HairBSDF, gamma for a refracted ray

Percentage Accurate: 91.3% → 98.4%

Time: 14.1s

Alternatives: 4

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta\_O \land sinTheta\_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Initial Program: 91.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Alternative 1: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} sinTheta_O_m = \left|sinTheta\_O\right| \\ \sin^{-1} \left(\frac{{\left(eta + sinTheta\_O\_m\right)}^{-0.5}}{{\left(eta - sinTheta\_O\_m\right)}^{0.5}} \cdot h\right) \end{array} \]

FPCore

sinTheta_O_m = (fabs.f32 sinTheta_O)
(FPCore (sinTheta_O_m h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (* (/ (pow (+ eta sinTheta_O_m) -0.5) (pow (- eta sinTheta_O_m) 0.5)) h)))

C

sinTheta_O_m = fabs(sinTheta_O);
float code(float sinTheta_O_m, float h, float eta) {
	return asinf(((powf((eta + sinTheta_O_m), -0.5f) / powf((eta - sinTheta_O_m), 0.5f)) * h));
}

Fortran

sinTheta_O_m = abs(sintheta_o)
real(4) function code(sintheta_o_m, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o_m
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin(((((eta + sintheta_o_m) ** (-0.5e0)) / ((eta - sintheta_o_m) ** 0.5e0)) * h))
end function

Julia

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O)
function code(sinTheta_O_m, h, eta)
	return asin(Float32(Float32((Float32(eta + sinTheta_O_m) ^ Float32(-0.5)) / (Float32(eta - sinTheta_O_m) ^ Float32(0.5))) * h))
end

MATLAB

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O);
function tmp = code(sinTheta_O_m, h, eta)
	tmp = asin(((((eta + sinTheta_O_m) ^ single(-0.5)) / ((eta - sinTheta_O_m) ^ single(0.5))) * h));
end

Derivation

1. Initial program 91.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {sinTheta\_O}^{2} + {eta}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + -1 \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} - {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({eta}^{2}\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(eta \cdot eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 91.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}{h}}\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}} \cdot h\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}\right), h\right)\right) \]

   4. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), h\right)\right) \]

   5. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), h\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), h\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), h\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(eta \cdot eta\right), \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right), \frac{-1}{2}\right), h\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right), \frac{-1}{2}\right), h\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 90.9%

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \frac{-1}{2}\right), h\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 90.9%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{-0.5} \cdot h\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), h\right)\right) \]

   2. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), h\right)\right) \]

   3. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(\left(eta + sinTheta\_O\right) \cdot \left(eta - sinTheta\_O\right)\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), h\right)\right) \]

   4. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), h\right)\right) \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{{\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}}{{\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), h\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), h\right)\right) \]

   7. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), h\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), h\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(eta + sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), h\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), h\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(eta - sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right), h\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right), h\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\color{blue}{\frac{{\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{-0.5}}{{\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{0.5}}} \cdot h\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} sinTheta_O_m = \left|sinTheta\_O\right| \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{{\left(eta - sinTheta\_O\_m\right)}^{0.5} \cdot \sqrt{eta + sinTheta\_O\_m}}\right) \end{array} \]

FPCore

sinTheta_O_m = (fabs.f32 sinTheta_O)
(FPCore (sinTheta_O_m h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (* (pow (- eta sinTheta_O_m) 0.5) (sqrt (+ eta sinTheta_O_m))))))

C

sinTheta_O_m = fabs(sinTheta_O);
float code(float sinTheta_O_m, float h, float eta) {
	return asinf((h / (powf((eta - sinTheta_O_m), 0.5f) * sqrtf((eta + sinTheta_O_m)))));
}

Fortran

sinTheta_O_m = abs(sintheta_o)
real(4) function code(sintheta_o_m, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o_m
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (((eta - sintheta_o_m) ** 0.5e0) * sqrt((eta + sintheta_o_m)))))
end function

Julia

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O)
function code(sinTheta_O_m, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32((Float32(eta - sinTheta_O_m) ^ Float32(0.5)) * sqrt(Float32(eta + sinTheta_O_m)))))
end

MATLAB

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O);
function tmp = code(sinTheta_O_m, h, eta)
	tmp = asin((h / (((eta - sinTheta_O_m) ^ single(0.5)) * sqrt((eta + sinTheta_O_m)))));
end

Derivation

1. Initial program 91.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {sinTheta\_O}^{2} + {eta}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + -1 \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} - {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({eta}^{2}\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(eta \cdot eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 91.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(\left(eta + sinTheta\_O\right) \cdot \left(eta - sinTheta\_O\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(\left(eta - sinTheta\_O\right) \cdot \left(eta + sinTheta\_O\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   4. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(eta - sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(eta + sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{{\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{0.5} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{0.5}}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{eta + sinTheta\_O}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(eta + sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{{\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{0.5} \cdot \color{blue}{\sqrt{eta + sinTheta\_O}}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} sinTheta_O_m = \left|sinTheta\_O\right| \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O\_m \cdot \frac{sinTheta\_O\_m \cdot -0.5}{eta}}\right) \end{array} \]

FPCore

sinTheta_O_m = (fabs.f32 sinTheta_O)
(FPCore (sinTheta_O_m h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (+ eta (* sinTheta_O_m (/ (* sinTheta_O_m -0.5) eta))))))

C

sinTheta_O_m = fabs(sinTheta_O);
float code(float sinTheta_O_m, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O_m * ((sinTheta_O_m * -0.5f) / eta)))));
}

Fortran

sinTheta_O_m = abs(sintheta_o)
real(4) function code(sintheta_o_m, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o_m
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o_m * ((sintheta_o_m * (-0.5e0)) / eta)))))
end function

Julia

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O)
function code(sinTheta_O_m, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O_m * Float32(Float32(sinTheta_O_m * Float32(-0.5)) / eta)))))
end

MATLAB

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O);
function tmp = code(sinTheta_O_m, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O_m * ((sinTheta_O_m * single(-0.5)) / eta)))));
end

Derivation

1. Initial program 91.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 96.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.5}{eta}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right)}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(sinTheta\_O \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \left(\frac{sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 97.5%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \color{blue}{sinTheta\_O \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot -0.5}{eta}}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.1% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} sinTheta_O_m = \left|sinTheta\_O\right| \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \end{array} \]

FPCore

sinTheta_O_m = (fabs.f32 sinTheta_O)
(FPCore (sinTheta_O_m h eta) :precision binary32 (asin (/ h eta)))

C

sinTheta_O_m = fabs(sinTheta_O);
float code(float sinTheta_O_m, float h, float eta) {
	return asinf((h / eta));
}

Fortran

sinTheta_O_m = abs(sintheta_o)
real(4) function code(sintheta_o_m, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o_m
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / eta))
end function

Julia

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O)
function code(sinTheta_O_m, h, eta)
	return asin(Float32(h / eta))
end

MATLAB

sinTheta_O_m = abs(sinTheta_O);
function tmp = code(sinTheta_O_m, h, eta)
	tmp = asin((h / eta));
end

Derivation

1. Initial program 91.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 94.4%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, eta\right)\right) \]

5. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))