Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 99.6%

Time: 20.4s

Alternatives: 15

Speedup: N/A×

• 99.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 99.6% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ (exp (* x x)) (fabs x)) (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / fabs(x)) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / Math.abs(x)) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / math.fabs(x)) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / abs(x)) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / abs(x)) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   4. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 93.7% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\\ t_1 := 1 + t\_0\\ t_2 := \sqrt{\frac{1}{\pi}}\\ t_3 := -1 - t\_0\\ t_4 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\\ t_5 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{1 + \left(t\_5 \cdot t\_5\right) \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 + t\_4 \cdot \left(t\_4 + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_3\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))
        (t_1 (+ 1.0 t_0))
        (t_2 (sqrt (/ 1.0 PI)))
        (t_3 (- -1.0 t_0))
        (t_4 (* (* x x) t_1))
        (t_5 (* x (* x x))))
   (if (<= (fabs x) 5e+23)
     (*
      t_2
      (/
       (+ 1.0 (* (* t_5 t_5) (* t_1 (* t_1 t_1))))
       (* (fabs x) (+ 1.0 (* t_4 (+ t_4 -1.0))))))
     (if (<= (fabs x) 2e+50)
       (*
        t_2
        (/
         (/ (+ 1.0 (* (* x x) (* (* x x) (* t_1 t_3)))) (fabs x))
         (+ 1.0 (* (* x x) t_3))))
       (*
        t_2
        (/
         (+ 1.0 (* (* x x) (* (* x x) (* x (* x 0.16666666666666666)))))
         (fabs x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = 1.0 + t_0;
	double t_2 = sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
	double t_3 = -1.0 - t_0;
	double t_4 = (x * x) * t_1;
	double t_5 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+23) {
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((t_5 * t_5) * (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (fabs(x) * (1.0 + (t_4 * (t_4 + -1.0)))));
	} else if (fabs(x) <= 2e+50) {
		tmp = t_2 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (t_1 * t_3)))) / fabs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_3)));
	} else {
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / fabs(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = 1.0 + t_0;
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
	double t_3 = -1.0 - t_0;
	double t_4 = (x * x) * t_1;
	double t_5 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+23) {
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((t_5 * t_5) * (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (Math.abs(x) * (1.0 + (t_4 * (t_4 + -1.0)))));
	} else if (Math.abs(x) <= 2e+50) {
		tmp = t_2 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (t_1 * t_3)))) / Math.abs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_3)));
	} else {
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / Math.abs(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = 1.0 + t_0
	t_2 = math.sqrt((1.0 / math.pi))
	t_3 = -1.0 - t_0
	t_4 = (x * x) * t_1
	t_5 = x * (x * x)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+23:
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((t_5 * t_5) * (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (math.fabs(x) * (1.0 + (t_4 * (t_4 + -1.0)))))
	elif math.fabs(x) <= 2e+50:
		tmp = t_2 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (t_1 * t_3)))) / math.fabs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_3)))
	else:
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / math.fabs(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_1 = Float64(1.0 + t_0)
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 / pi))
	t_3 = Float64(-1.0 - t_0)
	t_4 = Float64(Float64(x * x) * t_1)
	t_5 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+23)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_5 * t_5) * Float64(t_1 * Float64(t_1 * t_1)))) / Float64(abs(x) * Float64(1.0 + Float64(t_4 * Float64(t_4 + -1.0))))));
	elseif (abs(x) <= 2e+50)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(t_1 * t_3)))) / abs(x)) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_3))));
	else
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))) / abs(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	t_1 = 1.0 + t_0;
	t_2 = sqrt((1.0 / pi));
	t_3 = -1.0 - t_0;
	t_4 = (x * x) * t_1;
	t_5 = x * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+23)
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((t_5 * t_5) * (t_1 * (t_1 * t_1)))) / (abs(x) * (1.0 + (t_4 * (t_4 + -1.0)))));
	elseif (abs(x) <= 2e+50)
		tmp = t_2 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (t_1 * t_3)))) / abs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_3)));
	else
		tmp = t_2 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / abs(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+23], N[(t$95$2 * N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$5 * t$95$5), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$4 * N[(t$95$4 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 2e+50], N[(t$95$2 * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.9999999999999999e23

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 3.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 3.7%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

       2. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       3. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot 1}{\color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

       4. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 40.6%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + -1\right)\right) \cdot \left|x\right|}} \]

   if 4.9999999999999999e23 < (fabs.f64 x) < 2.0000000000000002e50

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 5.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 5.2%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 2.0000000000000002e50 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{6}\right)}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 3\right)}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. cube-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       5. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{4} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       12. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       13. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       20. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       22. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       23. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       24. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 91.6% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\\ t_1 := \sqrt{\frac{1}{\pi}}\\ t_2 := -1 - t\_0\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + t\_0\right) \cdot t\_2\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))
        (t_1 (sqrt (/ 1.0 PI)))
        (t_2 (- -1.0 t_0)))
   (if (<= (fabs x) 2e+50)
     (*
      t_1
      (/
       (/ (+ 1.0 (* (* x x) (* (* x x) (* (+ 1.0 t_0) t_2)))) (fabs x))
       (+ 1.0 (* (* x x) t_2))))
     (*
      t_1
      (/
       (+ 1.0 (* (* x x) (* (* x x) (* x (* x 0.16666666666666666)))))
       (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
	double t_2 = -1.0 - t_0;
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 2e+50) {
		tmp = t_1 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_2)))) / fabs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_2)));
	} else {
		tmp = t_1 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / fabs(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
	double t_2 = -1.0 - t_0;
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 2e+50) {
		tmp = t_1 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_2)))) / Math.abs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_2)));
	} else {
		tmp = t_1 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / Math.abs(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = math.sqrt((1.0 / math.pi))
	t_2 = -1.0 - t_0
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 2e+50:
		tmp = t_1 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_2)))) / math.fabs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_2)))
	else:
		tmp = t_1 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / math.fabs(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 / pi))
	t_2 = Float64(-1.0 - t_0)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 2e+50)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(1.0 + t_0) * t_2)))) / abs(x)) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_2))));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))) / abs(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	t_1 = sqrt((1.0 / pi));
	t_2 = -1.0 - t_0;
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 2e+50)
		tmp = t_1 * (((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_2)))) / abs(x)) / (1.0 + ((x * x) * t_2)));
	else
		tmp = t_1 * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / abs(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 2e+50], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 2.0000000000000002e50

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 4.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 4.6%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.6%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 2.0000000000000002e50 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{6}\right)}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 3\right)}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. cube-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       5. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{4} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       12. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       13. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       20. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       22. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       23. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       24. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 89.6% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - x \cdot \left(t\_1 \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right)\right)}{1 - t\_1}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))) (t_1 (* (* x x) t_0)))
   (if (<= (fabs x) 5e+74)
     (*
      (sqrt (/ 1.0 PI))
      (/
       (+ 1.0 (/ (* (* x x) (- 1.0 (* x (* t_1 (* x t_0))))) (- 1.0 t_1)))
       (fabs x)))
     (* (/ (* x x) (/ (/ (sqrt PI) x) x)) (/ 0.5 (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+74) {
		tmp = sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (x * (t_1 * (x * t_0))))) / (1.0 - t_1))) / fabs(x));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(((double) M_PI)) / x) / x)) * (0.5 / fabs(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+74) {
		tmp = Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (x * (t_1 * (x * t_0))))) / (1.0 - t_1))) / Math.abs(x));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((Math.sqrt(Math.PI) / x) / x)) * (0.5 / Math.abs(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	t_1 = (x * x) * t_0
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+74:
		tmp = math.sqrt((1.0 / math.pi)) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (x * (t_1 * (x * t_0))))) / (1.0 - t_1))) / math.fabs(x))
	else:
		tmp = ((x * x) / ((math.sqrt(math.pi) / x) / x)) * (0.5 / math.fabs(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 - Float64(x * Float64(t_1 * Float64(x * t_0))))) / Float64(1.0 - t_1))) / abs(x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(Float64(sqrt(pi) / x) / x)) * Float64(0.5 / abs(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	t_1 = (x * x) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = sqrt((1.0 / pi)) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (x * (t_1 * (x * t_0))))) / (1.0 - t_1))) / abs(x));
	else
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(pi) / x) / x)) * (0.5 / abs(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+74], N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(x * N[(t$95$1 * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.99999999999999963e74

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.1%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.9%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}}}{\left|x\right|} \]

   if 4.99999999999999963e74 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

      11. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

      22. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

      23. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       4. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. clear-num N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       13. un-div-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       17. fabs-lowering-fabs.f64 94.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 94.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{\left|x\right|}{0.5}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. associate-/r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}}{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       14. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       15. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

       16. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.4% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot 0.004629629629629629\right)\right)}{0.25 + t\_1 \cdot \left(t\_1 + -0.5\right)}\right)}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))) (t_1 (* (* x x) 0.16666666666666666)))
   (if (<= (fabs x) 5e+74)
     (*
      (sqrt (/ 1.0 PI))
      (/
       (+
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          1.0
          (/
           (* (* x x) (+ 0.125 (* t_0 (* t_0 0.004629629629629629))))
           (+ 0.25 (* t_1 (+ t_1 -0.5)))))))
       (fabs x)))
     (* (/ (* x x) (/ (/ (sqrt PI) x) x)) (/ 0.5 (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+74) {
		tmp = sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (t_0 * (t_0 * 0.004629629629629629)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 + -0.5))))))) / fabs(x));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(((double) M_PI)) / x) / x)) * (0.5 / fabs(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+74) {
		tmp = Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (t_0 * (t_0 * 0.004629629629629629)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 + -0.5))))))) / Math.abs(x));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((Math.sqrt(Math.PI) / x) / x)) * (0.5 / Math.abs(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+74:
		tmp = math.sqrt((1.0 / math.pi)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (t_0 * (t_0 * 0.004629629629629629)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 + -0.5))))))) / math.fabs(x))
	else:
		tmp = ((x * x) / ((math.sqrt(math.pi) / x) / x)) * (0.5 / math.fabs(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.125 + Float64(t_0 * Float64(t_0 * 0.004629629629629629)))) / Float64(0.25 + Float64(t_1 * Float64(t_1 + -0.5))))))) / abs(x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(Float64(sqrt(pi) / x) / x)) * Float64(0.5 / abs(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * x);
	t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = sqrt((1.0 / pi)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (t_0 * (t_0 * 0.004629629629629629)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 + -0.5))))))) / abs(x));
	else
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(pi) / x) / x)) * (0.5 / abs(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+74], N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.125 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * 0.004629629629629629), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.25 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 + -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.99999999999999963e74

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.1%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 55.8%

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(0.125 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.25 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.5\right)}}\right)}{\left|x\right|} \]

   if 4.99999999999999963e74 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

      11. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

      22. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

      23. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       4. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. clear-num N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       13. un-div-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       17. fabs-lowering-fabs.f64 94.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 94.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{\left|x\right|}{0.5}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. associate-/r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}}{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       14. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       15. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

       16. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right)\right)}{0.25 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.5\right)}\right)}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.4% accurate, 6.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot 0.125\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25 - 0.5\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= (fabs x) 5e+74)
     (*
      (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x))
      (+
       1.0
       (/
        (* (* x x) (+ 1.0 (* t_0 (* t_0 0.125))))
        (+ 1.0 (* (* x x) (- (* (* x x) 0.25) 0.5))))))
     (* (/ (* x x) (/ (/ (sqrt PI) x) x)) (/ 0.5 (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+74) {
		tmp = (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_0 * (t_0 * 0.125)))) / (1.0 + ((x * x) * (((x * x) * 0.25) - 0.5)))));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(((double) M_PI)) / x) / x)) * (0.5 / fabs(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+74) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_0 * (t_0 * 0.125)))) / (1.0 + ((x * x) * (((x * x) * 0.25) - 0.5)))));
	} else {
		tmp = ((x * x) / ((Math.sqrt(Math.PI) / x) / x)) * (0.5 / Math.abs(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+74:
		tmp = (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_0 * (t_0 * 0.125)))) / (1.0 + ((x * x) * (((x * x) * 0.25) - 0.5)))))
	else:
		tmp = ((x * x) / ((math.sqrt(math.pi) / x) / x)) * (0.5 / math.fabs(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(t_0 * 0.125)))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.25) - 0.5))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(Float64(sqrt(pi) / x) / x)) * Float64(0.5 / abs(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+74)
		tmp = (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_0 * (t_0 * 0.125)))) / (1.0 + ((x * x) * (((x * x) * 0.25) - 0.5)))));
	else
		tmp = ((x * x) / ((sqrt(pi) / x) / x)) * (0.5 / abs(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+74], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.99999999999999963e74

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      4. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

      9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} \]

   10. Simplified 4.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

       2. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 55.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.125\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25 - 0.5\right)}}\right) \]

   if 4.99999999999999963e74 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      8. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      9. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

      11. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

      22. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

      23. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       4. sqrt-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. clear-num N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       13. un-div-inv N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

       17. fabs-lowering-fabs.f64 94.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 94.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{\left|x\right|}{0.5}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

       3. clear-num N/A

          \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       6. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       7. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       10. associate-/r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}}{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       14. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

       15. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

       16. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.125\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25 - 0.5\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.6% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (sqrt (/ 1.0 PI))
  (/
   (+ 1.0 (* (* x x) (* (* x x) (* x (* x 0.16666666666666666)))))
   (fabs x))))

C

double code(double x) {
	return sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / fabs(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / Math.abs(x));
}

Python

def code(x):
	return math.sqrt((1.0 / math.pi)) * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / math.fabs(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))) / abs(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sqrt((1.0 / pi)) * ((1.0 + ((x * x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))) / abs(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 88.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{6}\right)}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 3\right)}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    2. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    3. cube-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    5. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    6. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{4} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    10. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    12. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    13. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    20. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    21. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    22. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    23. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

    24. *-lowering-*.f64 88.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

13. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 81.7% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left|x\right|\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (* x (* x (fabs x))))
  (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (x * (x * fabs(x)))) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (x * (x * Math.abs(x)))) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (x * (x * math.fabs(x)))) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(x * Float64(x * abs(x)))) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) * (x * (x * abs(x)))) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 88.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]

13. Simplified 85.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left|x\right|\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.7% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (sqrt (/ 1.0 PI))
  (* (fabs x) (* (* x x) (* x (* x 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (fabs(x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (Math.abs(x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))));
}

Python

def code(x):
	return math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (math.fabs(x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))))

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(abs(x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sqrt((1.0 / pi)) * (abs(x) * ((x * x) * (x * (x * 0.16666666666666666))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 88.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\left|x\right|} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{{x}^{6}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot {x}^{6}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{6} \cdot \frac{1}{6}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{6}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot 3\right)} \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    5. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{6}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    6. cube-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({\left(x \cdot x\right)}^{3} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{6}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({\left({x}^{2}\right)}^{3} \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    8. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{6}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    9. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    11. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left({x}^{2} \cdot {x}^{4}\right) \cdot \frac{1}{6}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{4} \cdot \frac{1}{6}\right)}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{4}\right)}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    15. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    16. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    18. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 85.3%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 76.5% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (* x x) (/ (/ (sqrt PI) x) x)) (/ 0.5 (fabs x))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) / ((sqrt(((double) M_PI)) / x) / x)) * (0.5 / fabs(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) / ((Math.sqrt(Math.PI) / x) / x)) * (0.5 / Math.abs(x));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) / ((math.sqrt(math.pi) / x) / x)) * (0.5 / math.fabs(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(Float64(sqrt(pi) / x) / x)) * Float64(0.5 / abs(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) / ((sqrt(pi) / x) / x)) * (0.5 / abs(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   8. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

   9. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

   11. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   14. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   20. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

   22. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

   23. fabs-lowering-fabs.f64 80.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

    4. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    6. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    7. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{x} \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    12. clear-num N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

    13. un-div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}}\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    16. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    17. fabs-lowering-fabs.f64 75.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 75.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{\left|x\right|}{0.5}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{2}}}} \]

    3. clear-num N/A

       \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

    5. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    6. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    7. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    10. associate-/r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}}{x}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{x}\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    15. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

    16. fabs-lowering-fabs.f64 80.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 80.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}{x}} \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 68.7% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* (fabs x) (sqrt (/ 1.0 PI))) (+ 1.0 (* x (* x 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (fabs(x) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)))) * (1.0 + (x * (x * 0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.abs(x) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI))) * (1.0 + (x * (x * 0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.fabs(x) * math.sqrt((1.0 / math.pi))) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(abs(x) * sqrt(Float64(1.0 / pi))) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (abs(x) * sqrt((1.0 / pi))) * (1.0 + (x * (x * 0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} \]

10. Simplified 80.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

13. Simplified 75.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]

14. Final simplification 75.9%

    \[\leadsto \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 68.7% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot \left(\left|x\right| \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x (* (fabs x) 0.5)) (/ x (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return (x * (fabs(x) * 0.5)) * (x / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (Math.abs(x) * 0.5)) * (x / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return (x * (math.fabs(x) * 0.5)) * (x / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(abs(x) * 0.5)) * Float64(x / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (abs(x) * 0.5)) * (x / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + 1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   8. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{4} \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

   9. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

   11. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   14. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   20. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

   22. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

   23. fabs-lowering-fabs.f64 80.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    7. pow3 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot \left({x}^{3} \cdot x\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot {x}^{3}\right) \cdot x}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    9. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot {x}^{3}\right) \cdot x}{1 \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    10. times-frac N/A

        \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot {x}^{3}}{1} \cdot \color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{2}}{\left|x\right|} \cdot {x}^{3}}{1}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 75.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left|x\right|}}{1} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}} \]

13. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{3}}{\left|x\right|}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{\left|x\right|}\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot {x}^{2}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 75.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left|x\right| \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 13: 52.1% accurate, 10.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x x) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + 1 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \left({x}^{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 56.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(x \cdot x + 1\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{\color{blue}{x}}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 56.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 56.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\left|x\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

    4. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}} \]

    5. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}} \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

    8. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\left|x\right|}{\frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}\right)\right) \]

    10. associate-/r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\left|x\right|}{1} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

    11. /-rgt-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

    12. add-sqr-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

    13. rem-sqrt-square N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|x\right| \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

    14. mul-fabs N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

    15. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. PI-lowering-PI.f64 56.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 56.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 5.4% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fabs x) (sqrt (/ 1.0 PI))))

C

double code(double x) {
	return fabs(x) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(x) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(x) * math.sqrt((1.0 / math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(abs(x) * sqrt(Float64(1.0 / pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(x) * sqrt((1.0 / pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|} + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + 1 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \left({x}^{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 56.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(x \cdot x + 1\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{\color{blue}{x}}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 56.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 56.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{x \cdot x}{\left|x\right|}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}} \]

    3. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot 1\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{\left|x\right|} \]

    4. *-inverses N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \]

    5. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}{{x}^{2}} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{\left|x\right|} \]

    6. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{\left|x\right|} \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{4}}{{x}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{\left|x\right|} \]

    8. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}} \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {x}^{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|} \]

    10. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{4}}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}} \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{{x}^{\color{blue}{2}} \cdot \left|x\right|} \]

    12. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|} \]

    13. fabs-sqr N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{2} \cdot {x}^{2}\right|}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|} \]

    14. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right|}{{\color{blue}{x}}^{2} \cdot \left|x\right|} \]

    15. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{4}\right|}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{4}\right|}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}} \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{4}\right|}{\left|x\right| \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)} \]

    18. fabs-sqr N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{4}\right|}{\left|x\right| \cdot \left|x \cdot x\right|} \]

    19. unpow2 N/A

        \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\left|{x}^{4}\right|}{\left|x\right| \cdot \left|{x}^{2}\right|} \]

13. Simplified 5.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left|x\right|} \]

14. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 15: 2.3% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow PI -0.5) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return pow(((double) M_PI), -0.5) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(Math.PI, -0.5) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(math.pi, -0.5) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64((pi ^ -0.5) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi ^ -0.5) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Simplified 2.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

    2. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    4. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    5. pow-flip N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    6. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    9. fabs-lowering-fabs.f64 2.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 2.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))