2isqrt (example 3.6)

Percentage Accurate: 38.1% → 99.2%

Time: 11.5s

Alternatives: 5

Speedup: 2.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 (sqrt x)) (/ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / sqrt(x)) - (1.0 / sqrt((x + 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / sqrt(x)) - (1.0d0 / sqrt((x + 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / Math.sqrt(x)) - (1.0 / Math.sqrt((x + 1.0)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / math.sqrt(x)) - (1.0 / math.sqrt((x + 1.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / sqrt(x)) - Float64(1.0 / sqrt(Float64(x + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / sqrt(x)) - (1.0 / sqrt((x + 1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 38.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 (sqrt x)) (/ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / sqrt(x)) - (1.0 / sqrt((x + 1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / sqrt(x)) - (1.0d0 / sqrt((x + 1.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / Math.sqrt(x)) - (1.0 / Math.sqrt((x + 1.0)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / math.sqrt(x)) - (1.0 / math.sqrt((x + 1.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / sqrt(x)) - Float64(1.0 / sqrt(Float64(x + 1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / sqrt(x)) - (1.0 / sqrt((x + 1.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{\left(x \cdot 2 + \frac{-0.125}{x}\right) + 0.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (pow (+ x 1.0) -0.5) (+ (+ (* x 2.0) (/ -0.125 x)) 0.5)))

C

double code(double x) {
	return pow((x + 1.0), -0.5) / (((x * 2.0) + (-0.125 / x)) + 0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x + 1.0d0) ** (-0.5d0)) / (((x * 2.0d0) + ((-0.125d0) / x)) + 0.5d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow((x + 1.0), -0.5) / (((x * 2.0) + (-0.125 / x)) + 0.5);
}

Python

def code(x):
	return math.pow((x + 1.0), -0.5) / (((x * 2.0) + (-0.125 / x)) + 0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64((Float64(x + 1.0) ^ -0.5) / Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(-0.125 / x)) + 0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x + 1.0) ^ -0.5) / (((x * 2.0) + (-0.125 / x)) + 0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(-0.125 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 39.1%

   \[\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 41.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{x + {\left(x \cdot \left(1 + x\right)\right)}^{0.5}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + 2\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   5. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 40.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 40.7%

   \[\leadsto \frac{\left(1 + x\right) - x}{\color{blue}{0.5 + \left(2 + \frac{-0.125}{x \cdot x}\right) \cdot x}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto {\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)}\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + x\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x + 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   8. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1 + \color{blue}{\left(x - x\right)}}\right)\right) \]

   9. +-inverses N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1 + 0}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{\frac{0.5 + x \cdot \left(2 + \frac{-0.125}{x \cdot x}\right)}{1}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{x \cdot \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot x + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x} \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x} \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot 2\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x} \cdot x\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x} \cdot x\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    8. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{x \cdot x}\right) \cdot x\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    9. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{1}{x \cdot x} \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    10. pow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    11. pow-flip N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \left({x}^{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} \cdot x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    12. pow-plus N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{\left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) + 1\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{\left(-2 + 1\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{-1}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    15. inv-pow N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    16. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{x}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

    17. /-lowering-/.f64 99.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, x\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{\color{blue}{\left(x \cdot 2 + \frac{-0.125}{x}\right) + 0.5}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{x \cdot 2 + 0.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow (+ x 1.0) -0.5) (+ (* x 2.0) 0.5)))

C

double code(double x) {
	return pow((x + 1.0), -0.5) / ((x * 2.0) + 0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x + 1.0d0) ** (-0.5d0)) / ((x * 2.0d0) + 0.5d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow((x + 1.0), -0.5) / ((x * 2.0) + 0.5);
}

Python

def code(x):
	return math.pow((x + 1.0), -0.5) / ((x * 2.0) + 0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64((Float64(x + 1.0) ^ -0.5) / Float64(Float64(x * 2.0) + 0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x + 1.0) ^ -0.5) / ((x * 2.0) + 0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision] / N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 39.1%

   \[\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 41.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{x + {\left(x \cdot \left(1 + x\right)\right)}^{0.5}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + 2\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   5. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 40.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 40.7%

   \[\leadsto \frac{\left(1 + x\right) - x}{\color{blue}{0.5 + \left(2 + \frac{-0.125}{x \cdot x}\right) \cdot x}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto {\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(1 + x\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)}\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + x\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x + 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{\left(1 + x\right) - x}\right)\right) \]

   8. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1 + \color{blue}{\left(x - x\right)}}\right)\right) \]

   9. +-inverses N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1 + 0}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x}{1}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(2 + \frac{\frac{-1}{8}}{x \cdot x}\right) \cdot x\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{\frac{0.5 + x \cdot \left(2 + \frac{-0.125}{x \cdot x}\right)}{1}}} \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x + \color{blue}{2 \cdot x}\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) + \color{blue}{2} \cdot x\right)\right) \]

    4. lft-mult-inverse N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot x\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{2} \cdot x\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{\color{blue}{0.5 + x \cdot 2}} \]

13. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \frac{{\left(x + 1\right)}^{-0.5}}{x \cdot 2 + 0.5} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot {x}^{-1.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.5 (pow x -1.5)))

C

double code(double x) {
	return 0.5 * pow(x, -1.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0 * (x ** (-1.5d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 * Math.pow(x, -1.5);
}

Python

def code(x):
	return 0.5 * math.pow(x, -1.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 * (x ^ -1.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5 * (x ^ -1.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * N[Power[x, -1.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 39.1%

   \[\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} - \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{x}}{{x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right)}{{\color{blue}{x}}^{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right) \cdot \frac{-1}{2}}{{\color{blue}{x}}^{2}} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{{x}^{2}}} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{-1}{2}}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 83.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 83.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} - \sqrt{x}\right) \cdot \frac{-0.5}{x \cdot x}} \]

6. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \sqrt{x}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \sqrt{x}\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 82.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

8. Simplified 82.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \cdot \frac{-0.5}{x \cdot x} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{x \cdot x} \cdot \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)}{\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(\color{blue}{0} - \sqrt{x}\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(0 - \sqrt{x}\right) \]

   4. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{{0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{0 \cdot 0 + \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 0 \cdot \sqrt{x}\right)}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0 \cdot 0 + \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 0 \cdot \sqrt{x}\right)\right)}} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0 + \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} + 0 \cdot \sqrt{x}\right)\right)} \]

   7. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \color{blue}{0 \cdot \sqrt{x}}\right)} \]

   8. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0 + \sqrt{x}\right) \cdot \sqrt{x} + 0 \cdot \sqrt{x}\right)} \]

   9. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0 + \sqrt{x}\right) \cdot \left(0 + \sqrt{x}\right) + 0 \cdot \sqrt{x}\right)} \]

   10. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0 + \sqrt{x}\right) \cdot \left(0 + \sqrt{x}\right) + 0 \cdot \left(0 + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right)} \]

   11. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0 + \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0 + \sqrt{x}\right) + 0\right)}\right)} \]

   12. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \left(\color{blue}{\left(0 + \sqrt{x}\right)} + 0\right)\right)} \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \left(0 + \color{blue}{\left(0 + \sqrt{x}\right)}\right)\right)} \]

   14. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \left(0 + \sqrt{x}\right)\right)} \]

   15. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \]

   16. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({0}^{3} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{3}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

10. Applied egg-rr 82.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x} \cdot \sqrt{x}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{2}}}} \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{x} \cdot 1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{2}}}} \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{x} \cdot 1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{2}}}} \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{x} \cdot 1}{\left(x \cdot x\right) \cdot 2} \]

    6. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x} \cdot \frac{1}{2} \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

    9. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    10. pow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    11. pow-div N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\frac{1}{2} - 2\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\frac{-3}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(-1 \cdot \frac{3}{2}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot \frac{3}{2}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    16. pow-lowering-pow.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

    17. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 3\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

    18. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \frac{3}{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

    19. metadata-eval 98.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-3}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

12. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-1.5} \cdot 0.5} \]

13. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto 0.5 \cdot {x}^{-1.5} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 36.2% accurate, 29.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.0625}{x \cdot x}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ 0.0625 (* x x)) x))

C

double code(double x) {
	return (0.0625 / (x * x)) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.0625d0 / (x * x)) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.0625 / (x * x)) / x;
}

Python

def code(x):
	return (0.0625 / (x * x)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.0625 / Float64(x * x)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.0625 / (x * x)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.0625 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 39.1%

   \[\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 41.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{x + {\left(x \cdot \left(1 + x\right)\right)}^{0.5}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x} + \frac{5}{128} \cdot \frac{1}{{x}^{3}}\right)}{x}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}\right) - \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x} + \frac{5}{128} \cdot \frac{1}{{x}^{3}}\right)\right), x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 + \left(\frac{-0.125 + \frac{0.0625}{x}}{x} + \frac{-0.0390625}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{x}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5} \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}\right) - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}\right) - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x}\right), x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 - \frac{0.125 + \frac{-0.0625}{x}}{x}}{x}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{16}}{{x}^{3}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow3 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{16}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}} \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2} \cdot x} \]

    3. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}}{\color{blue}{x}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{16}}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{16}, \left({x}^{2}\right)\right), x\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot x\right)\right), x\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 37.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right) \]

13. Simplified 37.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.0625}{x \cdot x}}{x}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 1.8% accurate, 69.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot -8 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x -8.0))

C

double code(double x) {
	return x * -8.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (-8.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * -8.0;
}

Python

def code(x):
	return x * -8.0

Julia

function code(x)
	return Float64(x * -8.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * -8.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * -8.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 39.1%

   \[\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 41.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{x + {\left(x \cdot \left(1 + x\right)\right)}^{0.5}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + 2\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   5. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\frac{1}{2} + \left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{x}\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2}}\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 40.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right) \]

7. Simplified 40.7%

   \[\leadsto \frac{\left(1 + x\right) - x}{\color{blue}{0.5 + \left(2 + \frac{-0.125}{x \cdot x}\right) \cdot x}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{-0.5} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-8 \cdot x} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{-8} \]

   2. *-lowering-*.f64 1.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{-8}\right) \]

10. Simplified 1.8%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot -8} \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(x + 1\right) \cdot \sqrt{x} + x \cdot \sqrt{x + 1}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (+ (* (+ x 1.0) (sqrt x)) (* x (sqrt (+ x 1.0))))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (((x + 1.0) * sqrt(x)) + (x * sqrt((x + 1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (((x + 1.0d0) * sqrt(x)) + (x * sqrt((x + 1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (((x + 1.0) * Math.sqrt(x)) + (x * Math.sqrt((x + 1.0))));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (((x + 1.0) * math.sqrt(x)) + (x * math.sqrt((x + 1.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(x + 1.0) * sqrt(x)) + Float64(x * sqrt(Float64(x + 1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (((x + 1.0) * sqrt(x)) + (x * sqrt((x + 1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Developer Target 2: 38.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{-0.5} - {\left(x + 1\right)}^{-0.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (pow x -0.5) (pow (+ x 1.0) -0.5)))

C

double code(double x) {
	return pow(x, -0.5) - pow((x + 1.0), -0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** (-0.5d0)) - ((x + 1.0d0) ** (-0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, -0.5) - Math.pow((x + 1.0), -0.5);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(x, -0.5) - math.pow((x + 1.0), -0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64((x ^ -0.5) - (Float64(x + 1.0) ^ -0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ -0.5) - ((x + 1.0) ^ -0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision] - N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (x)
  :name "2isqrt (example 3.6)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (+ x 1) (sqrt x)) (* x (sqrt (+ x 1))))))

  :alt
  (! :herbie-platform default (- (pow x -1/2) (pow (+ x 1) -1/2)))

  (- (/ 1.0 (sqrt x)) (/ 1.0 (sqrt (+ x 1.0)))))