Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.2% → 100.0%

Time: 13.4s

Alternatives: 15

Speedup: 22.9×

• 49.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sinh x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (sinh x))

C

double code(double x) {
	return sinh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sinh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sinh(x);
}

Python

def code(x):
	return math.sinh(x)

Julia

function code(x)
	return sinh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sinh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Sinh[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sinh-def N/A

      \[\leadsto \sinh x \]

   2. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{sinh.f64}\left(x\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sinh x} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 74.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\\ t_1 := x \cdot t\_0\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)\\ t_3 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{8 + t\_3 \cdot t\_2}{4 + t\_3 \cdot \left(t\_3 + -2\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - t\_2}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.3333333333333333
          (*
           (* x x)
           (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968))))))
        (t_1 (* x t_0))
        (t_2 (* (* x x) (* t_1 t_1)))
        (t_3 (* (* x x) t_0)))
   (if (<= x 1.8e+26)
     (/ (* x (/ (+ 8.0 (* t_3 t_2)) (+ 4.0 (* t_3 (+ t_3 -2.0))))) 2.0)
     (if (<= x 5e+60)
       (/
        (*
         x
         (/
          (- 4.0 t_2)
          (-
           2.0
           (*
            (* x x)
            (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.016666666666666666))))))
        2.0)
       (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968))));
	double t_1 = x * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (t_1 * t_1);
	double t_3 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+26) {
		tmp = (x * ((8.0 + (t_3 * t_2)) / (4.0 + (t_3 * (t_3 + -2.0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - t_2) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.3333333333333333d0 + ((x * x) * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0))))
    t_1 = x * t_0
    t_2 = (x * x) * (t_1 * t_1)
    t_3 = (x * x) * t_0
    if (x <= 1.8d+26) then
        tmp = (x * ((8.0d0 + (t_3 * t_2)) / (4.0d0 + (t_3 * (t_3 + (-2.0d0)))))) / 2.0d0
    else if (x <= 5d+60) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - t_2) / (2.0d0 - ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.016666666666666666d0)))))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968))));
	double t_1 = x * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (t_1 * t_1);
	double t_3 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 1.8e+26) {
		tmp = (x * ((8.0 + (t_3 * t_2)) / (4.0 + (t_3 * (t_3 + -2.0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - t_2) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968))))
	t_1 = x * t_0
	t_2 = (x * x) * (t_1 * t_1)
	t_3 = (x * x) * t_0
	tmp = 0
	if x <= 1.8e+26:
		tmp = (x * ((8.0 + (t_3 * t_2)) / (4.0 + (t_3 * (t_3 + -2.0))))) / 2.0
	elif x <= 5e+60:
		tmp = (x * ((4.0 - t_2) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968)))))
	t_1 = Float64(x * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(t_1 * t_1))
	t_3 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.8e+26)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(8.0 + Float64(t_3 * t_2)) / Float64(4.0 + Float64(t_3 * Float64(t_3 + -2.0))))) / 2.0);
	elseif (x <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - t_2) / Float64(2.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968))));
	t_1 = x * t_0;
	t_2 = (x * x) * (t_1 * t_1);
	t_3 = (x * x) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.8e+26)
		tmp = (x * ((8.0 + (t_3 * t_2)) / (4.0 + (t_3 * (t_3 + -2.0))))) / 2.0;
	elseif (x <= 5e+60)
		tmp = (x * ((4.0 - t_2) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1.8e+26], N[(N[(x * N[(N[(8.0 + N[(t$95$3 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(4.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$3 + -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e+60], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - t$95$2), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 1.80000000000000012e26

   1. Initial program 35.3%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{{2}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}^{3}}{2 \cdot 2 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left({2}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot 2 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) - 2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 74.3%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{8 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) + -2\right)}}}{2} \]

   if 1.80000000000000012e26 < x < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 46.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right), 2\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right), \left(2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 71.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}}{2} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666}\right)}}{2} \]

   if 4.99999999999999975e60 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{8 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) + -2\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 75.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 + t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)\right)}{1 + t\_1 \cdot \left(t\_1 + -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          x
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            (* x x)
            (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968)))))))
        (t_1
         (*
          (* x x)
          (+
           0.16666666666666666
           (*
            (* x x)
            (+ 0.008333333333333333 (* x (* x 0.0001984126984126984))))))))
   (if (<= x 2e+26)
     (/ (* x (+ 1.0 (* t_1 (* t_1 t_1)))) (+ 1.0 (* t_1 (+ t_1 -1.0))))
     (if (<= x 5e+60)
       (/
        (*
         x
         (/
          (- 4.0 (* (* x x) (* t_0 t_0)))
          (-
           2.0
           (*
            (* x x)
            (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.016666666666666666))))))
        2.0)
       (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	double t_1 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (x <= 2e+26) {
		tmp = (x * (1.0 + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 + -1.0)));
	} else if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0)))))
    t_1 = (x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (0.008333333333333333d0 + (x * (x * 0.0001984126984126984d0)))))
    if (x <= 2d+26) then
        tmp = (x * (1.0d0 + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (1.0d0 + (t_1 * (t_1 + (-1.0d0))))
    else if (x <= 5d+60) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0d0 - ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.016666666666666666d0)))))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	double t_1 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (x <= 2e+26) {
		tmp = (x * (1.0 + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 + -1.0)));
	} else if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))))
	t_1 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))))
	tmp = 0
	if x <= 2e+26:
		tmp = (x * (1.0 + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 + -1.0)))
	elif x <= 5e+60:
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968))))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+26)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 * t_1)))) / Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 + -1.0))));
	elseif (x <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0))) / Float64(2.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	t_1 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+26)
		tmp = (x * (1.0 + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 + -1.0)));
	elseif (x <= 5e+60)
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+26], N[(N[(x * N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e+60], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 2.0000000000000001e26

   1. Initial program 35.3%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot x \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right) - 1\right)}} \]

   if 2.0000000000000001e26 < x < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 46.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right), 2\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right), \left(2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 71.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}}{2} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666}\right)}}{2} \]

   if 4.99999999999999975e60 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right) + -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 76.0% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 - t\_0 \cdot t\_0\right)}{1 - t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+
           0.16666666666666666
           (*
            (* x x)
            (+ 0.008333333333333333 (* x (* x 0.0001984126984126984))))))))
   (if (<= x 2e+44)
     (/ (* x (- 1.0 (* t_0 t_0))) (- 1.0 t_0))
     (* x (+ 1.0 (* x (* (* x (* x (* x (* x x)))) 0.0001984126984126984)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (x <= 2e+44) {
		tmp = (x * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0);
	} else {
		tmp = x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (0.008333333333333333d0 + (x * (x * 0.0001984126984126984d0)))))
    if (x <= 2d+44) then
        tmp = (x * (1.0d0 - (t_0 * t_0))) / (1.0d0 - t_0)
    else
        tmp = x * (1.0d0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (x <= 2e+44) {
		tmp = (x * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0);
	} else {
		tmp = x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))))
	tmp = 0
	if x <= 2e+44:
		tmp = (x * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0)
	else:
		tmp = x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+44)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(1.0 - Float64(t_0 * t_0))) / Float64(1.0 - t_0));
	else
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))) * 0.0001984126984126984))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (0.008333333333333333 + (x * (x * 0.0001984126984126984)))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+44)
		tmp = (x * (1.0 - (t_0 * t_0))) / (1.0 - t_0);
	else
		tmp = x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+44], N[(N[(x * N[(1.0 - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.0000000000000002e44

   1. Initial program 36.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 89.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)} \cdot x \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)}} \]

   if 2.0000000000000002e44 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot x}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{5}\right)}, x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{5}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{\left(4 + 1\right)}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{4} \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot {x}^{4}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{4}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      7. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      11. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      13. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 77.7% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          x
          (+
           0.3333333333333333
           (*
            (* x x)
            (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968))))))))
   (if (<= x 5e+60)
     (/
      (*
       x
       (/
        (- 4.0 (* (* x x) (* t_0 t_0)))
        (-
         2.0
         (* (* x x) (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.016666666666666666))))))
      2.0)
     (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0)))))
    if (x <= 5d+60) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0d0 - ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.016666666666666666d0)))))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))))
	tmp = 0
	if x <= 5e+60:
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0))) / Float64(2.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+60)
		tmp = (x * ((4.0 - ((x * x) * (t_0 * t_0))) / (2.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666)))))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+60], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 37.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 89.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 89.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right), 2\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right), \left(2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}}{2} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 77.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   10. Simplified 77.2%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666}\right)}}{2} \]

   if 4.99999999999999975e60 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 76.4% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{x}{\frac{1}{0.1111111111111111 - t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\right)}} \cdot \frac{x}{0.3333333333333333 - x \cdot t\_0}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (+ 0.016666666666666666 (* x (* x 0.0003968253968253968))))))
   (if (<= x 5e+60)
     (/
      (*
       x
       (+
        2.0
        (*
         (/ x (/ 1.0 (- 0.1111111111111111 (* t_0 (* (* x x) t_0)))))
         (/ x (- 0.3333333333333333 (* x t_0))))))
      2.0)
     (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * (2.0 + ((x / (1.0 / (0.1111111111111111 - (t_0 * ((x * x) * t_0))))) * (x / (0.3333333333333333 - (x * t_0)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (0.016666666666666666d0 + (x * (x * 0.0003968253968253968d0)))
    if (x <= 5d+60) then
        tmp = (x * (2.0d0 + ((x / (1.0d0 / (0.1111111111111111d0 - (t_0 * ((x * x) * t_0))))) * (x / (0.3333333333333333d0 - (x * t_0)))))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = (x * (2.0 + ((x / (1.0 / (0.1111111111111111 - (t_0 * ((x * x) * t_0))))) * (x / (0.3333333333333333 - (x * t_0)))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)))
	tmp = 0
	if x <= 5e+60:
		tmp = (x * (2.0 + ((x / (1.0 / (0.1111111111111111 - (t_0 * ((x * x) * t_0))))) * (x / (0.3333333333333333 - (x * t_0)))))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(0.016666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.0003968253968253968))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(Float64(x / Float64(1.0 / Float64(0.1111111111111111 - Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_0))))) * Float64(x / Float64(0.3333333333333333 - Float64(x * t_0)))))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (0.016666666666666666 + (x * (x * 0.0003968253968253968)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+60)
		tmp = (x * (2.0 + ((x / (1.0 / (0.1111111111111111 - (t_0 * ((x * x) * t_0))))) * (x / (0.3333333333333333 - (x * t_0)))))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.016666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+60], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(N[(x / N[(1.0 / N[(0.1111111111111111 - N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[(0.3333333333333333 - N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 37.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{60} + \frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(\frac{1}{2520} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 89.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 89.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}}\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right) - \frac{1}{3} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{{\frac{1}{3}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)}}}\right)}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{x \cdot x}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}{\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}}}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{x \cdot x}{\frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{x}{\frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}} \cdot \frac{x}{\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x}{\frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)\right)}}\right), \left(\frac{x}{\frac{1}{3} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{60} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2520}\right)\right)}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   9. Applied egg-rr 75.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{0.1111111111111111 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}} \cdot \frac{x}{0.3333333333333333 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}}\right)}{2} \]

   if 4.99999999999999975e60 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + \frac{x}{\frac{1}{0.1111111111111111 - \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)}} \cdot \frac{x}{0.3333333333333333 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.016666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003968253968253968\right)\right)\right)}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 76.4% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\right)\right)}{2 - x \cdot t\_0}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.016666666666666666)))))
   (if (<= x 5e+60)
     (/ (/ (* x (- 4.0 (* t_0 (* (* x x) t_0)))) (- 2.0 (* x t_0))) 2.0)
     (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = ((x * (4.0 - (t_0 * ((x * x) * t_0)))) / (2.0 - (x * t_0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.016666666666666666d0))
    if (x <= 5d+60) then
        tmp = ((x * (4.0d0 - (t_0 * ((x * x) * t_0)))) / (2.0d0 - (x * t_0))) / 2.0d0
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 5e+60) {
		tmp = ((x * (4.0 - (t_0 * ((x * x) * t_0)))) / (2.0 - (x * t_0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666))
	tmp = 0
	if x <= 5e+60:
		tmp = ((x * (4.0 - (t_0 * ((x * x) * t_0)))) / (2.0 - (x * t_0))) / 2.0
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.016666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+60)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(4.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_0)))) / Float64(2.0 - Float64(x * t_0))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.016666666666666666));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+60)
		tmp = ((x * (4.0 - (t_0 * ((x * x) * t_0)))) / (2.0 - (x * t_0))) / 2.0;
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e+60], N[(N[(N[(x * N[(4.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.99999999999999975e60

   1. Initial program 37.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 86.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 86.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right) \cdot x\right), 2\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)} \cdot x\right), 2\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right) \cdot x}{2 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)}\right), 2\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \left(2 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   7. Applied egg-rr 75.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(4 - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot x}{2 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)}}}{2} \]

   if 4.99999999999999975e60 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.1% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     0.16666666666666666
     (*
      x
      (* x (+ 0.008333333333333333 (* (* x x) 0.0001984126984126984)))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.008333333333333333d0 + ((x * x) * 0.0001984126984126984d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984)))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.0001984126984126984))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.008333333333333333 + ((x * x) * 0.0001984126984126984)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.0% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+ 0.16666666666666666 (* (* x (* x (* x x))) 0.0001984126984126984))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * (x * (x * x))) * 0.0001984126984126984))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((x * (x * (x * x))) * 0.0001984126984126984d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * (x * (x * x))) * 0.0001984126984126984))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * (x * (x * x))) * 0.0001984126984126984))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * 0.0001984126984126984)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + ((x * (x * (x * x))) * 0.0001984126984126984))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 91.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

9. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 92.7% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ 1.0 (* x (* (* x (* x (* x (* x x)))) 0.0001984126984126984)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))) * 0.0001984126984126984))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * ((x * (x * (x * (x * x)))) * 0.0001984126984126984)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{120} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 91.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 91.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot x}\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{5040} \cdot {x}^{5}\right)}, x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{5}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{\left(4 + 1\right)}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   3. pow-plus N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left({x}^{4} \cdot x\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \left(x \cdot {x}^{4}\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{4}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   7. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   13. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 91.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 91.2%

    \[\leadsto x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot x\right) \]

11. Final simplification 91.2%

    \[\leadsto x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 87.0% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5.0)
   (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.16666666666666666))))
   (* 0.008333333333333333 (* x (* x (* x (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.0) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5.0d0) then
        tmp = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = 0.008333333333333333d0 * (x * (x * (x * (x * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5.0) {
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5.0:
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.0)
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(0.008333333333333333 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.0)
		tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = 0.008333333333333333 * (x * (x * (x * (x * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5.0], N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.008333333333333333 * N[(x * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5

   1. Initial program 32.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 89.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{60} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 73.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.016666666666666666\right)\right)\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{120} \cdot {x}^{5}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left({x}^{5}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{\left(4 + \color{blue}{1}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), x\right)\right) \]

      6. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), x\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), x\right)\right) \]

      12. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 73.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right) \]

   8. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 90.0% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* x (* x 0.008333333333333333))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * 0.008333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.008333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{120} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 13: 68.4% accurate, 17.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.5) x (* (* x (* x x)) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.5d0) then
        tmp = x
    else
        tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.5:
		tmp = x
	else:
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.5)
		tmp = x;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * 0.16666666666666666);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.5)
		tmp = x;
	else
		tmp = (x * (x * x)) * 0.16666666666666666;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.5], x, N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5

   1. Initial program 32.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 2.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, 2\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(2 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right), 2\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 2\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 61.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. Simplified 61.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{3}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

      2. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 61.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 83.8% accurate, 22.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 82.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 15: 52.4% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 48.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 57.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))