Beckmann Sample, normalization factor

Percentage Accurate: 97.9% → 98.4%

Time: 17.9s

Alternatives: 18

Speedup: 1.5×

Specification

\[\left(0 < cosTheta \land cosTheta < 0.9999\right) \land \left(-1 < c \land c < 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta))
    (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + (((1.0f / sqrtf(((float) M_PI))) * (sqrtf(((1.0f - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * expf((-cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / sqrt(Float32(pi))) * Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp(Float32(Float32(-cosTheta) * cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + (((single(1.0) / sqrt(single(pi))) * (sqrt(((single(1.0) - cosTheta) - cosTheta)) / cosTheta)) * exp((-cosTheta * cosTheta))));
end

Alternative 1: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}} \cdot e^{-cosTheta \cdot cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   (+ 1.0 c)
   (*
    (/ 1.0 (/ (pow PI 0.5) (/ (pow (- 1.0 (* 2.0 cosTheta)) 0.5) cosTheta)))
    (exp (- (* cosTheta cosTheta)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / ((1.0f + c) + ((1.0f / (powf(((float) M_PI), 0.5f) / (powf((1.0f - (2.0f * cosTheta)), 0.5f) / cosTheta))) * expf(-(cosTheta * cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + c) + Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32((Float32(pi) ^ Float32(0.5)) / Float32((Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(2.0) * cosTheta)) ^ Float32(0.5)) / cosTheta))) * exp(Float32(-Float32(cosTheta * cosTheta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / ((single(1.0) + c) + ((single(1.0) / ((single(pi) ^ single(0.5)) / (((single(1.0) - (single(2.0) * cosTheta)) ^ single(0.5)) / cosTheta))) * exp(-(cosTheta * cosTheta))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 - \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(2 \cdot cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(2, cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}} \cdot e^{-cosTheta \cdot cosTheta}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + e^{-cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \frac{1}{cosTheta \cdot {\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (*
    (exp (- (* cosTheta cosTheta)))
    (/ 1.0 (* cosTheta (pow (/ (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) PI) -0.5)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (expf(-(cosTheta * cosTheta)) * (1.0f / (cosTheta * powf(((1.0f + (cosTheta * -2.0f)) / ((float) M_PI)), -0.5f)))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(exp(Float32(-Float32(cosTheta * cosTheta))) * Float32(Float32(1.0) / Float32(cosTheta * (Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) / Float32(pi)) ^ Float32(-0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (exp(-(cosTheta * cosTheta)) * (single(1.0) / (cosTheta * (((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) / single(pi)) ^ single(-0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 - \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(2 \cdot cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(2, cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 2 \cdot cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5} \cdot cosTheta}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} + \frac{1}{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5} \cdot cosTheta} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

10. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + e^{-cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \frac{1}{cosTheta \cdot {\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{e^{-cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (/
    (* (exp (- (* cosTheta cosTheta))) (sqrt (/ (+ 1.0 (* cosTheta -2.0)) PI)))
    cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + ((expf(-(cosTheta * cosTheta)) * sqrtf(((1.0f + (cosTheta * -2.0f)) / ((float) M_PI)))) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(exp(Float32(-Float32(cosTheta * cosTheta))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0))) / Float32(pi)))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + ((exp(-(cosTheta * cosTheta)) * sqrt(((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0))) / single(pi)))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 - \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(2 \cdot cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(2, cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{e^{-1 \cdot {cosTheta}^{2}}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1} - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{e^{0 - cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 98.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{e^{\color{blue}{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \cdot \sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta}} \]

10. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{e^{-cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}}}{cosTheta}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (/
    (sqrt (/ (- 1.0 (* 2.0 cosTheta)) PI))
    (* cosTheta (exp (* cosTheta cosTheta)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (sqrtf(((1.0f - (2.0f * cosTheta)) / ((float) M_PI))) / (cosTheta * expf((cosTheta * cosTheta)))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(2.0) * cosTheta)) / Float32(pi))) / Float32(cosTheta * exp(Float32(cosTheta * cosTheta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (sqrt(((single(1.0) - (single(2.0) * cosTheta)) / single(pi))) / (cosTheta * exp((cosTheta * cosTheta)))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + -2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{cosTheta \cdot e^{{cosTheta}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{1}{e^{{cosTheta}^{2}} \cdot cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\frac{1}{e^{{cosTheta}^{2}}}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{e^{\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1 - 2 \cdot cosTheta}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{e^{-1 \cdot {cosTheta}^{2}}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1} - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{e^{-1 \cdot {cosTheta}^{2}}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{-1 \cdot {cosTheta}^{2}}}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1 - cosTheta \cdot 2}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}}} \]

8. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\pi}}}{cosTheta \cdot e^{cosTheta \cdot cosTheta}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+ c (+ 1.0 (/ (sqrt (+ 1.0 (* cosTheta -2.0))) (* cosTheta (sqrt PI)))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + (1.0f + (sqrtf((1.0f + (cosTheta * -2.0f))) / (cosTheta * sqrtf(((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(1.0) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(-2.0)))) / Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + (single(1.0) + (sqrt((single(1.0) + (cosTheta * single(-2.0)))) / (cosTheta * sqrt(single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 96.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{\color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi}}}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \sqrt{\pi} + \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} + -1\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (+
  (* cosTheta (sqrt PI))
  (* (+ (sqrt (/ 1.0 PI)) -1.0) (* PI (* cosTheta cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return (cosTheta * sqrtf(((float) M_PI))) + ((sqrtf((1.0f / ((float) M_PI))) + -1.0f) * (((float) M_PI) * (cosTheta * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi))) + Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi))) + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(cosTheta * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = (cosTheta * sqrt(single(pi))) + ((sqrt((single(1.0) / single(pi))) + single(-1.0)) * (single(pi) * (cosTheta * cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot cosTheta} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot cosTheta\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot cosTheta\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), cosTheta\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot cosTheta\right)\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot cosTheta\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\pi}^{0.5} \cdot cosTheta + \left(\left(\pi \cdot cosTheta\right) \cdot \left(0 - \left(1 + \left(c - {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)\right) \cdot cosTheta} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + {cosTheta}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{{cosTheta}^{2}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({cosTheta}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)}\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {cosTheta}^{2}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - 1\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({cosTheta}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - 1\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({cosTheta}^{2}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} - 1\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} - 1\right)\right)\right) \]

    12. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1\right)\right)\right) \]

    14. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

    15. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    16. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 96.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

12. Simplified 96.4%

    \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi} + \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} + -1\right)} \]

13. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \sqrt{\pi} + \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} + -1\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \frac{cosTheta \cdot cosTheta + \frac{1}{\pi} \cdot \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \left(cosTheta + -1\right)\right)}{cosTheta \cdot \left(cosTheta + \frac{cosTheta + -1}{{\pi}^{0.5}}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   c
   (/
    (+
     (* cosTheta cosTheta)
     (* (/ 1.0 PI) (* (- 1.0 cosTheta) (+ cosTheta -1.0))))
    (* cosTheta (+ cosTheta (/ (+ cosTheta -1.0) (pow PI 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + (((cosTheta * cosTheta) + ((1.0f / ((float) M_PI)) * ((1.0f - cosTheta) * (cosTheta + -1.0f)))) / (cosTheta * (cosTheta + ((cosTheta + -1.0f) / powf(((float) M_PI), 0.5f))))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) + Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) * Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) * Float32(cosTheta + Float32(-1.0))))) / Float32(cosTheta * Float32(cosTheta + Float32(Float32(cosTheta + Float32(-1.0)) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + (((cosTheta * cosTheta) + ((single(1.0) / single(pi)) * ((single(1.0) - cosTheta) * (cosTheta + single(-1.0))))) / (cosTheta * (cosTheta + ((cosTheta + single(-1.0)) / (single(pi) ^ single(0.5)))))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{\frac{cosTheta \cdot cosTheta - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta - \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \left(\frac{cosTheta \cdot cosTheta - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{\color{blue}{cosTheta \cdot \left(cosTheta - \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta - \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(cosTheta - \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 96.4%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta \cdot cosTheta - \frac{1}{\pi} \cdot \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \left(1 - cosTheta\right)\right)}{cosTheta \cdot \left(cosTheta - \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}\right)}}} \]

10. Final simplification 96.4%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta \cdot cosTheta + \frac{1}{\pi} \cdot \left(\left(1 - cosTheta\right) \cdot \left(cosTheta + -1\right)\right)}{cosTheta \cdot \left(cosTheta + \frac{cosTheta + -1}{{\pi}^{0.5}}\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{cosTheta \cdot cosTheta + -1}{{\pi}^{0.5} \cdot \frac{1 + cosTheta \cdot cosTheta}{cosTheta + -1}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+
   c
   (/
    (+
     cosTheta
     (/
      (+ (* cosTheta cosTheta) -1.0)
      (* (pow PI 0.5) (/ (+ 1.0 (* cosTheta cosTheta)) (+ cosTheta -1.0)))))
    cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + ((cosTheta + (((cosTheta * cosTheta) + -1.0f) / (powf(((float) M_PI), 0.5f) * ((1.0f + (cosTheta * cosTheta)) / (cosTheta + -1.0f))))) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(cosTheta + Float32(Float32(Float32(cosTheta * cosTheta) + Float32(-1.0)) / Float32((Float32(pi) ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * cosTheta)) / Float32(cosTheta + Float32(-1.0)))))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + ((cosTheta + (((cosTheta * cosTheta) + single(-1.0)) / ((single(pi) ^ single(0.5)) * ((single(1.0) + (cosTheta * cosTheta)) / (cosTheta + single(-1.0)))))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   4. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{1}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot 1}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. sqr-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta - 1 \cdot 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta - 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   18. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   19. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \color{blue}{\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\left(-cosTheta\right) + -1\right) \cdot {\pi}^{0.5}}}}{cosTheta}} \]

11. Applied egg-rr 96.2%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\color{blue}{\frac{1 + cosTheta \cdot cosTheta}{-1 - \left(-cosTheta\right)}} \cdot {\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} \]

12. Final simplification 96.2%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{cosTheta \cdot cosTheta + -1}{{\pi}^{0.5} \cdot \frac{1 + cosTheta \cdot cosTheta}{cosTheta + -1}}}{cosTheta}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 95.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{1 - cosTheta}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/
  1.0
  (+ c (/ (+ cosTheta (/ 1.0 (/ (pow PI 0.5) (- 1.0 cosTheta)))) cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + ((cosTheta + (1.0f / (powf(((float) M_PI), 0.5f) / (1.0f - cosTheta)))) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(cosTheta + Float32(Float32(1.0) / Float32((Float32(pi) ^ Float32(0.5)) / Float32(Float32(1.0) - cosTheta)))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + ((cosTheta + (single(1.0) / ((single(pi) ^ single(0.5)) / (single(1.0) - cosTheta)))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   4. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1} \cdot \frac{1}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot 1}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1 \cdot 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. sqr-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta - 1 \cdot 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta - 1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   18. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   19. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

   20. PI-lowering-PI.f32 95.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), -1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), -1\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \color{blue}{\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\left(-cosTheta\right) + -1\right) \cdot {\pi}^{0.5}}}}{cosTheta}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    3. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    6. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(cosTheta \cdot cosTheta + -1\right) \cdot 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    9. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{cosTheta \cdot cosTheta + -1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{cosTheta \cdot cosTheta + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{cosTheta \cdot cosTheta - 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    12. sqr-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - 1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - -1 \cdot -1}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + -1}\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    14. flip-- N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) - -1\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    15. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    16. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    17. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), 1\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    18. neg-lowering-neg.f32 95.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), 1\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 95.9%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\left(-cosTheta\right) + 1}}}}{cosTheta}} \]

12. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{1 - cosTheta}}}{cosTheta}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ c (/ (+ cosTheta (/ (- 1.0 cosTheta) (pow PI 0.5))) cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (c + ((cosTheta + ((1.0f - cosTheta) / powf(((float) M_PI), 0.5f))) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(c + Float32(Float32(cosTheta + Float32(Float32(Float32(1.0) - cosTheta) / (Float32(pi) ^ Float32(0.5)))) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (c + ((cosTheta + ((single(1.0) - cosTheta) / (single(pi) ^ single(0.5)))) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{cosTheta + \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta} + \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{cosTheta + \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(cosTheta + \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   5. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   7. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right) \cdot \frac{1}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   8. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   11. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 95.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(cosTheta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, cosTheta\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), cosTheta\right), c\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta} + c}} \]

10. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \frac{1}{c + \frac{cosTheta + \frac{1 - cosTheta}{{\pi}^{0.5}}}{cosTheta}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ 1.0 (/ (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (- 1.0 cosTheta)) cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + ((sqrtf((1.0f / ((float) M_PI))) * (1.0f - cosTheta)) / cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi))) * Float32(Float32(1.0) - cosTheta)) / cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + ((sqrt((single(1.0) / single(pi))) * (single(1.0) - cosTheta)) / cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left({\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate--l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(1 - \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta + cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(2 \cdot cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(2, cosTheta\right)\right), \frac{1}{2}\right), cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{{\pi}^{0.5}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{0.5}}{cosTheta}}}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}{cosTheta}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{{\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 2 \cdot cosTheta}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\frac{1 - 2 \cdot cosTheta}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - 2 \cdot cosTheta\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, c\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\left(1 + c\right) + \frac{1}{\color{blue}{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5} \cdot cosTheta}} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, -2\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{2}\right), cosTheta\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1} + \frac{1}{{\left(\frac{1 + cosTheta \cdot -2}{\pi}\right)}^{-0.5} \cdot cosTheta} \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

10. Taylor expanded in cosTheta around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(-1 \cdot cosTheta\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

    3. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot cosTheta + 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot cosTheta\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    6. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    7. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 95.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), cosTheta\right)\right)\right) \]

12. Simplified 95.8%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{\left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]

13. Final simplification 95.8%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 - cosTheta\right)}{cosTheta}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 94.9% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(-1 + \frac{1}{cosTheta}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (/ 1.0 (+ 1.0 (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (+ -1.0 (/ 1.0 cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / (1.0f + (sqrtf((1.0f / ((float) M_PI))) * (-1.0f + (1.0f / cosTheta))));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / cosTheta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / (single(1.0) + (sqrt((single(1.0) / single(pi))) * (single(-1.0) + (single(1.0) / cosTheta))));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}{cosTheta}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{/.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + cosTheta \cdot \left(1 + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 95.8%

   \[\leadsto \frac{1}{c + \color{blue}{\frac{cosTheta + \left(\left(-cosTheta\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{cosTheta}}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1 - cosTheta}}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1} - cosTheta}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 - cosTheta}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   8. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} - \color{blue}{\frac{cosTheta}{cosTheta}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{cosTheta}{cosTheta}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{cosTheta} + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{cosTheta}\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f32 95.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, cosTheta\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\frac{1}{cosTheta} + -1\right)}} \]

11. Final simplification 95.7%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(-1 + \frac{1}{cosTheta}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 93.1% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - c \cdot \left(\pi \cdot cosTheta\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* cosTheta (- (sqrt PI) (* c (* PI cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * (sqrtf(((float) M_PI)) - (c * (((float) M_PI) * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * Float32(sqrt(Float32(pi)) - Float32(c * Float32(Float32(pi) * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * (sqrt(single(pi)) - (c * (single(pi) * cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI}\left(\right)\right), c\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 93.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), c\right)\right)\right) \]

10. Simplified 93.1%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \pi\right) \cdot c}\right) \]

11. Final simplification 93.1%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - c \cdot \left(\pi \cdot cosTheta\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 93.1% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ cosTheta \cdot \sqrt{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (* cosTheta (sqrt PI)))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return cosTheta * sqrtf(((float) M_PI));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(cosTheta * sqrt(Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = cosTheta * sqrt(single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 93.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

7. Simplified 93.1%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \sqrt{\pi}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 15: 10.8% accurate, 40.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-cosTheta\right) \cdot \left(c \cdot \left(\pi \cdot cosTheta\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* (- cosTheta) (* c (* PI cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return -cosTheta * (c * (((float) M_PI) * cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(-cosTheta) * Float32(c * Float32(Float32(pi) * cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = -cosTheta * (c * (single(pi) * cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(c \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(c \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(c \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \left(0 - \color{blue}{cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 10.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 10.6%

    \[\leadsto cosTheta \cdot \color{blue}{\left(c \cdot \left(0 - cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

11. Final simplification 10.6%

    \[\leadsto \left(-cosTheta\right) \cdot \left(c \cdot \left(\pi \cdot cosTheta\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 16: 10.8% accurate, 40.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(-c\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c)
 :precision binary32
 (* (* PI (* cosTheta cosTheta)) (- c)))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return (((float) M_PI) * (cosTheta * cosTheta)) * -c;
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(-c))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = (single(pi) * (cosTheta * cosTheta)) * -c;
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(0 - \color{blue}{{cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{{cosTheta}^{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\color{blue}{cosTheta}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 10.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 10.6%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(0 - \pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 10.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 10.6%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(-\pi\right)\right)} \]

13. Final simplification 10.6%

    \[\leadsto \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(-c\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 10.8% accurate, 46.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (* c (* PI (* cosTheta cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return c * (((float) M_PI) * (cosTheta * cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(c * Float32(Float32(pi) * Float32(cosTheta * cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = c * (single(pi) * (cosTheta * cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{cosTheta} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(cosTheta \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(c + -1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.4%

   \[\leadsto \color{blue}{cosTheta \cdot \left(\sqrt{\pi} - \left(\left(1 + c\right) - \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \left(cosTheta \cdot \pi\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(c \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(-1 \cdot \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(0 - \color{blue}{{cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{{cosTheta}^{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\color{blue}{cosTheta}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(cosTheta \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 10.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 10.6%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(0 - \pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 10.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 10.6%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(-\pi\right)\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. distribute-rgt-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(c, \left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 10.5%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\left(cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \pi\right)} \]

15. Final simplification 10.5%

    \[\leadsto c \cdot \left(\pi \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 18: 5.0% accurate, 107.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{c} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta c) :precision binary32 (/ 1.0 c))

C

float code(float cosTheta, float c) {
	return 1.0f / c;
}

Fortran

real(4) function code(costheta, c)
    real(4), intent (in) :: costheta
    real(4), intent (in) :: c
    code = 1.0e0 / c
end function

Julia

function code(cosTheta, c)
	return Float32(Float32(1.0) / c)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, c)
	tmp = single(1.0) / c;
end

Derivation

1. Initial program 97.9%

   \[\frac{1}{\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(-cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(1 + c\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\left(c + 1\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)} \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \left(c + \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right) \cdot e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right) \cdot cosTheta} \cdot \left(\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)} \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}}{cosTheta} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(c, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{e^{cosTheta \cdot cosTheta}} \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left(1 - cosTheta\right) - cosTheta}}{cosTheta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c + \left(1 + \frac{\sqrt{1 + cosTheta \cdot -2}}{e^{cosTheta \cdot cosTheta} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot cosTheta\right)}\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 4.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{c}\right) \]

7. Simplified 4.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{c}} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024192 
(FPCore (cosTheta c)
  :name "Beckmann Sample, normalization factor"
  :precision binary32
  :pre (and (and (< 0.0 cosTheta) (< cosTheta 0.9999)) (and (< -1.0 c) (< c 1.0)))
  (/ 1.0 (+ (+ 1.0 c) (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (/ (sqrt (- (- 1.0 cosTheta) cosTheta)) cosTheta)) (exp (* (- cosTheta) cosTheta))))))