Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 99.6%

Time: 11.1s

Alternatives: 2

Speedup: N/A×

• 99.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 99.6% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (/ (exp (* x x)) x)))

C

double code(double x) {
	return sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (exp((x * x)) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (Math.exp((x * x)) / x);
}

Python

def code(x):
	return math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (math.exp((x * x)) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(exp(Float64(x * x)) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sqrt((1.0 / pi)) * (exp((x * x)) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{x}}{x}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1.875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}{x} + \left(\frac{1}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) + \frac{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.75}{x}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqr-abs N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{15}{8}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{15}{8}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\frac{\frac{1.875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}{x} + \left(\frac{1}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) + \frac{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.75}{x}\right)\right) \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x}} \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{x}\right)}\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{x}\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{x}\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{x}\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

    7. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), x\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right) \]

11. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{x}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 1.7% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1.875}{{x}^{7}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (/ 1.875 (pow x 7.0))))

C

double code(double x) {
	return sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (1.875 / pow(x, 7.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (1.875 / Math.pow(x, 7.0));
}

Python

def code(x):
	return math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (1.875 / math.pow(x, 7.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(1.875 / (x ^ 7.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sqrt((1.0 / pi)) * (1.875 / (x ^ 7.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.875 / N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{x}}{x}}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1.875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}{x} + \left(\frac{1}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) + \frac{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.75}{x}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqr-abs N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{15}{8}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{15}{8}}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \frac{3}{4}\right), x\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\frac{\frac{1.875}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}{x} + \left(\frac{1}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) + \frac{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.75}{x}\right)\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{15}{8} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{7}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right)} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right)}\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{15}{8}} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{{x}^{7}}\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{15}{8} \cdot 1}{\color{blue}{{x}^{7}}}\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{15}{8}}{{\color{blue}{x}}^{7}}\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \color{blue}{\left({x}^{7}\right)}\right)\right) \]

    10. pow-lowering-pow.f64 1.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{7}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1.875}{{x}^{7}}} \]
12. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))