UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.9% → 98.3%

Time: 16.7s

Alternatives: 14

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

6. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.02199999988079071:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{2}{ux}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.02199999988079071)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
    (*
     uy
     (+ (* -1.3333333333333333 (* (* uy uy) (* PI (* PI PI)))) (* 2.0 PI))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* (* ux ux) (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.02199999988079071f) {
		tmp = sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f))))) * (uy * ((-1.3333333333333333f * ((uy * uy) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ux) * (-1.0f + (2.0f / ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.02199999988079071))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.02199999988079071))
		tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((uy * uy) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * ux) * (single(-1.0) + (single(2.0) / ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0219999999

   1. Initial program 57.2%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]

   if 0.0219999999 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 55.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 55.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 92.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2}{ux} + -1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.02199999988079071:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 + \frac{2}{ux}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (- (* ux (- 2.0 ux)) (* (* ux maxCos) (+ 2.0 (* ux -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) - ((ux * maxCos) * (2.0f + (ux * -2.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) - Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) - ((ux * maxCos) * (single(2.0) + (ux * single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 59.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 59.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - 1\right) - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(0 - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. flip3-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}^{3}}{0 \cdot 0 + \left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({0}^{3} - {\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{0 - \left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{0 + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}} \]

9. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{-\left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot 1}}}} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 2\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(-1 \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux + -2\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. distribute-lft-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot -2\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot ux + 2\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    21. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    22. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    23. *-lowering-*.f32 97.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.5%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right) - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03999999910593033:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.03999999910593033)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
    (*
     uy
     (+ (* -1.3333333333333333 (* (* uy uy) (* PI (* PI PI)))) (* 2.0 PI))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.03999999910593033f) {
		tmp = sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f))))) * (uy * ((-1.3333333333333333f * ((uy * uy) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.03999999910593033))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.03999999910593033))
		tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((uy * uy) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0399999991

   1. Initial program 57.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]

   if 0.0399999991 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 56.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 \cdot maxCos + ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2} + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 60.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - 1\right) - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(0 - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. flip3-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{{0}^{3} - {\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}^{3}}{0 \cdot 0 + \left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({0}^{3} - {\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(0 \cdot 0 + \left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 97.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{0 - \left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{0 + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) + 0 \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}} \]

   9. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{-\left(ux \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \cdot 1}}}} \]

   10. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(-1 \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot ux + 2\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

       10. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unsub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       12. --lowering--.f32 92.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 92.6%

       \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.03999999910593033:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.07999999821186066)
   (*
    (sqrt
     (*
      ux
      (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
    (*
     uy
     (+ (* -1.3333333333333333 (* (* uy uy) (* PI (* PI PI)))) (* 2.0 PI))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f))))) * (uy * ((-1.3333333333333333f * ((uy * uy) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
	} else {
		tmp = sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.07999999821186066))
		tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((uy * uy) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) + (single(2.0) * single(pi))));
	else
		tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0799999982

   1. Initial program 57.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 55.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 55.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 73.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 89.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
  (*
   uy
   (+ (* -1.3333333333333333 (* (* uy uy) (* PI (* PI PI)))) (* 2.0 PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f))))) * (uy * ((-1.3333333333333333f * ((uy * uy) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) + (2.0f * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((uy * uy) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))) + (single(2.0) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{ux}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 88.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 88.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]

9. Final simplification 88.9%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 81.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ maxCos -1.0))) (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
  (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (((1.0f - maxCos) * (ux * (maxCos + -1.0f))) + (2.0f + (maxCos * -2.0f))))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))) + Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - maxCos) * (ux * (maxCos + single(-1.0)))) + (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + 2\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right) + \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 82.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 82.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \]

9. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(2 + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 81.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 2.0 (+ (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (* maxCos -2.0)))))
  (* uy (* 2.0 PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (maxCos * -2.0f))))) * (uy * (2.0f * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (maxCos * single(-2.0)))))) * (uy * (single(2.0) * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}{1 - ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)} + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 \cdot 1 - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)} + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. accelerator-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{fma.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 - ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)}\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 49.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \frac{1}{1 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 82.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.3%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Final simplification 82.3%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 80.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(-1 + 2 \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* 2.0 PI))
  (sqrt (* ux (+ (- 2.0 (* 2.0 maxCos)) (* ux (+ -1.0 (* 2.0 maxCos))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * ((2.0f - (2.0f * maxCos)) + (ux * (-1.0f + (2.0f * maxCos))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) * maxCos)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - (single(2.0) * maxCos)) + (ux * (single(-1.0) + (single(2.0) * maxCos))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 56.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux \cdot 1 + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + 2\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 81.7%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + ux \cdot -2\right)\right) + \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(2 \cdot maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 81.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.7%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + -1\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

14. Final simplification 81.7%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right) + ux \cdot \left(-1 + 2 \cdot maxCos\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 80.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (* 2.0 PI))
  (sqrt (+ (* -2.0 (* ux maxCos)) (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf(((-2.0f * (ux * maxCos)) + (ux + (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(ux * maxCos)) + Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt(((single(-2.0) * (ux * maxCos)) + (ux + (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 56.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux \cdot 1 + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + 2\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) + \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + -2 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot ux + 2 \cdot ux\right) - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 81.7%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + ux \cdot -2\right)\right) + \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(maxCos \cdot ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(ux \cdot maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 81.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 81.2%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-2 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)} + \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

14. Final simplification 81.2%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;maxCos \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (if (<= maxCos 9.999999747378752e-6)
     (* t_0 (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))
     (* t_0 (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (maxCos <= 9.999999747378752e-6f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
	} else {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(9.999999747378752e-6))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	else
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(9.999999747378752e-6))
		tmp = t_0 * sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
	else
		tmp = t_0 * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 9.99999975e-6

   1. Initial program 57.6%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. Simplified 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 56.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + -1 \cdot \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      7. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      11. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 81.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 81.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

   if 9.99999975e-6 < maxCos

   1. Initial program 52.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. Simplified 49.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 65.5% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* uy (* 2.0 PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (2.0f * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (single(2.0) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 66.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 66.9%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]

9. Final simplification 66.9%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 62.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{2 \cdot ux} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sqrt (* 2.0 ux)) (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((2.0f * ux)) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((single(2.0) * ux)) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)}{\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) - \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right), \left(\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 56.5%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) - \left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)}{\left(1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(ux \cdot \left({\left(2 - maxCos\right)}^{2} - {maxCos}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot ux\right) \cdot \left({\left(2 - maxCos\right)}^{2} - {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot ux\right), \left({\left(2 - maxCos\right)}^{2} - {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \left({\left(2 - maxCos\right)}^{2} - {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left({\left(2 - maxCos\right)}^{2}\right), \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(2 - maxCos\right) \cdot \left(2 - maxCos\right)\right), \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 - maxCos\right), \left(2 - maxCos\right)\right), \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right), \left(2 - maxCos\right)\right), \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 77.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(2, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 77.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 \cdot ux\right) \cdot \left(\left(2 - maxCos\right) \cdot \left(2 - maxCos\right) - maxCos \cdot maxCos\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 72.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

10. Simplified 72.3%

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 63.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

13. Simplified 63.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot 2} \]

14. Final simplification 63.1%

    \[\leadsto \sqrt{2 \cdot ux} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \sqrt{0} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto 0 \cdot \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. mul0-lft 7.1%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 7.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))