Trigonometry A

Percentage Accurate: 99.8% → 99.8%

Time: 12.2s

Alternatives: 14

Speedup: 1.0×

Specification

\[0 \leq e \land e \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (1.0d0 + (e * cos(v)))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (1.0 + (e * Math.cos(v)));
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (1.0 + (e * math.cos(v)))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 + Float64(e * cos(v))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (1.0d0 + (e * cos(v)))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (1.0 + (e * Math.cos(v)));
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (1.0 + (e * math.cos(v)))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 + Float64(e * cos(v))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (1.0d0 + (e * cos(v)))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (1.0 + (e * Math.cos(v)));
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (1.0 + (e * math.cos(v)))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(1.0 + Float64(e * cos(v))))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (1.0 + (e * cos(v)));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(e * N[Cos[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (sin v) (+ (cos v) (/ 1.0 e))))

C

double code(double e, double v) {
	return sin(v) / (cos(v) + (1.0 / e));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = sin(v) / (cos(v) + (1.0d0 / e))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return Math.sin(v) / (Math.cos(v) + (1.0 / e));
}

Python

def code(e, v):
	return math.sin(v) / (math.cos(v) + (1.0 / e))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(sin(v) / Float64(cos(v) + Float64(1.0 / e)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = sin(v) / (cos(v) + (1.0 / e));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[Sin[v], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[v], $MachinePrecision] + N[(1.0 / e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. rgt-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \frac{1}{e} + \color{blue}{e} \cdot \cos v} \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{e} + \cos v\right)}} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot \left(\cos v + \color{blue}{\frac{1}{e}}\right)} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{e}{e} \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot 1}{e} \cdot \frac{\sin \color{blue}{v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \left(e \cdot \frac{1}{e}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   7. rgt-mult-inverse N/A

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{\sin v}}{\cos v + \frac{1}{e}} \]

   8. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{\color{blue}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin v, \color{blue}{\left(\cos v + \frac{1}{e}\right)}\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \left(\color{blue}{\cos v} + \frac{1}{e}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos v, \color{blue}{\left(\frac{1}{e}\right)}\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(v\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e}\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(v\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{e}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin v}{\cos v + \frac{1}{e}}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot e + -1} \cdot \left(e + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (* (/ (* e (sin v)) (+ (* e e) -1.0)) (+ e -1.0)))

C

double code(double e, double v) {
	return ((e * sin(v)) / ((e * e) + -1.0)) * (e + -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = ((e * sin(v)) / ((e * e) + (-1.0d0))) * (e + (-1.0d0))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return ((e * Math.sin(v)) / ((e * e) + -1.0)) * (e + -1.0);
}

Python

def code(e, v):
	return ((e * math.sin(v)) / ((e * e) + -1.0)) * (e + -1.0)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(Float64(e * e) + -1.0)) * Float64(e + -1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = ((e * sin(v)) / ((e * e) + -1.0)) * (e + -1.0);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(e * e), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(e + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 98.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\color{blue}{e + 1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\frac{e \cdot e - 1 \cdot 1}{\color{blue}{e - 1}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot e - 1 \cdot 1} \cdot \color{blue}{\left(e - 1\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e \cdot \sin v}{e \cdot e - 1 \cdot 1}\right), \color{blue}{\left(e - 1\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot \sin v\right), \left(e \cdot e - 1 \cdot 1\right)\right), \left(\color{blue}{e} - 1\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin v \cdot e\right), \left(e \cdot e - 1 \cdot 1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin v, e\right), \left(e \cdot e - 1 \cdot 1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \left(e \cdot e - 1 \cdot 1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \left(e \cdot e - 1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \left(e \cdot e + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \left(e \cdot e + -1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(e \cdot e\right), -1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, e\right), -1\right)\right), \left(e - 1\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, e\right), -1\right)\right), \left(e + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, e\right), -1\right)\right), \left(e + -1\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(v\right), e\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, e\right), -1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{-1}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin v \cdot e}{e \cdot e + -1} \cdot \left(e + -1\right)} \]

8. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{e \cdot e + -1} \cdot \left(e + -1\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot \sin v}{e + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e (sin v)) (+ e 1.0)))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * sin(v)) / (e + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * sin(v)) / (e + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * Math.sin(v)) / (e + 1.0);
}

Python

def code(e, v):
	return (e * math.sin(v)) / (e + 1.0)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * sin(v)) / Float64(e + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * sin(v)) / (e + 1.0);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(e + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 98.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \frac{e \cdot \sin v}{\color{blue}{e + 1}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot \sin v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e (sin v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e * sin(v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * sin(v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * Math.sin(v);
}

Python

def code(e, v):
	return e * math.sin(v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * sin(v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * sin(v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * N[Sin[v], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{\sin v}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 98.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \sin v} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 54.0% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\\ t_1 := e \cdot -0.5 + t\_0\\ t_2 := -0.16666666666666666 \cdot t\_1 + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\\ \frac{e}{\frac{e + \left(1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(t\_0 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 - t\_2\right)\right) - \left(-0.0001984126984126984 + \left(e \cdot -0.0001984126984126984 + t\_1 \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) - t\_2\right)\right)\right)\right)\right)}{v}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.16666666666666666 (* e 0.16666666666666666)))
        (t_1 (+ (* e -0.5) t_0))
        (t_2
         (+
          (* -0.16666666666666666 t_1)
          (+ 0.008333333333333333 (* e 0.008333333333333333)))))
   (/
    e
    (/
     (+
      e
      (+
       1.0
       (*
        (* v v)
        (+
         (* e -0.5)
         (+
          t_0
          (*
           (* v v)
           (+
            (* e 0.041666666666666664)
            (-
             (*
              (* v v)
              (-
               (+
                (* e -0.001388888888888889)
                (* 0.16666666666666666 (- (* e 0.041666666666666664) t_2)))
               (+
                -0.0001984126984126984
                (+
                 (* e -0.0001984126984126984)
                 (* t_1 0.008333333333333333)))))
             t_2))))))))
     v))))

C

double code(double e, double v) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666);
	double t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	double t_2 = (-0.16666666666666666 * t_1) + (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333));
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) + (0.16666666666666666 * ((e * 0.041666666666666664) - t_2))) - (-0.0001984126984126984 + ((e * -0.0001984126984126984) + (t_1 * 0.008333333333333333))))) - t_2)))))))) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = 0.16666666666666666d0 + (e * 0.16666666666666666d0)
    t_1 = (e * (-0.5d0)) + t_0
    t_2 = ((-0.16666666666666666d0) * t_1) + (0.008333333333333333d0 + (e * 0.008333333333333333d0))
    code = e / ((e + (1.0d0 + ((v * v) * ((e * (-0.5d0)) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664d0) + (((v * v) * (((e * (-0.001388888888888889d0)) + (0.16666666666666666d0 * ((e * 0.041666666666666664d0) - t_2))) - ((-0.0001984126984126984d0) + ((e * (-0.0001984126984126984d0)) + (t_1 * 0.008333333333333333d0))))) - t_2)))))))) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666);
	double t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	double t_2 = (-0.16666666666666666 * t_1) + (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333));
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) + (0.16666666666666666 * ((e * 0.041666666666666664) - t_2))) - (-0.0001984126984126984 + ((e * -0.0001984126984126984) + (t_1 * 0.008333333333333333))))) - t_2)))))))) / v);
}

Python

def code(e, v):
	t_0 = 0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666)
	t_1 = (e * -0.5) + t_0
	t_2 = (-0.16666666666666666 * t_1) + (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333))
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) + (0.16666666666666666 * ((e * 0.041666666666666664) - t_2))) - (-0.0001984126984126984 + ((e * -0.0001984126984126984) + (t_1 * 0.008333333333333333))))) - t_2)))))))) / v)

Julia

function code(e, v)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 + Float64(e * 0.16666666666666666))
	t_1 = Float64(Float64(e * -0.5) + t_0)
	t_2 = Float64(Float64(-0.16666666666666666 * t_1) + Float64(0.008333333333333333 + Float64(e * 0.008333333333333333)))
	return Float64(e / Float64(Float64(e + Float64(1.0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * -0.5) + Float64(t_0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * 0.041666666666666664) + Float64(Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(Float64(e * -0.001388888888888889) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(Float64(e * 0.041666666666666664) - t_2))) - Float64(-0.0001984126984126984 + Float64(Float64(e * -0.0001984126984126984) + Float64(t_1 * 0.008333333333333333))))) - t_2)))))))) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	t_0 = 0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666);
	t_1 = (e * -0.5) + t_0;
	t_2 = (-0.16666666666666666 * t_1) + (0.008333333333333333 + (e * 0.008333333333333333));
	tmp = e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (t_0 + ((v * v) * ((e * 0.041666666666666664) + (((v * v) * (((e * -0.001388888888888889) + (0.16666666666666666 * ((e * 0.041666666666666664) - t_2))) - (-0.0001984126984126984 + ((e * -0.0001984126984126984) + (t_1 * 0.008333333333333333))))) - t_2)))))))) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 + N[(e * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(0.008333333333333333 + N[(e * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(e / N[(N[(e + N[(1.0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * 0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(e * -0.001388888888888889), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(N[(e * 0.041666666666666664), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.0001984126984126984 + N[(N[(e * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot e + {v}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{720} \cdot e - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot e - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{5040} \cdot \left(1 + e\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right) + \frac{1}{120} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right) \]

7. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{e + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) - \left(-0.0001984126984126984 + \left(-0.0001984126984126984 \cdot e + 0.008333333333333333 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + 1\right)}{v}}} \]

8. Final simplification 55.2%

   \[\leadsto \frac{e}{\frac{e + \left(1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(\left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(e \cdot -0.001388888888888889 + 0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot 0.041666666666666664 - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) - \left(-0.0001984126984126984 + \left(e \cdot -0.0001984126984126984 + \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(0.008333333333333333 + e \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{v}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 54.1% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot \frac{-1}{\frac{\left(-1 - e\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(-1 - e\right) - e \cdot -0.5\right)}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (*
  e
  (/
   -1.0
   (/
    (+
     (- -1.0 e)
     (* (* v v) (- (* 0.16666666666666666 (- -1.0 e)) (* e -0.5))))
    v))))

C

double code(double e, double v) {
	return e * (-1.0 / (((-1.0 - e) + ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (-1.0 - e)) - (e * -0.5)))) / v));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * ((-1.0d0) / ((((-1.0d0) - e) + ((v * v) * ((0.16666666666666666d0 * ((-1.0d0) - e)) - (e * (-0.5d0))))) / v))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * (-1.0 / (((-1.0 - e) + ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (-1.0 - e)) - (e * -0.5)))) / v));
}

Python

def code(e, v):
	return e * (-1.0 / (((-1.0 - e) + ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (-1.0 - e)) - (e * -0.5)))) / v))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * Float64(-1.0 / Float64(Float64(Float64(-1.0 - e) + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(-1.0 - e)) - Float64(e * -0.5)))) / v)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * (-1.0 / (((-1.0 - e) + ((v * v) * ((0.16666666666666666 * (-1.0 - e)) - (e * -0.5)))) / v));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * N[(-1.0 / N[(N[(N[(-1.0 - e), $MachinePrecision] + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(0.16666666666666666 * N[(-1.0 - e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(e * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v} \cdot \color{blue}{e} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{\frac{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}{1 - e \cdot \cos v}} \cdot e \]

   4. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right) \cdot e \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - e \cdot \cos v\right) \cdot e\right)} \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}\right), \color{blue}{\left(\left(1 - e \cdot \cos v\right) \cdot e\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\left(1 - e \cdot \cos v\right) \cdot e\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right) \cdot \color{blue}{e} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin v}{1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right)} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto e \cdot \left(\frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right) \]

   4. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto e \cdot \left(\frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot e\right) \cdot \left(\cos v \cdot \cos v\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right) \]

   5. swap-sqr N/A

      \[\leadsto e \cdot \left(\frac{\sin v}{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)} \cdot \left(1 - e \cdot \cos v\right)\right) \]

   6. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{\sin v}{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(e \cdot \cos v\right) \cdot \left(e \cdot \cos v\right)}{1 - e \cdot \cos v}}} \]

   7. flip-+ N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{\sin v}{1 + \color{blue}{e \cdot \cos v}} \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   9. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   10. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(e\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}} \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{neg}\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - e\right) \cdot \frac{-1}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-e\right)} \cdot \frac{-1}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}} \]

9. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), \color{blue}{v}\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + e\right) + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + e\right), \left({v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(e + 1\right), \left({v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \left({v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({v}^{2}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(v \cdot v\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot e + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot e\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(e \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + e\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    14. distribute-rgt-neg-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \left(\left(1 + e\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \left(\left(1 + e\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + e\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    17. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e + 1\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

    18. +-lowering-+.f64 55.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(e\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(e, 1\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), v\right)\right)\right) \]

11. Simplified 55.2%

    \[\leadsto \left(-e\right) \cdot \frac{-1}{\color{blue}{\frac{\left(e + 1\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(e + 1\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}{v}}} \]

12. Final simplification 55.2%

    \[\leadsto e \cdot \frac{-1}{\frac{\left(-1 - e\right) + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(-1 - e\right) - e \cdot -0.5\right)}{v}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 8: 54.0% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{e + \left(1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (/
  e
  (/
   (+
    e
    (+
     1.0
     (*
      (* v v)
      (+ (* e -0.5) (+ 0.16666666666666666 (* e 0.16666666666666666))))))
   v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666)))))) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / ((e + (1.0d0 + ((v * v) * ((e * (-0.5d0)) + (0.16666666666666666d0 + (e * 0.16666666666666666d0)))))) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666)))))) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666)))))) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(e + Float64(1.0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(e * -0.5) + Float64(0.16666666666666666 + Float64(e * 0.16666666666666666)))))) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / ((e + (1.0 + ((v * v) * ((e * -0.5) + (0.16666666666666666 + (e * 0.16666666666666666)))))) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(e + N[(1.0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(e * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 + N[(e * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)}{v}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(e + {v}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot e - \frac{-1}{6} \cdot \left(1 + e\right)\right)\right)\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

7. Simplified 55.1%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{e + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + 1\right)}{v}}} \]

8. Final simplification 55.1%

   \[\leadsto \frac{e}{\frac{e + \left(1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(e \cdot -0.5 + \left(0.16666666666666666 + e \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{v}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 52.9% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + v \cdot \left(v \cdot 0.019444444444444445\right)\right)}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (/
  e
  (/
   (+ 1.0 (* (* v v) (+ 0.16666666666666666 (* v (* v 0.019444444444444445)))))
   v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / ((1.0 + ((v * v) * (0.16666666666666666 + (v * (v * 0.019444444444444445))))) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / ((1.0d0 + ((v * v) * (0.16666666666666666d0 + (v * (v * 0.019444444444444445d0))))) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / ((1.0 + ((v * v) * (0.16666666666666666 + (v * (v * 0.019444444444444445))))) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / ((1.0 + ((v * v) * (0.16666666666666666 + (v * (v * 0.019444444444444445))))) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(v * Float64(v * 0.019444444444444445))))) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / ((1.0 + ((v * v) * (0.16666666666666666 + (v * (v * 0.019444444444444445))))) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(1.0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(v * N[(v * 0.019444444444444445), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin v}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1}{\sin v}}} \]

8. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + {v}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)}{v}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + {v}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({v}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({v}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(v \cdot v\right), \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{7}{360} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({v}^{2} \cdot \frac{7}{360}\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \frac{7}{360}\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(v \cdot \left(v \cdot \frac{7}{360}\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(v, \left(v \cdot \frac{7}{360}\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 54.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(v, \mathsf{*.f64}\left(v, \frac{7}{360}\right)\right)\right)\right)\right), v\right)\right) \]

10. Simplified 54.9%

    \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + v \cdot \left(v \cdot 0.019444444444444445\right)\right)}{v}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 52.9% accurate, 19.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e}{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 0.16666666666666666}{v}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v)
 :precision binary64
 (/ e (/ (+ 1.0 (* (* v v) 0.16666666666666666)) v)))

C

double code(double e, double v) {
	return e / ((1.0 + ((v * v) * 0.16666666666666666)) / v);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e / ((1.0d0 + ((v * v) * 0.16666666666666666d0)) / v)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e / ((1.0 + ((v * v) * 0.16666666666666666)) / v);
}

Python

def code(e, v):
	return e / ((1.0 + ((v * v) * 0.16666666666666666)) / v)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e / Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(v * v) * 0.16666666666666666)) / v))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e / ((1.0 + ((v * v) * 0.16666666666666666)) / v);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e / N[(N[(1.0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e \cdot \color{blue}{\frac{\sin v}{1 + e \cdot \cos v}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto e \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e \cdot \cos v\right), \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e \cdot \cos v\right)\right), \sin \color{blue}{v}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \cos v\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \sin v\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{cos.f64}\left(v\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e}{\frac{1 + e \cdot \cos v}{\sin v}}} \]

5. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin v}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\sin v}\right)\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(v\right)\right)\right) \]

7. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1}{\sin v}}} \]

8. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \color{blue}{\left(\frac{1 + \frac{1}{6} \cdot {v}^{2}}{v}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot {v}^{2}}{v}\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot {v}^{2}\right)\right)}{v}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot {v}^{2}\right)\right)\right), v\right)\right) \]

   5. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot {v}^{2}\right)\right), v\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {v}^{2}\right)\right), v\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({v}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right), v\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({v}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right), v\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(v \cdot v\right), \frac{1}{6}\right)\right), v\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 54.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(e, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(v, v\right), \frac{1}{6}\right)\right), v\right)\right) \]

10. Simplified 54.9%

    \[\leadsto \frac{e}{\color{blue}{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 0.16666666666666666}{v}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 53.0% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e \cdot v}{e + 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (/ (* e v) (+ e 1.0)))

C

double code(double e, double v) {
	return (e * v) / (e + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = (e * v) / (e + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return (e * v) / (e + 1.0);
}

Python

def code(e, v):
	return (e * v) / (e + 1.0)

Julia

function code(e, v)
	return Float64(Float64(e * v) / Float64(e + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = (e * v) / (e + 1.0);
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(N[(e * v), $MachinePrecision] / N[(e + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 52.5% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot \left(v \cdot \left(1 - e\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e (* v (- 1.0 e))))

C

double code(double e, double v) {
	return e * (v * (1.0 - e));
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * (v * (1.0d0 - e))
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * (v * (1.0 - e));
}

Python

def code(e, v):
	return e * (v * (1.0 - e))

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * Float64(v * Float64(1.0 - e)))
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * (v * (1.0 - e));
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * N[(v * N[(1.0 - e), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e + 1}{e \cdot v}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e + 1}{e \cdot v}\right)}\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{e + 1}{e}}{\color{blue}{v}}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e + 1}{e}\right), \color{blue}{v}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e + 1\right), e\right), v\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + e\right), e\right), v\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 53.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, e\right), e\right), v\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1 + e}{e}}{v}}} \]

8. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \left(v + -1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{\left(v + -1 \cdot \left(e \cdot v\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \left(-1 \cdot \left(e \cdot v\right) + \color{blue}{v}\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \left(\left(-1 \cdot e\right) \cdot v + v\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \left(\left(-1 \cdot e\right) \cdot v + 1 \cdot \color{blue}{v}\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \left(v \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot e + 1\right)}\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \left(v \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot e}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{*.f64}\left(v, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot e\right)}\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{*.f64}\left(v, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(e\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{*.f64}\left(v, \left(1 - \color{blue}{e}\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 54.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \mathsf{*.f64}\left(v, \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{e}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 54.1%

    \[\leadsto \color{blue}{e \cdot \left(v \cdot \left(1 - e\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 51.9% accurate, 69.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e \cdot v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 (* e v))

C

double code(double e, double v) {
	return e * v;
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = e * v
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return e * v;
}

Python

def code(e, v):
	return e * v

Julia

function code(e, v)
	return Float64(e * v)
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = e * v;
end

Wolfram

code[e_, v_] := N[(e * v), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]

6. Taylor expanded in e around 0

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot v} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 53.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(e, \color{blue}{v}\right) \]

8. Simplified 53.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e \cdot v} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 4.6% accurate, 209.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ v \end{array} \]

FPCore

(FPCore (e v) :precision binary64 v)

C

double code(double e, double v) {
	return v;
}

Fortran

real(8) function code(e, v)
    real(8), intent (in) :: e
    real(8), intent (in) :: v
    code = v
end function

Java

public static double code(double e, double v) {
	return v;
}

Python

def code(e, v):
	return v

Julia

function code(e, v)
	return v
end

MATLAB

function tmp = code(e, v)
	tmp = v;
end

Wolfram

code[e_, v_] := v

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\frac{e \cdot \sin v}{1 + e \cdot \cos v} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in v around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{1 + e}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e \cdot v\right), \color{blue}{\left(1 + e\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(\color{blue}{1} + e\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \left(e + \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 54.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(e, v\right), \mathsf{+.f64}\left(e, \color{blue}{1}\right)\right) \]

5. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e \cdot v}{e + 1}} \]

6. Taylor expanded in e around inf

   \[\leadsto \color{blue}{v} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 4.5%

   \[\leadsto \color{blue}{v} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (e v)
  :name "Trigonometry A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 e) (<= e 1.0))
  (/ (* e (sin v)) (+ 1.0 (* e (cos v)))))