Bouland and Aaronson, Equation (26)

Percentage Accurate: 99.9% → 99.9%

Time: 17.4s

Alternatives: 13

Speedup: 3.5×

• 60.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2.0) (* 4.0 (* b b))) 1.0))

C

double code(double a, double b) {
	return (pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = ((((a * a) + (b * b)) ** 2.0d0) + (4.0d0 * (b * b))) - 1.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return (Math.pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
}

Python

def code(a, b):
	return (math.pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0

Julia

function code(a, b)
	return Float64(Float64((Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b)) ^ 2.0) + Float64(4.0 * Float64(b * b))) - 1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = ((((a * a) + (b * b)) ^ 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(N[(N[Power[N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2.0) (* 4.0 (* b b))) 1.0))

C

double code(double a, double b) {
	return (pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = ((((a * a) + (b * b)) ** 2.0d0) + (4.0d0 * (b * b))) - 1.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return (Math.pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
}

Python

def code(a, b):
	return (math.pow(((a * a) + (b * b)), 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0

Julia

function code(a, b)
	return Float64(Float64((Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b)) ^ 2.0) + Float64(4.0 * Float64(b * b))) - 1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = ((((a * a) + (b * b)) ^ 2.0) + (4.0 * (b * b))) - 1.0;
end

Wolfram

code[a_, b_] := N[(N[(N[Power[N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot a + b \cdot b\\ \frac{\frac{t\_0}{a - b}}{\frac{\frac{1}{t\_0}}{a - b}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* a a) (* b b))))
   (+ (/ (/ t_0 (- a b)) (/ (/ 1.0 t_0) (- a b))) (+ (* b (* b 4.0)) -1.0))))

C

double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((t_0 / (a - b)) / ((1.0 / t_0) / (a - b))) + ((b * (b * 4.0)) + -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: t_0
    t_0 = (a * a) + (b * b)
    code = ((t_0 / (a - b)) / ((1.0d0 / t_0) / (a - b))) + ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0))
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((t_0 / (a - b)) / ((1.0 / t_0) / (a - b))) + ((b * (b * 4.0)) + -1.0);
}

Python

def code(a, b):
	t_0 = (a * a) + (b * b)
	return ((t_0 / (a - b)) / ((1.0 / t_0) / (a - b))) + ((b * (b * 4.0)) + -1.0)

Julia

function code(a, b)
	t_0 = Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b))
	return Float64(Float64(Float64(t_0 / Float64(a - b)) / Float64(Float64(1.0 / t_0) / Float64(a - b))) + Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	t_0 = (a * a) + (b * b);
	tmp = ((t_0 / (a - b)) / ((1.0 / t_0) / (a - b))) + ((b * (b * 4.0)) + -1.0);
end

Wolfram

code[a_, b_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 / N[(a - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision] / N[(a - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot -1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot -1\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

8. Applied egg-rr 84.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a - b} \cdot \left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right)} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)}{\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)}{a - b}\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}}{\frac{1}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a - b\right)}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}{a - b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right), \left(a - b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(a - b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(a - b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(a - b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(a - b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

    7. --lowering--.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}{a - b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot a + b \cdot b\\ \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{\frac{t\_0}{a - b}}{\frac{1}{t\_0 \cdot \left(a - b\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* a a) (* b b))))
   (+ (+ (* b (* b 4.0)) -1.0) (/ (/ t_0 (- a b)) (/ 1.0 (* t_0 (- a b)))))))

C

double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((t_0 / (a - b)) / (1.0 / (t_0 * (a - b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: t_0
    t_0 = (a * a) + (b * b)
    code = ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0)) + ((t_0 / (a - b)) / (1.0d0 / (t_0 * (a - b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((t_0 / (a - b)) / (1.0 / (t_0 * (a - b))));
}

Python

def code(a, b):
	t_0 = (a * a) + (b * b)
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((t_0 / (a - b)) / (1.0 / (t_0 * (a - b))))

Julia

function code(a, b)
	t_0 = Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b))
	return Float64(Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0) + Float64(Float64(t_0 / Float64(a - b)) / Float64(1.0 / Float64(t_0 * Float64(a - b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	t_0 = (a * a) + (b * b);
	tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((t_0 / (a - b)) / (1.0 / (t_0 * (a - b))));
end

Wolfram

code[a_, b_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 / N[(a - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(t$95$0 * N[(a - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   9. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot -1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot -1\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

8. Applied egg-rr 84.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{a - b} \cdot \left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right)} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)}{\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a - b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)}{a - b}\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a - b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{a + b}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a + b}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}}{\frac{1}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a - b\right)}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{a - b}}{\frac{1}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a - b\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\frac{1}{a}}{a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* b b) 1000000000.0)
   (+ (+ (* b (* b 4.0)) -1.0) (/ (+ (* a a) (* b b)) (/ (/ 1.0 a) a)))
   (* (* b (* b (* b b))) (- 1.0 (/ (/ (+ -4.0 (* a (* a -2.0))) b) b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (((a * a) + (b * b)) / ((1.0 / a) / a));
	} else {
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((b * b) <= 1000000000.0d0) then
        tmp = ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0)) + (((a * a) + (b * b)) / ((1.0d0 / a) / a))
    else
        tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0d0 - ((((-4.0d0) + (a * (a * (-2.0d0)))) / b) / b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (((a * a) + (b * b)) / ((1.0 / a) / a));
	} else {
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (b * b) <= 1000000000.0:
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (((a * a) + (b * b)) / ((1.0 / a) / a))
	else:
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0) + Float64(Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b)) / Float64(Float64(1.0 / a) / a)));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * Float64(b * Float64(b * b))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(-4.0 + Float64(a * Float64(a * -2.0))) / b) / b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (((a * a) + (b * b)) / ((1.0 / a) / a));
	else
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(b * b), $MachinePrecision], 1000000000.0], N[(N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 / a), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(-4.0 + N[(a * N[(a * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 b b) < 1e9

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot -1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot -1\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot a}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{a}}{a}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.9%

       \[\leadsto \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{a}}{a}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   if 1e9 < (*.f64 b b)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b} \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a - b \cdot b\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{\left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a + b\right)\right) \cdot \left(a - b\right)}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4} \cdot \left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\left(4 + {a}^{2}\right) - \left(-1 \cdot {a}^{2} + -1 \cdot {\left(a + -1 \cdot a\right)}^{2}\right)}{b} - -1 \cdot \left(a + -1 \cdot a\right)}{b}\right)} \]

   9. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\frac{1}{a}}{a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a}{\frac{1}{a \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* b b) 1000000000.0)
   (+ (+ (* b (* b 4.0)) -1.0) (/ (* a a) (/ 1.0 (* a a))))
   (* (* b (* b (* b b))) (- 1.0 (/ (/ (+ -4.0 (* a (* a -2.0))) b) b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((b * b) <= 1000000000.0d0) then
        tmp = ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0)) + ((a * a) / (1.0d0 / (a * a)))
    else
        tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0d0 - ((((-4.0d0) + (a * (a * (-2.0d0)))) / b) / b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (b * b) <= 1000000000.0:
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)))
	else:
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0) + Float64(Float64(a * a) / Float64(1.0 / Float64(a * a))));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * Float64(b * Float64(b * b))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(-4.0 + Float64(a * Float64(a * -2.0))) / b) / b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	else
		tmp = (b * (b * (b * b))) * (1.0 - (((-4.0 + (a * (a * -2.0))) / b) / b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(b * b), $MachinePrecision], 1000000000.0], N[(N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(N[(-4.0 + N[(a * N[(a * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 b b) < 1e9

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot -1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot -1\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot a}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   10. Taylor expanded in a around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({a}^{2}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{a \cdot a}}{\frac{1}{a \cdot a}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   if 1e9 < (*.f64 b b)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b} \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b} \cdot \frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)}{a \cdot a - b \cdot b}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a - b \cdot b\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) - \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}{\left(\left(a \cdot a - b \cdot b\right) \cdot \left(a + b\right)\right) \cdot \left(a - b\right)}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4} \cdot \left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\left(4 + {a}^{2}\right) - \left(-1 \cdot {a}^{2} + -1 \cdot {\left(a + -1 \cdot a\right)}^{2}\right)}{b} - -1 \cdot \left(a + -1 \cdot a\right)}{b}\right)} \]

   9. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a}{\frac{1}{a \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{\frac{-4 + a \cdot \left(a \cdot -2\right)}{b}}{b}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 47.8% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \mathbf{if}\;b \leq 7.7 \cdot 10^{-240}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{elif}\;b \leq 4.8 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.15 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{elif}\;b \leq 8.5 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* a (* a (* a a)))))
   (if (<= b 7.7e-240)
     -1.0
     (if (<= b 4.8e-136)
       t_0
       (if (<= b 1.15e-65)
         -1.0
         (if (<= b 8.5e+20) t_0 (* b (* b (* b b)))))))))

C

double code(double a, double b) {
	double t_0 = a * (a * (a * a));
	double tmp;
	if (b <= 7.7e-240) {
		tmp = -1.0;
	} else if (b <= 4.8e-136) {
		tmp = t_0;
	} else if (b <= 1.15e-65) {
		tmp = -1.0;
	} else if (b <= 8.5e+20) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = b * (b * (b * b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = a * (a * (a * a))
    if (b <= 7.7d-240) then
        tmp = -1.0d0
    else if (b <= 4.8d-136) then
        tmp = t_0
    else if (b <= 1.15d-65) then
        tmp = -1.0d0
    else if (b <= 8.5d+20) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = b * (b * (b * b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double t_0 = a * (a * (a * a));
	double tmp;
	if (b <= 7.7e-240) {
		tmp = -1.0;
	} else if (b <= 4.8e-136) {
		tmp = t_0;
	} else if (b <= 1.15e-65) {
		tmp = -1.0;
	} else if (b <= 8.5e+20) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = b * (b * (b * b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	t_0 = a * (a * (a * a))
	tmp = 0
	if b <= 7.7e-240:
		tmp = -1.0
	elif b <= 4.8e-136:
		tmp = t_0
	elif b <= 1.15e-65:
		tmp = -1.0
	elif b <= 8.5e+20:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = b * (b * (b * b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	t_0 = Float64(a * Float64(a * Float64(a * a)))
	tmp = 0.0
	if (b <= 7.7e-240)
		tmp = -1.0;
	elseif (b <= 4.8e-136)
		tmp = t_0;
	elseif (b <= 1.15e-65)
		tmp = -1.0;
	elseif (b <= 8.5e+20)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(b * Float64(b * Float64(b * b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	t_0 = a * (a * (a * a));
	tmp = 0.0;
	if (b <= 7.7e-240)
		tmp = -1.0;
	elseif (b <= 4.8e-136)
		tmp = t_0;
	elseif (b <= 1.15e-65)
		tmp = -1.0;
	elseif (b <= 8.5e+20)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = b * (b * (b * b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := Block[{t$95$0 = N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[b, 7.7e-240], -1.0, If[LessEqual[b, 4.8e-136], t$95$0, If[LessEqual[b, 1.15e-65], -1.0, If[LessEqual[b, 8.5e+20], t$95$0, N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < 7.7e-240 or 4.7999999999999997e-136 < b < 1.15e-65

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{4} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{\left(2 \cdot 2\right)} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      5. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot {b}^{2} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(4 + {b}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval 67.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + b \cdot b\right) + -1} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 32.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

   if 7.7e-240 < b < 4.7999999999999997e-136 or 1.15e-65 < b < 8.5e20

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {a}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)} \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot \color{blue}{{a}^{2}} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(a \cdot a\right) \cdot {\color{blue}{a}}^{2} \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 77.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)} \]

   if 8.5e20 < b

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {b}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)} \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {b}^{2} \cdot \color{blue}{{b}^{2}} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(b \cdot b\right) \cdot {\color{blue}{b}}^{2} \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot {b}^{2}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b \cdot {b}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 96.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.3% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a}{\frac{1}{a \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* b b) 1000000000.0)
   (+ (+ (* b (* b 4.0)) -1.0) (/ (* a a) (/ 1.0 (* a a))))
   (* (* b b) (+ 4.0 (+ (* b b) (* (* a a) 2.0))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((b * b) <= 1000000000.0d0) then
        tmp = ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0)) + ((a * a) / (1.0d0 / (a * a)))
    else
        tmp = (b * b) * (4.0d0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (b * b) <= 1000000000.0:
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)))
	else:
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0) + Float64(Float64(a * a) / Float64(1.0 / Float64(a * a))));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) * Float64(4.0 + Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * a) * 2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + ((a * a) / (1.0 / (a * a)));
	else
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(b * b), $MachinePrecision], 1000000000.0], N[(N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(4.0 + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 b b) < 1e9

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right)}, -1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      8. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{\frac{{\left(a \cdot a\right)}^{3} + {\left(b \cdot b\right)}^{3}}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right) - \left(a \cdot a\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

      9. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot -1}{a \cdot a + b \cdot b}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot -1\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)}\right), -1\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{a \cdot a + b \cdot b}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{4}\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{a \cdot a + b \cdot b}{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot a}}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   10. Taylor expanded in a around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({a}^{2}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. Simplified 99.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{a \cdot a}}{\frac{1}{a \cdot a}} + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) \]

   if 1e9 < (*.f64 b b)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4} \cdot \left(1 + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + \color{blue}{1}\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + \color{blue}{{b}^{4} \cdot 1} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + {b}^{\color{blue}{4}} \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + 2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \frac{a \cdot a}{\frac{1}{a \cdot a}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.9% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a \cdot a + b \cdot b\\ \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + t\_0 \cdot t\_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* a a) (* b b)))) (+ (+ (* b (* b 4.0)) -1.0) (* t_0 t_0))))

C

double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (t_0 * t_0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: t_0
    t_0 = (a * a) + (b * b)
    code = ((b * (b * 4.0d0)) + (-1.0d0)) + (t_0 * t_0)
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double t_0 = (a * a) + (b * b);
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (t_0 * t_0);
}

Python

def code(a, b):
	t_0 = (a * a) + (b * b)
	return ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (t_0 * t_0)

Julia

function code(a, b)
	t_0 = Float64(Float64(a * a) + Float64(b * b))
	return Float64(Float64(Float64(b * Float64(b * 4.0)) + -1.0) + Float64(t_0 * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	t_0 = (a * a) + (b * b);
	tmp = ((b * (b * 4.0)) + -1.0) + (t_0 * t_0);
end

Wolfram

code[a_, b_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(b * N[(b * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right) + \left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.1% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;-1 + a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* b b) 1000000000.0)
   (+ -1.0 (* a (* a (* a a))))
   (* (* b b) (+ 4.0 (+ (* b b) (* (* a a) 2.0))))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((b * b) <= 1000000000.0d0) then
        tmp = (-1.0d0) + (a * (a * (a * a)))
    else
        tmp = (b * b) * (4.0d0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 1000000000.0) {
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	} else {
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (b * b) <= 1000000000.0:
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)))
	else:
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(a * Float64(a * Float64(a * a))));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) * Float64(4.0 + Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * a) * 2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((b * b) <= 1000000000.0)
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	else
		tmp = (b * b) * (4.0 + ((b * b) + ((a * a) * 2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(b * b), $MachinePrecision], 1000000000.0], N[(-1.0 + N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(4.0 + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 b b) < 1e9

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4} - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto {a}^{4} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {a}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {a}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {a}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {a}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right) + -1} \]

   if 1e9 < (*.f64 b b)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4} \cdot \left(1 + \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + \color{blue}{1}\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + \color{blue}{{b}^{4} \cdot 1} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto {b}^{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{b}^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{{b}^{2}}\right) + {b}^{\color{blue}{4}} \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + 2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 1000000000:\\ \;\;\;\;-1 + a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + \left(b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.9% accurate, 5.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot a \leq 2000000:\\ \;\;\;\;-1 + b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b + 4\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a + \left(b \cdot b\right) \cdot 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* a a) 2000000.0)
   (+ -1.0 (* b (* b (+ (* b b) 4.0))))
   (* (* a a) (+ (* a a) (* (* b b) 2.0)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((a * a) <= 2000000.0) {
		tmp = -1.0 + (b * (b * ((b * b) + 4.0)));
	} else {
		tmp = (a * a) * ((a * a) + ((b * b) * 2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((a * a) <= 2000000.0d0) then
        tmp = (-1.0d0) + (b * (b * ((b * b) + 4.0d0)))
    else
        tmp = (a * a) * ((a * a) + ((b * b) * 2.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((a * a) <= 2000000.0) {
		tmp = -1.0 + (b * (b * ((b * b) + 4.0)));
	} else {
		tmp = (a * a) * ((a * a) + ((b * b) * 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (a * a) <= 2000000.0:
		tmp = -1.0 + (b * (b * ((b * b) + 4.0)))
	else:
		tmp = (a * a) * ((a * a) + ((b * b) * 2.0))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(a * a) <= 2000000.0)
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(b * Float64(b * Float64(Float64(b * b) + 4.0))));
	else
		tmp = Float64(Float64(a * a) * Float64(Float64(a * a) + Float64(Float64(b * b) * 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((a * a) <= 2000000.0)
		tmp = -1.0 + (b * (b * ((b * b) + 4.0)));
	else
		tmp = (a * a) * ((a * a) + ((b * b) * 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(a * a), $MachinePrecision], 2000000.0], N[(-1.0 + N[(b * N[(b * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 a a) < 2e6

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{4} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{\left(2 \cdot 2\right)} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      5. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot {b}^{2} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(4 + {b}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + b \cdot b\right) + -1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(b \cdot \left(4 + b \cdot b\right)\right)\right), -1\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(b \cdot \left(4 + b \cdot b\right)\right) \cdot b\right), -1\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 + b \cdot b\right)\right), b\right), -1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 + b \cdot b\right)\right), b\right), -1\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b + 4\right)\right), b\right), -1\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), 4\right)\right), b\right), -1\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 98.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 4\right)\right), b\right), -1\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot \left(b \cdot b + 4\right)\right) \cdot b} + -1 \]

   if 2e6 < (*.f64 a a)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4} \cdot \left(1 + 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto {a}^{4} \cdot 1 + \color{blue}{{a}^{4} \cdot \left(2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\right)} \]

      2. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto {a}^{4} + \color{blue}{{a}^{4}} \cdot \left(2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {a}^{\left(2 \cdot 2\right)} + {a}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \color{blue}{{a}^{4}} \cdot \left(2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + {a}^{4} \cdot \frac{2 \cdot {b}^{2}}{\color{blue}{{a}^{2}}} \]

      6. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \frac{{a}^{4} \cdot \left(2 \cdot {b}^{2}\right)}{\color{blue}{{a}^{2}}} \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \frac{\left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot {a}^{4}}{{\color{blue}{a}}^{2}} \]

      8. associate-/l* N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}}} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot \frac{{a}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{{a}^{2}} \]

      10. pow-sqr N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {a}^{2}}{{\color{blue}{a}}^{2}} \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot \left({a}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}}}\right) \]

      12. *-inverses N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot \left({a}^{2} \cdot 1\right) \]

      13. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot {a}^{2} + \left(2 \cdot {b}^{2}\right) \cdot {a}^{\color{blue}{2}} \]

      14. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot \color{blue}{\left({a}^{2} + 2 \cdot {b}^{2}\right)} \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto {a}^{2} \cdot \left(2 \cdot {b}^{2} + \color{blue}{{a}^{2}}\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot {b}^{2} + {a}^{2}\right)}\right) \]

   7. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a + 2 \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot a \leq 2000000:\\ \;\;\;\;-1 + b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b + 4\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot a + \left(b \cdot b\right) \cdot 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 94.4% accurate, 7.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 5 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;-1 + a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* b b) 5e+31) (+ -1.0 (* a (* a (* a a)))) (* b (* b (* b b)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 5e+31) {
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	} else {
		tmp = b * (b * (b * b));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((b * b) <= 5d+31) then
        tmp = (-1.0d0) + (a * (a * (a * a)))
    else
        tmp = b * (b * (b * b))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((b * b) <= 5e+31) {
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	} else {
		tmp = b * (b * (b * b));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (b * b) <= 5e+31:
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)))
	else:
		tmp = b * (b * (b * b))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(b * b) <= 5e+31)
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(a * Float64(a * Float64(a * a))));
	else
		tmp = Float64(b * Float64(b * Float64(b * b)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((b * b) <= 5e+31)
		tmp = -1.0 + (a * (a * (a * a)));
	else
		tmp = b * (b * (b * b));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(b * b), $MachinePrecision], 5e+31], N[(-1.0 + N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 b b) < 5.00000000000000027e31

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4} - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto {a}^{4} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {a}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {a}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {a}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {a}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right) + -1} \]

   if 5.00000000000000027e31 < (*.f64 b b)

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {b}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)} \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {b}^{2} \cdot \color{blue}{{b}^{2}} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(b \cdot b\right) \cdot {\color{blue}{b}}^{2} \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot {b}^{2}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b \cdot {b}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 92.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \cdot b \leq 5 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;-1 + a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 82.9% accurate, 8.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot a \leq 50000000000:\\ \;\;\;\;-1 + \left(b \cdot b\right) \cdot 4\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (if (<= (* a a) 50000000000.0) (+ -1.0 (* (* b b) 4.0)) (* a (* a (* a a)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((a * a) <= 50000000000.0) {
		tmp = -1.0 + ((b * b) * 4.0);
	} else {
		tmp = a * (a * (a * a));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if ((a * a) <= 50000000000.0d0) then
        tmp = (-1.0d0) + ((b * b) * 4.0d0)
    else
        tmp = a * (a * (a * a))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if ((a * a) <= 50000000000.0) {
		tmp = -1.0 + ((b * b) * 4.0);
	} else {
		tmp = a * (a * (a * a));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if (a * a) <= 50000000000.0:
		tmp = -1.0 + ((b * b) * 4.0)
	else:
		tmp = a * (a * (a * a))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (Float64(a * a) <= 50000000000.0)
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(Float64(b * b) * 4.0));
	else
		tmp = Float64(a * Float64(a * Float64(a * a)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if ((a * a) <= 50000000000.0)
		tmp = -1.0 + ((b * b) * 4.0);
	else
		tmp = a * (a * (a * a));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[N[(a * a), $MachinePrecision], 50000000000.0], N[(-1.0 + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 a a) < 5e10

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{4} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{\left(2 \cdot 2\right)} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      5. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot {b}^{2} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(4 + {b}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + b \cdot b\right) + -1} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \color{blue}{4}\right), -1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 74.4%

       \[\leadsto \left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{4} + -1 \]

   if 5e10 < (*.f64 a a)

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {a}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)} \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot \color{blue}{{a}^{2}} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(a \cdot a\right) \cdot {\color{blue}{a}}^{2} \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 90.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot a \leq 50000000000:\\ \;\;\;\;-1 + \left(b \cdot b\right) \cdot 4\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 46.9% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 (if (<= a 1.0) -1.0 (* a (* a (* a a)))))

C

double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= 1.0) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = a * (a * (a * a));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8) :: tmp
    if (a <= 1.0d0) then
        tmp = -1.0d0
    else
        tmp = a * (a * (a * a))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	double tmp;
	if (a <= 1.0) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = a * (a * (a * a));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b):
	tmp = 0
	if a <= 1.0:
		tmp = -1.0
	else:
		tmp = a * (a * (a * a))
	return tmp

Julia

function code(a, b)
	tmp = 0.0
	if (a <= 1.0)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = Float64(a * Float64(a * Float64(a * a)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 1.0)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = a * (a * (a * a));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_] := If[LessEqual[a, 1.0], -1.0, N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) - 1} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{4} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{\left(2 \cdot 2\right)} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      5. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot {b}^{2} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(4 + {b}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval 77.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right) \]

   7. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + b \cdot b\right) + -1} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 30.6%

       \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

   if 1 < a

   1. Initial program 99.8%

      \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {a}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)} \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto {a}^{2} \cdot \color{blue}{{a}^{2}} \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(a \cdot a\right) \cdot {\color{blue}{a}}^{2} \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot {a}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({a}^{2}\right)}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 91.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 25.4% accurate, 116.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double a, double b) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b) {
	return -1.0;
}

Python

def code(a, b):
	return -1.0

Julia

function code(a, b)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(a, b)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[a_, b_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + 4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right) - 1 \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto {\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2} + \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot a + b \cdot b\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a + b \cdot b\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4 \cdot \left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{4} \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot a + b \cdot b\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)} - 1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(\color{blue}{b} \cdot b\right) - 1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot \color{blue}{b}\right) - 1\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(4 \cdot \left(b \cdot b\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(4 \cdot b\right) \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(4 \cdot b\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a + b \cdot b\right) \cdot \left(a \cdot a + b \cdot b\right) + \left(b \cdot \left(b \cdot 4\right) + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) - 1} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(4 \cdot {b}^{2} + {b}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{4} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{\left(2 \cdot 2\right)} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   5. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot {b}^{2} + 4 \cdot {b}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2} \cdot \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{1}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({b}^{2} + 4\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(4 + {b}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval 68.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right) \]

7. Simplified 68.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(4 + b \cdot b\right) + -1} \]

8. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 23.7%

    \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (26)"
  :precision binary64
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2.0) (* 4.0 (* b b))) 1.0))