sqrt(((1.0d0 / h) / l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -6.5e-57) {
		tmp = Math.sqrt((((d * d) / l) / h));
	} else {
		tmp = d * Math.sqrt(((1.0 / h) / l));
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -6.5e-57:
		tmp = math.sqrt((((d * d) / l) / h))
	else:
		tmp = d * math.sqrt(((1.0 / h) / l))
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -6.5e-57)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(Float64(d * d) / l) / h));
	else
		tmp = Float64(d * sqrt(Float64(Float64(1.0 / h) / l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -6.5e-57)
		tmp = sqrt((((d * d) / l) / h));
	else
		tmp = d * sqrt(((1.0 / h) / l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -6.5e-57], N[Sqrt[N[(N[(N[(d * d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / h), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -6.49999999999999992e-57

   1. Initial program 76.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \sqrt{d \cdot d} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      3. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(d \cdot d\right) \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}} \]

      6. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}} \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}} \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right) \]

      10. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}\right)\right) \]

      11. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}\right)\right) \]

      12. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}\right)\right) \]

      13. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d \cdot d}{\ell}\right), h\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(d \cdot d\right), \ell\right), h\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 37.9%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right), \ell\right), h\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}}} \]

   if -6.49999999999999992e-57 < d

   1. Initial program 60.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{h}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{h}\right), \ell\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 34.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, h\right), \ell\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 34.1%

       \[\leadsto d \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{h}}{\ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 25: 34.9% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d \leq -3.4 \cdot 10^{-60}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{d}{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m)
 :precision binary64
 (if (<= d -3.4e-60) (sqrt (/ (/ (* d d) l) h)) (/ d (pow (* h l) 0.5))))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -3.4e-60) {
		tmp = sqrt((((d * d) / l) / h));
	} else {
		tmp = d / pow((h * l), 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    real(8) :: tmp
    if (d <= (-3.4d-60)) then
        tmp = sqrt((((d * d) / l) / h))
    else
        tmp = d / ((h * l) ** 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	double tmp;
	if (d <= -3.4e-60) {
		tmp = Math.sqrt((((d * d) / l) / h));
	} else {
		tmp = d / Math.pow((h * l), 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	tmp = 0
	if d <= -3.4e-60:
		tmp = math.sqrt((((d * d) / l) / h))
	else:
		tmp = d / math.pow((h * l), 0.5)
	return tmp

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0
	if (d <= -3.4e-60)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(Float64(d * d) / l) / h));
	else
		tmp = Float64(d / (Float64(h * l) ^ 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp_2 = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = 0.0;
	if (d <= -3.4e-60)
		tmp = sqrt((((d * d) / l) / h));
	else
		tmp = d / ((h * l) ^ 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := If[LessEqual[d, -3.4e-60], N[Sqrt[N[(N[(N[(d * d), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(d / N[Power[N[(h * l), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if d < -3.40000000000000007e-60

   1. Initial program 76.6%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{d} \cdot \sqrt{d}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      2. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \sqrt{d \cdot d} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]

      3. sqrt-unprod N/A

         \[\leadsto \sqrt{\left(d \cdot d\right) \cdot \frac{1}{h \cdot \ell}} \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{h \cdot \ell}} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}} \]

      6. frac-times N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}} \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}} \]

      8. div-inv N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}} \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d}{\ell}}{\frac{h}{d}}\right)\right) \]

      10. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{h}{d}}\right)\right) \]

      11. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d}{\ell} \cdot \frac{d}{h}\right)\right) \]

      12. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{d \cdot d}{\ell \cdot h}\right)\right) \]

      13. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{d \cdot d}{\ell}\right), h\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(d \cdot d\right), \ell\right), h\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 37.9%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(d, d\right), \ell\right), h\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\frac{d \cdot d}{\ell}}{h}}} \]

   if -3.40000000000000007e-60 < d

   1. Initial program 60.2%

      \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.3%

      \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

   6. Taylor expanded in d around inf

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 33.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{2}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval 34.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 34.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 26: 26.4% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ \frac{d}{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m) :precision binary64 (/ d (pow (* h l) 0.5)))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d / pow((h * l), 0.5);
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    code = d / ((h * l) ** 0.5d0)
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d / Math.pow((h * l), 0.5);
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	return d / math.pow((h * l), 0.5)

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	return Float64(d / (Float64(h * l) ^ 0.5))
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = d / ((h * l) ^ 0.5);
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := N[(d / N[Power[N[(h * l), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.2%

   \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 59.5%

   \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

6. Taylor expanded in d around inf

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 25.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 25.4%

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-div N/A

      \[\leadsto d \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto d \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{h \cdot \ell}}} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{d}{\color{blue}{\sqrt{h \cdot \ell}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{h \cdot \ell}\right)}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\left(\frac{1}{\color{blue}{2}}\right)}\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{2}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval 25.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(d, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 25.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{d}{{\left(h \cdot \ell\right)}^{0.5}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 27: 26.4% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} M_m = \left|M\right| \\ D_m = \left|D\right| \\ [d, h, l, M_m, D_m] = \mathsf{sort}([d, h, l, M_m, D_m])\\ \\ d \cdot {\left(h \cdot \ell\right)}^{-0.5} \end{array} \]

FPCore

M_m = (fabs.f64 M)
D_m = (fabs.f64 D)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (d h l M_m D_m) :precision binary64 (* d (pow (* h l) -0.5)))

C

M_m = fabs(M);
D_m = fabs(D);
assert(d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m);
double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d * pow((h * l), -0.5);
}

Fortran

M_m = abs(m)
D_m = abs(d)
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(d, h, l, m_m, d_m)
    real(8), intent (in) :: d
    real(8), intent (in) :: h
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: m_m
    real(8), intent (in) :: d_m
    code = d * ((h * l) ** (-0.5d0))
end function

Java

M_m = Math.abs(M);
D_m = Math.abs(D);
assert d < h && h < l && l < M_m && M_m < D_m;
public static double code(double d, double h, double l, double M_m, double D_m) {
	return d * Math.pow((h * l), -0.5);
}

Python

M_m = math.fabs(M)
D_m = math.fabs(D)
[d, h, l, M_m, D_m] = sort([d, h, l, M_m, D_m])
def code(d, h, l, M_m, D_m):
	return d * math.pow((h * l), -0.5)

Julia

M_m = abs(M)
D_m = abs(D)
d, h, l, M_m, D_m = sort([d, h, l, M_m, D_m])
function code(d, h, l, M_m, D_m)
	return Float64(d * (Float64(h * l) ^ -0.5))
end

MATLAB

M_m = abs(M);
D_m = abs(D);
d, h, l, M_m, D_m = num2cell(sort([d, h, l, M_m, D_m])){:}
function tmp = code(d, h, l, M_m, D_m)
	tmp = d * ((h * l) ^ -0.5);
end

Wolfram

M_m = N[Abs[M], $MachinePrecision]
D_m = N[Abs[D], $MachinePrecision]
NOTE: d, h, l, M_m, and D_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[d_, h_, l_, M$95$m_, D$95$m_] := N[(d * N[Power[N[(h * l), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.2%

   \[\left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\frac{M \cdot D}{2 \cdot d}\right)}^{2}\right) \cdot \frac{h}{\ell}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2} \cdot \ell}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, h\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(d, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{D}^{2} \cdot \left({M}^{2} \cdot h\right)}{{d}^{2}}\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 59.5%

   \[\leadsto \left({\left(\frac{d}{h}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{d}{\ell}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\frac{\frac{\frac{D \cdot \left(D \cdot \left(M \cdot \left(0.125 \cdot \left(M \cdot h\right)\right)\right)\right)}{d}}{d}}{\ell}}\right) \]

6. Taylor expanded in d around inf

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{h \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(h \cdot \ell\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 25.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(d, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 25.4%

   \[\leadsto \color{blue}{d \cdot \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}} \cdot \color{blue}{d} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{h \cdot \ell}}\right), \color{blue}{d}\right) \]

   3. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(h \cdot \ell\right)}^{-1}}\right), d\right) \]

   4. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), d\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), d\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), d\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(h \cdot \ell\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), d\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(h \cdot \ell\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), d\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), d\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), d\right) \]

   11. metadata-eval 25.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(h, \ell\right), \frac{-1}{2}\right), d\right) \]

10. Applied egg-rr 25.6%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(h \cdot \ell\right)}^{-0.5} \cdot d} \]

11. Final simplification 25.6%

    \[\leadsto d \cdot {\left(h \cdot \ell\right)}^{-0.5} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (d h l M D)
  :name "Henrywood and Agarwal, Equation (12)"
  :precision binary64
  (* (* (pow (/ d h) (/ 1.0 2.0)) (pow (/ d l) (/ 1.0 2.0))) (- 1.0 (* (* (/ 1.0 2.0) (pow (/ (* M D) (* 2.0 d)) 2.0)) (/ h l)))))