arccos

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 10.2s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\left(1 - x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x + -1\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan
   (/
    (+
     (* (- 1.0 x) (- 1.0 x))
     (* (* x x) (* (- 1.0 x) (* x (* 0.25 (* x x))))))
    (+ (- 1.0 x) (* 0.5 (* x (* x (+ x -1.0)))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((((1.0 - x) * (1.0 - x)) + ((x * x) * ((1.0 - x) * (x * (0.25 * (x * x)))))) / ((1.0 - x) + (0.5 * (x * (x * (x + -1.0)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((((1.0d0 - x) * (1.0d0 - x)) + ((x * x) * ((1.0d0 - x) * (x * (0.25d0 * (x * x)))))) / ((1.0d0 - x) + (0.5d0 * (x * (x * (x + (-1.0d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((((1.0 - x) * (1.0 - x)) + ((x * x) * ((1.0 - x) * (x * (0.25 * (x * x)))))) / ((1.0 - x) + (0.5 * (x * (x * (x + -1.0)))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((((1.0 - x) * (1.0 - x)) + ((x * x) * ((1.0 - x) * (x * (0.25 * (x * x)))))) / ((1.0 - x) + (0.5 * (x * (x * (x + -1.0)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(1.0 - x)) + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(x * Float64(0.25 * Float64(x * x)))))) / Float64(Float64(1.0 - x) + Float64(0.5 * Float64(x * Float64(x * Float64(x + -1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((((1.0 - x) * (1.0 - x)) + ((x * x) * ((1.0 - x) * (x * (0.25 * (x * x)))))) / ((1.0 - x) + (0.5 * (x * (x * (x + -1.0)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(0.25 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(x * N[(x * N[(x + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(-1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   26. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot x + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}{\left(1 - x\right) - x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 - x\right) - x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(-1 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(-1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(-1 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot \left(-1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(0 - x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.25 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0 - x\right)\right)}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

11. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\left(1 - x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x + -1\right)\right)\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + x \cdot \left(x + -2\right)}{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan (/ (+ 1.0 (* x (+ x -2.0))) (* (- 1.0 x) (+ 1.0 (* (* x x) -0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 + (x * (x + -2.0))) / ((1.0 - x) * (1.0 + ((x * x) * -0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 + (x * (x + (-2.0d0)))) / ((1.0d0 - x) * (1.0d0 + ((x * x) * (-0.5d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 + (x * (x + -2.0))) / ((1.0 - x) * (1.0 + ((x * x) * -0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 + (x * (x + -2.0))) / ((1.0 - x) * (1.0 + ((x * x) * -0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x + -2.0))) / Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 + (x * (x + -2.0))) / ((1.0 - x) * (1.0 + ((x * x) * -0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x + -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(-1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   26. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot x + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}{\left(1 - x\right) - x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 - x\right) - x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 - x\right) - \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x - 2\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x - 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x - 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x + -2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x + -2\right)}}{\left(1 - x\right) - 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)}\right) \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x + -1 \cdot x\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x + \left(-1 \cdot x + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x + \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + x \cdot \left(x + -2\right)}{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.5 + 1\right) \cdot \left(1 - x\right)}}\right) \]

14. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + x \cdot \left(x + -2\right)}{\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (* (- 1.0 x) (+ 1.0 (* x (* x 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 - x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(-1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   26. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

   3. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot x + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right), 2\right) \]

   5. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right), 2\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right), 2\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   11. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right), \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right), 1\right), \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right), 1\right), \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), 1\right), \left(1 - x\right)\right)\right), 2\right) \]

   16. --lowering--.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right), 2\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.5\right) + 1\right) \cdot \left(1 - x\right)\right) \cdot 2} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5 + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (+ 1.0 (* x (+ (* x 0.5) -1.0))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 + (x * ((x * 0.5d0) + (-1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * 0.5) + -1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5 + -1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (/ 1.0 (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 - x\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{1 - x \cdot x}{1 + x}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 99.0%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 - x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 - x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan 1.0)))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(1.0);
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[1.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} 1 \cdot 2} \]

5. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} 1 \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024191 
(FPCore (x)
  :name "arccos"
  :precision binary64
  (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))