Maksimov and Kolovsky, Equation (32)

Percentage Accurate: 76.7% → 96.8%

Time: 13.3s

Alternatives: 13

Speedup: 2.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 76.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (*
  (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M))
  (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - fabs((m - n)))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = cos((((k * (m + n)) / 2.0d0) - m_1)) * exp((-((((m + n) / 2.0d0) - m_1) ** 2.0d0) - (l - abs((m - n)))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return Math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * Math.exp((-Math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - Math.abs((m - n)))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return math.cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * math.exp((-math.pow((((m + n) / 2.0) - M), 2.0) - (l - math.fabs((m - n)))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(cos(Float64(Float64(Float64(K * Float64(m + n)) / 2.0) - M)) * exp(Float64(Float64(-(Float64(Float64(Float64(m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0)) - Float64(l - abs(Float64(m - n))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = cos((((K * (m + n)) / 2.0) - M)) * exp((-((((m + n) / 2.0) - M) ^ 2.0) - (l - abs((m - n)))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(N[Cos[N[(N[(N[(K * N[(m + n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[((-N[Power[N[(N[(N[(m + n), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]) - N[(l - N[Abs[N[(m - n), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(n + m\right)\\ \cos M \cdot e^{\left|n - m\right| + \left(\left(t\_0 - M\right) \cdot \left(M - t\_0\right) - \ell\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (+ n m))))
   (* (cos M) (exp (+ (fabs (- n m)) (- (* (- t_0 M) (- M t_0)) l))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = 0.5 * (n + m);
	return cos(M) * exp((fabs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * (n + m)
    code = cos(m_1) * exp((abs((n - m)) + (((t_0 - m_1) * (m_1 - t_0)) - l)))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = 0.5 * (n + m);
	return Math.cos(M) * Math.exp((Math.abs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = 0.5 * (n + m)
	return math.cos(M) * math.exp((math.fabs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = Float64(0.5 * Float64(n + m))
	return Float64(cos(M) * exp(Float64(abs(Float64(n - m)) + Float64(Float64(Float64(t_0 - M) * Float64(M - t_0)) - l))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = 0.5 * (n + m);
	tmp = cos(M) * exp((abs((n - m)) + (((t_0 - M) * (M - t_0)) - l)));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$0 - M), $MachinePrecision] * N[(M - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\left|n - m\right| + \left(\left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(M - 0.5 \cdot \left(n + m\right)\right) - \ell\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 71.3% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.22 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3.9 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;\cos \left(\frac{K}{\frac{2}{n + m}} - M\right) \cdot e^{\left(\left|n - m\right| - \ell\right) - M \cdot M}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= n -1.22e-119)
   (* (cos M) (exp (* -0.25 (* m m))))
   (if (<= n 3.9e-176)
     (* (cos M) (* -0.0026041666666666665 (pow n 6.0)))
     (if (<= n 54.0)
       (*
        (cos (- (/ K (/ 2.0 (+ n m))) M))
        (exp (- (- (fabs (- n m)) l) (* M M))))
       (exp (* -0.25 (* n n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.22e-119) {
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3.9e-176) {
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = cos(((K / (2.0 / (n + m))) - M)) * exp(((fabs((n - m)) - l) - (M * M)));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (n <= (-1.22d-119)) then
        tmp = cos(m_1) * exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (n <= 3.9d-176) then
        tmp = cos(m_1) * ((-0.0026041666666666665d0) * (n ** 6.0d0))
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = cos(((k / (2.0d0 / (n + m))) - m_1)) * exp(((abs((n - m)) - l) - (m_1 * m_1)))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.22e-119) {
		tmp = Math.cos(M) * Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 3.9e-176) {
		tmp = Math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * Math.pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.cos(((K / (2.0 / (n + m))) - M)) * Math.exp(((Math.abs((n - m)) - l) - (M * M)));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if n <= -1.22e-119:
		tmp = math.cos(M) * math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif n <= 3.9e-176:
		tmp = math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * math.pow(n, 6.0))
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.cos(((K / (2.0 / (n + m))) - M)) * math.exp(((math.fabs((n - m)) - l) - (M * M)))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (n <= -1.22e-119)
		tmp = Float64(cos(M) * exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m))));
	elseif (n <= 3.9e-176)
		tmp = Float64(cos(M) * Float64(-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0)));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = Float64(cos(Float64(Float64(K / Float64(2.0 / Float64(n + m))) - M)) * exp(Float64(Float64(abs(Float64(n - m)) - l) - Float64(M * M))));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (n <= -1.22e-119)
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (n <= 3.9e-176)
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = cos(((K / (2.0 / (n + m))) - M)) * exp(((abs((n - m)) - l) - (M * M)));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[n, -1.22e-119], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 3.9e-176], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[(-0.0026041666666666665 * N[Power[n, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 54.0], N[(N[Cos[N[(N[(K / N[(2.0 / N[(n + m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - M), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[(N[Abs[N[(n - m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - l), $MachinePrecision] - N[(M * M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if n < -1.22e-119

   1. Initial program 68.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in m around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 49.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 49.7%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -1.22e-119 < n < 3.8999999999999997e-176

   1. Initial program 71.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 7.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 7.5%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in n around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 7.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 7.5%

       \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(-0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot -0.0026041666666666665\right)\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{384} \cdot \left({n}^{6} \cdot \cos M\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos M} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)}\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{384}} \cdot {n}^{6}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \color{blue}{\left({n}^{6}\right)}\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 88.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \mathsf{pow.f64}\left(n, \color{blue}{6}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 88.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)} \]

   if 3.8999999999999997e-176 < n < 54

   1. Initial program 85.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\left({M}^{2}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(M \cdot M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 78.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(K, \mathsf{+.f64}\left(m, n\right)\right), 2\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-\color{blue}{M \cdot M}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(K \cdot \frac{m + n}{2}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(K \cdot \frac{1}{\frac{2}{m + n}}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \color{blue}{M}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{K}{\frac{2}{m + n}}\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(K, \left(\frac{2}{m + n}\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(K, \mathsf{/.f64}\left(2, \left(m + n\right)\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, \color{blue}{M}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(K, \mathsf{/.f64}\left(2, \left(n + m\right)\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(K, \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right)\right), M\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\ell, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(m, n\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\frac{K}{\frac{2}{n + m}} - M\right)} \cdot e^{\left(-M \cdot M\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]

   if 54 < n

   1. Initial program 71.0%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 97.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 97.1%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 97.1%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 77.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.22 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 3.9 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;\cos \left(\frac{K}{\frac{2}{n + m}} - M\right) \cdot e^{\left(\left|n - m\right| - \ell\right) - M \cdot M}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 72.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.22 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 5.7 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= n -1.22e-119)
   (* (cos M) (exp (* -0.25 (* m m))))
   (if (<= n 5.7e-74)
     (* (cos M) (* -0.0026041666666666665 (pow n 6.0)))
     (if (<= n 54.0) (exp (* M (- 0.0 M))) (exp (* -0.25 (* n n)))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.22e-119) {
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 5.7e-74) {
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (n <= (-1.22d-119)) then
        tmp = cos(m_1) * exp(((-0.25d0) * (m * m)))
    else if (n <= 5.7d-74) then
        tmp = cos(m_1) * ((-0.0026041666666666665d0) * (n ** 6.0d0))
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = exp((m_1 * (0.0d0 - m_1)))
    else
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (n <= -1.22e-119) {
		tmp = Math.cos(M) * Math.exp((-0.25 * (m * m)));
	} else if (n <= 5.7e-74) {
		tmp = Math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * Math.pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if n <= -1.22e-119:
		tmp = math.cos(M) * math.exp((-0.25 * (m * m)))
	elif n <= 5.7e-74:
		tmp = math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * math.pow(n, 6.0))
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.exp((M * (0.0 - M)))
	else:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (n <= -1.22e-119)
		tmp = Float64(cos(M) * exp(Float64(-0.25 * Float64(m * m))));
	elseif (n <= 5.7e-74)
		tmp = Float64(cos(M) * Float64(-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0)));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp(Float64(M * Float64(0.0 - M)));
	else
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (n <= -1.22e-119)
		tmp = cos(M) * exp((-0.25 * (m * m)));
	elseif (n <= 5.7e-74)
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	else
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[n, -1.22e-119], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(-0.25 * N[(m * m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 5.7e-74], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[(-0.0026041666666666665 * N[Power[n, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 54.0], N[Exp[N[(M * N[(0.0 - M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if n < -1.22e-119

   1. Initial program 68.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in m around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {m}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({m}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(m \cdot m\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 49.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(m, m\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 49.7%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}} \]

   if -1.22e-119 < n < 5.70000000000000025e-74

   1. Initial program 75.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 6.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in n around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 6.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 6.6%

       \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(-0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot -0.0026041666666666665\right)\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{384} \cdot \left({n}^{6} \cdot \cos M\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos M} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)}\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{384}} \cdot {n}^{6}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \color{blue}{\left({n}^{6}\right)}\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 88.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \mathsf{pow.f64}\left(n, \color{blue}{6}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 88.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)} \]

   if 5.70000000000000025e-74 < n < 54

   1. Initial program 83.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 73.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 73.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]

   if 54 < n

   1. Initial program 71.0%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 97.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 97.1%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 97.1%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 77.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.22 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{-0.25 \cdot \left(m \cdot m\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 5.7 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 83.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -1.85 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 5.7 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -1.85e-13)
     t_0
     (if (<= n 5.7e-74)
       (* (cos M) (* -0.0026041666666666665 (pow n 6.0)))
       (if (<= n 54.0) (exp (* M (- 0.0 M))) t_0)))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -1.85e-13) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 5.7e-74) {
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-1.85d-13)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 5.7d-74) then
        tmp = cos(m_1) * ((-0.0026041666666666665d0) * (n ** 6.0d0))
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = exp((m_1 * (0.0d0 - m_1)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -1.85e-13) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 5.7e-74) {
		tmp = Math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * Math.pow(n, 6.0));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -1.85e-13:
		tmp = t_0
	elif n <= 5.7e-74:
		tmp = math.cos(M) * (-0.0026041666666666665 * math.pow(n, 6.0))
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.exp((M * (0.0 - M)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -1.85e-13)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 5.7e-74)
		tmp = Float64(cos(M) * Float64(-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0)));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp(Float64(M * Float64(0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -1.85e-13)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 5.7e-74)
		tmp = cos(M) * (-0.0026041666666666665 * (n ^ 6.0));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -1.85e-13], t$95$0, If[LessEqual[n, 5.7e-74], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[(-0.0026041666666666665 * N[Power[n, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 54.0], N[Exp[N[(M * N[(0.0 - M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -1.84999999999999994e-13 or 54 < n

   1. Initial program 69.5%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -1.84999999999999994e-13 < n < 5.70000000000000025e-74

   1. Initial program 74.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 6.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in n around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \color{blue}{\left(1 + {n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{{n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({n}^{2} \cdot \left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32}} + \frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \left({n}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left({n}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{384}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\left(n \cdot n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 6.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{32}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(n, n\right), \frac{-1}{384}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 6.8%

       \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(-0.25 + \left(n \cdot n\right) \cdot \left(0.03125 + \left(n \cdot n\right) \cdot -0.0026041666666666665\right)\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in n around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{384} \cdot \left({n}^{6} \cdot \cos M\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos M} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos M \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \color{blue}{\left(\frac{-1}{384} \cdot {n}^{6}\right)}\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{384}} \cdot {n}^{6}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \color{blue}{\left({n}^{6}\right)}\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 80.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{384}, \mathsf{pow.f64}\left(n, \color{blue}{6}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 80.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)} \]

   if 5.70000000000000025e-74 < n < 54

   1. Initial program 83.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 73.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 73.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -1.85 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 5.7 \cdot 10^{-74}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot \left(-0.0026041666666666665 \cdot {n}^{6}\right)\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 73.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -8.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 1.35 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{0 - \ell}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -8.2e-14)
     t_0
     (if (<= n 1.35e-278)
       (* (cos M) (exp (- 0.0 l)))
       (if (<= n 54.0) (exp (* M (- 0.0 M))) t_0)))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -8.2e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 1.35e-278) {
		tmp = cos(M) * exp((0.0 - l));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-8.2d-14)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 1.35d-278) then
        tmp = cos(m_1) * exp((0.0d0 - l))
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = exp((m_1 * (0.0d0 - m_1)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -8.2e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 1.35e-278) {
		tmp = Math.cos(M) * Math.exp((0.0 - l));
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -8.2e-14:
		tmp = t_0
	elif n <= 1.35e-278:
		tmp = math.cos(M) * math.exp((0.0 - l))
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.exp((M * (0.0 - M)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -8.2e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 1.35e-278)
		tmp = Float64(cos(M) * exp(Float64(0.0 - l)));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp(Float64(M * Float64(0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -8.2e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 1.35e-278)
		tmp = cos(M) * exp((0.0 - l));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -8.2e-14], t$95$0, If[LessEqual[n, 1.35e-278], N[(N[Cos[M], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - l), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 54.0], N[Exp[N[(M * N[(0.0 - M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -8.2000000000000004e-14 or 54 < n

   1. Initial program 69.5%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 96.2%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -8.2000000000000004e-14 < n < 1.3500000000000001e-278

   1. Initial program 68.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 53.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   if 1.3500000000000001e-278 < n < 54

   1. Initial program 82.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 65.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 65.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -8.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 1.35 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;\cos M \cdot e^{0 - \ell}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 73.1% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{if}\;n \leq -10.6:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;n \leq 2.7 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{e^{\ell}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* -0.25 (* n n)))))
   (if (<= n -10.6)
     t_0
     (if (<= n 2.7e-275)
       (/ 1.0 (exp l))
       (if (<= n 54.0) (exp (* M (- 0.0 M))) t_0)))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -10.6) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 2.7e-275) {
		tmp = 1.0 / exp(l);
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    if (n <= (-10.6d0)) then
        tmp = t_0
    else if (n <= 2.7d-275) then
        tmp = 1.0d0 / exp(l)
    else if (n <= 54.0d0) then
        tmp = exp((m_1 * (0.0d0 - m_1)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double t_0 = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	double tmp;
	if (n <= -10.6) {
		tmp = t_0;
	} else if (n <= 2.7e-275) {
		tmp = 1.0 / Math.exp(l);
	} else if (n <= 54.0) {
		tmp = Math.exp((M * (0.0 - M)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	t_0 = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	tmp = 0
	if n <= -10.6:
		tmp = t_0
	elif n <= 2.7e-275:
		tmp = 1.0 / math.exp(l)
	elif n <= 54.0:
		tmp = math.exp((M * (0.0 - M)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)))
	tmp = 0.0
	if (n <= -10.6)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 2.7e-275)
		tmp = Float64(1.0 / exp(l));
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp(Float64(M * Float64(0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	t_0 = exp((-0.25 * (n * n)));
	tmp = 0.0;
	if (n <= -10.6)
		tmp = t_0;
	elseif (n <= 2.7e-275)
		tmp = 1.0 / exp(l);
	elseif (n <= 54.0)
		tmp = exp((M * (0.0 - M)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[n, -10.6], t$95$0, If[LessEqual[n, 2.7e-275], N[(1.0 / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[n, 54.0], N[Exp[N[(M * N[(0.0 - M), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if n < -10.5999999999999996 or 54 < n

   1. Initial program 69.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 96.9%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 96.9%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if -10.5999999999999996 < n < 2.69999999999999993e-275

   1. Initial program 68.8%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-neg N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f64 52.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   11. Simplified 52.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

   if 2.69999999999999993e-275 < n < 54

   1. Initial program 82.9%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in M around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 65.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 65.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot e^{0 - M \cdot M} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -10.6:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 2.7 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{e^{\ell}}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 54:\\ \;\;\;\;e^{M \cdot \left(0 - M\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 70.6% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -1.06 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 0.135:\\ \;\;\;\;e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{e^{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= l -1.06e+106)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* l (+ 1.0 (* l (+ 0.5 (* l 0.16666666666666666)))))))
   (if (<= l 0.135) (exp (* -0.25 (* n n))) (/ 1.0 (exp l)))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (l <= -1.06e+106) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	} else if (l <= 0.135) {
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	} else {
		tmp = 1.0 / exp(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (l <= (-1.06d+106)) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (l * (1.0d0 + (l * (0.5d0 + (l * 0.16666666666666666d0))))))
    else if (l <= 0.135d0) then
        tmp = exp(((-0.25d0) * (n * n)))
    else
        tmp = 1.0d0 / exp(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (l <= -1.06e+106) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	} else if (l <= 0.135) {
		tmp = Math.exp((-0.25 * (n * n)));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.exp(l);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if l <= -1.06e+106:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))))
	elif l <= 0.135:
		tmp = math.exp((-0.25 * (n * n)))
	else:
		tmp = 1.0 / math.exp(l)
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (l <= -1.06e+106)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(l * Float64(1.0 + Float64(l * Float64(0.5 + Float64(l * 0.16666666666666666)))))));
	elseif (l <= 0.135)
		tmp = exp(Float64(-0.25 * Float64(n * n)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / exp(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (l <= -1.06e+106)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	elseif (l <= 0.135)
		tmp = exp((-0.25 * (n * n)));
	else
		tmp = 1.0 / exp(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[l, -1.06e+106], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(l * N[(1.0 + N[(l * N[(0.5 + N[(l * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[l, 0.135], N[Exp[N[(-0.25 * N[(n * n), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < -1.06e106

   1. Initial program 63.2%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 22.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.2%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-neg N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f64 22.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   11. Simplified 22.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

   12. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 74.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 74.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if -1.06e106 < l < 0.13500000000000001

   1. Initial program 70.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in n around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 63.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {n}^{2}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({n}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(n \cdot n\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 63.8%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(n, n\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 63.8%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-0.25 \cdot \left(n \cdot n\right)}} \]

   if 0.13500000000000001 < l

   1. Initial program 81.3%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 97.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-neg N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f64 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   11. Simplified 97.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 43.4% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq -1.7 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{e^{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (if (<= l -1.7e+79)
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* l (+ 1.0 (* l (+ 0.5 (* l 0.16666666666666666)))))))
   (/ 1.0 (exp l))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (l <= -1.7e+79) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / exp(l);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    real(8) :: tmp
    if (l <= (-1.7d+79)) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (l * (1.0d0 + (l * (0.5d0 + (l * 0.16666666666666666d0))))))
    else
        tmp = 1.0d0 / exp(l)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	double tmp;
	if (l <= -1.7e+79) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.exp(l);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	tmp = 0
	if l <= -1.7e+79:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))))
	else:
		tmp = 1.0 / math.exp(l)
	return tmp

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0
	if (l <= -1.7e+79)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(l * Float64(1.0 + Float64(l * Float64(0.5 + Float64(l * 0.16666666666666666)))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / exp(l));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 0.0;
	if (l <= -1.7e+79)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
	else
		tmp = 1.0 / exp(l);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := If[LessEqual[l, -1.7e+79], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(l * N[(1.0 + N[(l * N[(0.5 + N[(l * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Exp[l], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < -1.70000000000000016e79

   1. Initial program 63.6%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 19.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 19.4%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-neg N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f64 19.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   11. Simplified 19.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

   12. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 69.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 69.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if -1.70000000000000016e79 < l

   1. Initial program 74.4%

      \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in K around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. fabs-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 40.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 40.8%

      \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

   9. Taylor expanded in M around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. exp-neg N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

       3. exp-lowering-exp.f64 40.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

   11. Simplified 40.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 35.0% accurate, 28.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* l (+ 1.0 (* l (+ 0.5 (* l 0.16666666666666666))))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (l * (1.0d0 + (l * (0.5d0 + (l * 0.16666666666666666d0))))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(l * Float64(1.0 + Float64(l * Float64(0.5 + Float64(l * 0.16666666666666666)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * (0.5 + (l * 0.16666666666666666))))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(l * N[(1.0 + N[(l * N[(0.5 + N[(l * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in l around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

9. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. exp-neg N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f64 37.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

11. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

12. Taylor expanded in l around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 35.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 35.4%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot \left(0.5 + \ell \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 27.8% accurate, 38.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* l (+ 1.0 (* l 0.5))))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * 0.5))));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (l * (1.0d0 + (l * 0.5d0))))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * 0.5))));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * 0.5))))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(l * Float64(1.0 + Float64(l * 0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (l * (1.0 + (l * 0.5))));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(l * N[(1.0 + N[(l * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in l around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

9. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. exp-neg N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f64 37.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

11. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

12. Taylor expanded in l around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \ell \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \ell\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \ell\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 27.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 27.7%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \ell \cdot \left(1 + \ell \cdot 0.5\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 9.1% accurate, 47.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \ell \cdot \left(\ell \cdot 0.5 + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 (+ 1.0 (* l (+ (* l 0.5) -1.0))))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 + (l * ((l * 0.5) + -1.0));
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0 + (l * ((l * 0.5d0) + (-1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 + (l * ((l * 0.5) + -1.0));
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0 + (l * ((l * 0.5) + -1.0))

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(1.0 + Float64(l * Float64(Float64(l * 0.5) + -1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0 + (l * ((l * 0.5) + -1.0));
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(1.0 + N[(l * N[(N[(l * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in l around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

9. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. exp-neg N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f64 37.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

11. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

12. Taylor expanded in l around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \ell \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \ell - 1\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\ell \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \ell - 1\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \ell - 1\right)}\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{2} \cdot \ell + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{1}{2} \cdot \ell + -1\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(-1 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \ell}\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \ell\right)}\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 7.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 7.0%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \ell \cdot \left(-1 + \ell \cdot 0.5\right)} \]

15. Final simplification 7.0%

    \[\leadsto 1 + \ell \cdot \left(\ell \cdot 0.5 + -1\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 12: 7.7% accurate, 85.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\ell + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 (/ 1.0 (+ l 1.0)))

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (l + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0 / (l + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0 / (l + 1.0);
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0 / (l + 1.0)

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return Float64(1.0 / Float64(l + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0 / (l + 1.0);
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := N[(1.0 / N[(l + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in l around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \ell\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\ell\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - \ell\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 37.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \ell\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.1%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - \ell}} \]

9. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(\ell\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. exp-neg N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\ell}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\ell}\right)}\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f64 37.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\ell\right)\right) \]

11. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{\ell}}} \]

12. Taylor expanded in l around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \ell\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 6.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\ell}\right)\right) \]

14. Simplified 6.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + \ell}} \]

15. Final simplification 6.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\ell + 1} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 13: 6.8% accurate, 425.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (K m n M l) :precision binary64 1.0)

C

double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(k, m, n, m_1, l)
    real(8), intent (in) :: k
    real(8), intent (in) :: m
    real(8), intent (in) :: n
    real(8), intent (in) :: m_1
    real(8), intent (in) :: l
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double K, double m, double n, double M, double l) {
	return 1.0;
}

Python

def code(K, m, n, M, l):
	return 1.0

Julia

function code(K, m, n, M, l)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(K, m, n, M, l)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[K_, m_, n_, M_, l_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 72.5%

   \[\cos \left(\frac{K \cdot \left(m + n\right)}{2} - M\right) \cdot e^{\left(-{\left(\frac{m + n}{2} - M\right)}^{2}\right) - \left(\ell - \left|m - n\right|\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in K around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right) \cdot e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(M\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos M, \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \left(e^{\color{blue}{\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)}}\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left|m - n\right| - \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|m - n\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fabs-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n - m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left|n + -1 \cdot m\right|\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + -1 \cdot m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n + \left(\mathsf{neg}\left(m\right)\right)\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\left(n - m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \left(\ell + {\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left({\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(m + n\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(n + m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right) - M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(n, m\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(n, m\right)\right), M\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(m + n\right)\right), M\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos M \cdot e^{\left|n - m\right| - \left(\ell + \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(n + m\right) - M\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in M around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {M}^{2}\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - {M}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left({M}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(M \cdot M\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 51.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(M\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(M, M\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 51.0%

   \[\leadsto \cos M \cdot e^{\color{blue}{0 - M \cdot M}} \]

9. Taylor expanded in M around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 5.2%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (K m n M l)
  :name "Maksimov and Kolovsky, Equation (32)"
  :precision binary64
  (* (cos (- (/ (* K (+ m n)) 2.0) M)) (exp (- (- (pow (- (/ (+ m n) 2.0) M) 2.0)) (- l (fabs (- m n)))))))